Il est peu probable que beaucoup de gens se demandent s'il est possible de calculer des événements plus ou moins aléatoires. En termes simples, est-il réaliste de savoir quel côté du dé tombera ensuite. C'est cette question que se sont posé deux grands scientifiques, qui ont jeté les bases d'une science telle que la théorie des probabilités, dans laquelle la probabilité d'un événement est étudiée de manière assez approfondie.
Origine
Si vous essayez de définir un concept comme la théorie des probabilités, vous obtenez ceci: c'est l'une des branches des mathématiques qui étudie la constance des événements aléatoires. Bien sûr, ce concept ne révèle pas vraiment toute l'essence, il est donc nécessaire de l'examiner plus en détail.
Je voudrais commencer par les créateurs de la théorie. Comme mentionné plus haut, ils étaient deux, ce sont Pierre Fermat et Blaise Pascal. Ce sont eux qui ont été parmi les premiers à tenter de calculer le résultat d'un événement à l'aide de formules et de calculs mathématiques. Dans l'ensemble, les rudiments de cette science sont apparus dèsMoyen-âge. À cette époque, divers penseurs et scientifiques ont essayé d'analyser les jeux de hasard, tels que la roulette, le craps, etc., établissant ainsi un modèle et un pourcentage de chutes d'un nombre particulier. Les fondations ont été posées au XVIIe siècle par les scientifiques susmentionnés.
Au début, leur travail ne pouvait pas être attribué aux grandes réalisations dans ce domaine, car tout ce qu'ils faisaient était simplement des faits empiriques, et les expériences étaient définies visuellement, sans utiliser de formules. Au fil du temps, il s'est avéré obtenir d'excellents résultats, qui sont apparus à la suite de l'observation du lancer de dés. C'est cet outil qui a permis de dériver les premières formules intelligibles.
Associés
Il est impossible de ne pas mentionner une personne telle que Christian Huygens, en train d'étudier un sujet appelé "théorie des probabilités" (la probabilité d'un événement est couverte précisément dans cette science). Cette personne est très intéressante. Lui, comme les scientifiques présentés ci-dessus, a essayé de dériver la régularité d'événements aléatoires sous la forme de formules mathématiques. Il est à noter qu'il ne l'a pas fait avec Pascal et Fermat, c'est-à-dire que toutes ses œuvres ne se sont en aucun cas croisées avec ces esprits. Huygens a dérivé les concepts de base de la théorie des probabilités.
Un fait intéressant est que son travail est sorti bien avant les résultats du travail des pionniers, ou plutôt, vingt ans plus tôt. Parmi les concepts désignés, les plus célèbres sont:
- le concept de probabilité comme grandeur du hasard;
- attente pour discretcas;
- théorèmes de la multiplication et de l'addition des probabilités.
Il est également impossible de ne pas se souvenir de Jacob Bernoulli, qui a également apporté une contribution significative à l'étude du problème. Menant ses propres tests, indépendamment de quiconque, il réussit à présenter une preuve de la loi des grands nombres. À leur tour, les scientifiques Poisson et Laplace, qui travaillaient au début du XIXe siècle, ont pu prouver les théorèmes originaux. C'est à partir de ce moment que la théorie des probabilités a commencé à être utilisée pour analyser les erreurs au cours des observations. Les scientifiques russes, ou plutôt Markov, Chebyshev et Diapounov, ne pouvaient pas non plus contourner cette science. Sur la base des travaux effectués par les grands génies, ils ont fixé ce sujet comme une branche des mathématiques. Ces figures fonctionnaient déjà à la fin du XIXe siècle, et grâce à leur apport, des phénomènes tels que:
- loi des grands nombres;
- Théorie des chaînes de Markov;
- théorème central limite.
Donc, avec l'histoire de la naissance de la science et avec les principaux personnages qui l'ont influencée, tout est plus ou moins clair. Il est maintenant temps de concrétiser tous les faits.
Concepts de base
Avant d'aborder les lois et les théorèmes, il convient d'étudier les concepts de base de la théorie des probabilités. L'événement y tient le premier rôle. Ce sujet est assez volumineux, mais sans lui, il ne sera pas possible de tout comprendre.
Un événement dans la théorie des probabilités est un ensemble de résultats d'une expérience. Il n'y a pas tellement de concepts de ce phénomène. Alors, scientifique Lotman,travaillant dans ce domaine, a déclaré que dans ce cas, nous parlons de quelque chose qui "s'est produit, même si cela ne s'est peut-être pas produit".
Les événements aléatoires (la théorie des probabilités leur accorde une attention particulière) est un concept qui implique absolument tout phénomène ayant la capacité de se produire. Ou, à l'inverse, ce scénario peut ne pas se produire lorsque de nombreuses conditions sont remplies. Il convient également de savoir que ce sont les événements aléatoires qui captent l'ensemble du volume des phénomènes qui se sont produits. La théorie des probabilités indique que toutes les conditions peuvent être répétées constamment. C'était leur conduite qui était appelée "expérience" ou "test".
Un certain événement est celui qui se produira à 100 % dans un test donné. En conséquence, un événement impossible est un événement qui ne se produira pas.
La combinaison d'une paire d'actions (conventionnellement cas A et cas B) est un phénomène qui se produit simultanément. Ils sont désignés par AB.
La somme des paires d'événements A et B est C, en d'autres termes, si au moins l'un d'eux se produit (A ou B), alors on obtiendra C. La formule du phénomène décrit s'écrit comme suit: C=A + B.
Les événements disjoints dans la théorie des probabilités impliquent que deux cas s'excluent mutuellement. Ils ne peuvent jamais arriver en même temps. Les événements conjoints en théorie des probabilités sont leur antipode. Cela implique que si A s'est produit, alors il n'interfère pas avec B.
Les événements opposés (la théorie des probabilités les traite en détail) sont faciles à comprendre. Il est préférable de les traiter en comparaison. Ce sont presque les mêmes queet les événements incompatibles dans la théorie des probabilités. Mais leur différence réside dans le fait que l'un des nombreux phénomènes doit se produire de toute façon.
Les événements équivalents sont les actions dont la possibilité est égale. Pour clarifier les choses, on peut imaginer le tirage au sort d'une pièce de monnaie: la chute de l'un de ses côtés est également susceptible de tomber de l'autre.
Un événement propice est plus facile à voir avec un exemple. Disons qu'il y a l'épisode B et l'épisode A. Le premier est le lancer de dé avec l'apparition d'un nombre impair, et le second est l'apparition du chiffre cinq sur le dé. Ensuite, il s'avère que A favorise B.
Les événements indépendants dans la théorie des probabilités ne sont projetés que sur deux cas ou plus et impliquent l'indépendance de toute action par rapport à une autre. Par exemple, A est la perte de pile lorsqu'une pièce est lancée et B est le dessin d'un valet du jeu. Ce sont des événements indépendants dans la théorie des probabilités. Avec ce moment, c'est devenu plus clair.
Les événements dépendants en théorie des probabilités ne sont également admissibles que pour leur ensemble. Ils impliquent la dépendance de l'un à l'autre, c'est-à-dire que le phénomène B ne peut se produire que si A s'est déjà produit ou, au contraire, ne s'est pas produit, alors que c'est la condition principale de B.
Le résultat d'une expérience aléatoire composée d'un élément est constitué d'événements élémentaires. La théorie des probabilités explique qu'il s'agit d'un phénomène qui ne s'est produit qu'une seule fois.
Formules de base
Ainsi, les concepts d'"événement", de "théorie des probabilités",la définition des termes de base de cette science a également été donnée. Il est maintenant temps de se familiariser directement avec les formules importantes. Ces expressions confirment mathématiquement tous les principaux concepts d'un sujet aussi difficile que la théorie des probabilités. La probabilité d'un événement joue ici aussi un rôle énorme.
Mieux vaut commencer par les formules de base de la combinatoire. Et avant de passer à eux, il vaut la peine de réfléchir à ce que c'est.
La combinatoire est avant tout une branche des mathématiques, elle traite de l'étude d'un grand nombre d'entiers, ainsi que de diverses permutations à la fois des nombres eux-mêmes et de leurs éléments, de diverses données, etc., conduisant à l'apparition de un certain nombre de combinaisons. En plus de la théorie des probabilités, cette branche est importante pour les statistiques, l'informatique et la cryptographie.
Nous pouvons maintenant passer à la présentation des formules elles-mêmes et à leur définition.
Le premier sera l'expression du nombre de permutations, il ressemble à ceci:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
L'équation ne s'applique que si les éléments ne diffèrent que dans l'ordre.
Maintenant, la formule de placement sera considérée, elle ressemble à ceci:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n !: (n - m)!
Cette expression s'applique non seulement à l'ordre de l'élément, mais aussi à sa composition.
La troisième équation de la combinatoire, et c'est aussi la dernière, s'appelle la formule du nombre de combinaisons:
C_n^m=n !: ((n -m)) !:m !
Les combinaisons sont des sélections qui ne sont pas ordonnées, respectivement, et cette règle s'applique à elles.
Il s'est avéré facile de comprendre les formules de la combinatoire, maintenant nous pouvons passer à la définition classique des probabilités. Cette expression ressemble à ceci:
P(A)=m: n.
Dans cette formule, m est le nombre de conditions favorables à l'événement A, et n est le nombre de résultats absolument tous également possibles et élémentaires.
Il existe un grand nombre d'expressions, l'article ne les couvrira pas toutes, mais les plus importantes d'entre elles seront abordées, comme, par exemple, la probabilité de la somme des événements:
P(A + B)=P(A) + P(B) - ce théorème sert à n'ajouter que des événements incompatibles;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - et celui-ci est pour ajouter uniquement ceux compatibles.
Probabilité de produire des événements:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – ce théorème est pour les événements indépendants;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - et celui-ci est pour toxicomanes.
La formule d'événement termine la liste. La théorie des probabilités nous parle du théorème de Bayes, qui ressemble à ceci:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
Dans cette formule, H1, H2, …, H est le groupe complet d'hypothèses.
Arrêtons-nous ici, puis des exemples d'application de formules pour résoudre des problèmes spécifiques tirés de la pratique seront examinés.
Exemples
Si vous étudiez attentivement une sectionmathématiques, il ne se passe pas d'exercices et d'exemples de solutions. Il en va de même pour la théorie des probabilités: les événements, les exemples sont ici une composante intégrale qui confirme les calculs scientifiques.
Formule pour le nombre de permutations
Disons qu'il y a trente cartes dans un jeu de cartes, en commençant par une valeur nominale. Question suivante. Combien y a-t-il de façons d'empiler le jeu pour que les cartes d'une valeur nominale de un et de deux ne soient pas côte à côte ?
La tâche a été définie, passons maintenant à sa résolution. Vous devez d'abord déterminer le nombre de permutations de trente éléments, pour cela nous prenons la formule ci-dessus, il s'avère que P_30=30!.
Sur la base de cette règle, nous découvrirons combien d'options il y a pour plier le jeu de différentes manières, mais nous devons en soustraire celles dans lesquelles les première et deuxième cartes sont les suivantes. Pour ce faire, commençons par l'option lorsque le premier est au-dessus du second. Il s'avère que la première carte peut prendre vingt-neuf places - du premier au vingt-neuvième, et la deuxième carte du deuxième au trentième, il s'avère vingt-neuf places pour une paire de cartes. Tour à tour, les autres peuvent prendre vingt-huit places, et dans n'importe quel ordre. Autrement dit, pour une permutation de vingt-huit cartes, il y a vingt-huit options P_28=28 !
En conséquence, il s'avère que si l'on considère la solution lorsque la première carte est au-dessus de la seconde, il y a 29 ⋅ 28 possibilités supplémentaires !=29!
En utilisant la même méthode, vous devez calculer le nombre d'options redondantes pour le cas où la première carte est sous la seconde. Il s'avère également 29 ⋅ 28 !=29!
Il s'ensuit qu'il y a 2 ⋅ 29 options supplémentaires !, alors qu'il y a 30 façons nécessaires pour construire un deck ! - 2 ⋅ 29!. Il ne reste plus qu'à compter.
30 !=29 ! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29 ! ⋅ (30 - 2)=29 ! ⋅ 28
Maintenant, vous devez multiplier tous les nombres de un à vingt-neuf ensemble, puis à la fin tout multiplier par 28. La réponse est 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Solution de l'exemple. Formule pour le numéro de placement
Dans ce problème, vous devez trouver combien de façons il y a de mettre quinze volumes sur une étagère, mais à condition qu'il y ait trente volumes au total.
Ce problème a une solution légèrement plus simple que la précédente. En utilisant la formule déjà connue, il faut calculer le nombre total d'emplacements à partir de trente volumes de quinze.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 204 931 727 360 000
La réponse, respectivement, sera 202 843 204 931 727 360 000.
Maintenant, prenons la tâche un peu plus difficile. Vous devez découvrir combien de façons il y a de ranger trente livres sur deux étagères, à condition que seulement quinze volumes puissent être sur une étagère.
Avant de commencer la solution, je voudrais préciser que certains problèmes sont résolus de plusieurs façons, il y a donc deux façons dans celle-ci, mais la même formule est utilisée dans les deux.
Dans ce problème, vous pouvez reprendre la réponse du précédent, car là nous avons calculé combien de fois vous pouvez remplir une étagère avec quinze livres pour-différemment. Il s'est avéré A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
Nous allons calculer la deuxième étagère en utilisant la formule de permutation, car quinze livres y sont placés, alors qu'il n'en reste que quinze. Utilisez la formule P_15=15!.
Il s'avère que le total sera A_30^15 ⋅ P_15 façons, mais, en plus, le produit de tous les nombres de trente à seize devra être multiplié par le produit des nombres de un à quinze, comme un résultat, le produit de tous les nombres de un à trente, donc la réponse est 30 !
Mais ce problème peut être résolu d'une manière différente - plus facile. Pour ce faire, vous pouvez imaginer qu'il y a une étagère pour trente livres. Tous sont placés sur ce plan, mais comme la condition exige qu'il y ait deux étagères, nous en coupons une longue en deux, il en résulte deux quinze chacune. À partir de là, il s'avère que les options de placement peuvent être P_30=30!.
Solution de l'exemple. Formule pour le numéro de combinaison
Maintenant nous allons considérer une variante du troisième problème de la combinatoire. Il faut savoir combien il y a de façons de ranger quinze livres, à condition d'en choisir parmi trente absolument identiques.
Pour la solution, bien sûr, la formule du nombre de combinaisons sera appliquée. De la condition, il devient clair que l'ordre des quinze livres identiques n'est pas important. Par conséquent, vous devez d'abord connaître le nombre total de combinaisons de trente livres de quinze.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: quinze !=155 117 520
C'est tout. En utilisant cette formule, dans les plus brefs délais, il était possiblerésoudre un tel problème, la réponse, respectivement, est 155 117 520.
Solution de l'exemple. La définition classique de la probabilité
Avec la formule ci-dessus, vous pouvez trouver la réponse à un problème simple. Mais cela aidera à voir visuellement et à suivre le cours des actions.
Il est donné dans le problème qu'il y a dix boules absolument identiques dans l'urne. Parmi ceux-ci, quatre sont jaunes et six sont bleus. Une boule est extraite de l'urne. Vous devez connaître la probabilité de devenir bleu.
Pour résoudre le problème, il est nécessaire de désigner l'obtention de la balle bleue comme événement A. Cette expérience peut avoir dix résultats, qui, à leur tour, sont élémentaires et également probables. En même temps, sur dix, six sont favorables à l'événement A. On résout selon la formule:
P(A)=6: 10=0, 6
En appliquant cette formule, nous avons découvert que la probabilité d'obtenir la boule bleue est de 0,6.
Solution de l'exemple. Probabilité de la somme des événements
Maintenant, une variante sera présentée, qui est résolue en utilisant la formule de la probabilité de la somme des événements. Ainsi, dans la condition où il y a deux cases, la première contient une boule grise et cinq boules blanches, et la seconde contient huit boules grises et quatre blanches. En conséquence, l'un d'eux a été extrait des première et deuxième boîtes. Vous devez savoir quelle est la probabilité que les boules que vous obtenez soient grises et blanches.
Pour résoudre ce problème, vous devez étiqueter les événements.
- Alors, A - prenez une boule grise de la première case: P(A)=1/6.
- A’ – prenez également une boule blanche de la première case: P(A')=5/6.
- B – la boule grise a déjà été sortie de la deuxième case: P(B)=2/3.
- B’ – prendre une boule grise de la deuxième case: P(B')=1/3.
Selon l'état du problème, un des phénomènes doit se produire: AB' ou A'B. En utilisant la formule, on obtient: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Maintenant, la formule de multiplication de probabilité a été utilisée. Ensuite, pour trouver la réponse, vous devez appliquer l'équation pour leur addition:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
Voici comment, en utilisant la formule, vous pouvez résoudre des problèmes similaires.
Résultat
L'article fournissait des informations sur le sujet "Théorie des probabilités", dans lequel la probabilité d'un événement joue un rôle crucial. Bien sûr, tout n'a pas été pris en compte, mais, sur la base du texte présenté, on peut théoriquement se familiariser avec cette section des mathématiques. La science en question peut être utile non seulement dans le travail professionnel, mais aussi dans la vie de tous les jours. Avec son aide, vous pouvez calculer n'importe quelle possibilité de n'importe quel événement.
Le texte a également évoqué des dates importantes dans l'histoire de la formation de la théorie des probabilités en tant que science, et les noms des personnes dont les travaux y ont été investis. C'est ainsi que la curiosité humaine a conduit au fait que les gens ont appris à calculer même des événements aléatoires. Autrefois, ils s'y intéressaient seulement, mais aujourd'hui, tout le monde le sait déjà. Et personne ne dira ce qui nous attend dans le futur, quelles autres brillantes découvertes liées à la théorie envisagée seront faites. Mais une chose est sûre: la recherche ne s'arrête pas !
