Connaître la distance d'un point à un plan ou à une droite permet de calculer le volume et la surface des figures dans l'espace. Le calcul de cette distance en géométrie est effectué à l'aide des équations correspondantes pour les objets géométriques spécifiés. Dans l'article, nous montrerons quelles formules peuvent être utilisées pour le déterminer.
Équations linéaires et planes
Avant de donner des formules pour déterminer la distance d'un point à un plan et à une droite, montrons quelles équations décrivent ces objets.
Pour définir un point, un ensemble de coordonnées dans le système donné d'axes de coordonnées est utilisé. Ici, nous ne considérerons que le système rectangulaire cartésien dans lequel les axes ont les mêmes vecteurs unitaires et sont perpendiculaires entre eux. Sur un plan, un point arbitraire est décrit par deux coordonnées, dans l'espace - par trois.
Différents types d'équations sont utilisés pour définir une ligne droite. Conformément au sujet de l'article, nous présentonsseulement deux d'entre eux, qui sont utilisés dans un espace à deux dimensions pour définir des lignes.
Équation vectorielle. Il a la notation suivante:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Le premier terme ici représente les coordonnées d'un point connu situé sur la ligne. Le deuxième terme est les coordonnées du vecteur de direction multipliées par un nombre arbitraire λ.
Équation générale. Sa notation est la suivante:
Ax + By + C=0;
où A, B, C sont des coefficients.
L'équation générale est plus souvent utilisée pour déterminer des lignes sur un plan, cependant, pour trouver la distance d'un point à une ligne sur un plan, il est plus pratique de travailler avec une expression vectorielle.
Un plan dans un espace tridimensionnel peut également être écrit de plusieurs manières mathématiques. Néanmoins, le plus souvent, dans les problèmes, il existe une équation générale, qui s'écrit comme suit:
Ax + By + Cz + D=0.
L'avantage de cette notation par rapport aux autres est qu'elle contient explicitement les coordonnées d'un vecteur perpendiculaire au plan. Ce vecteur est appelé un guide pour lui, il coïncide avec la direction de la normale, et ses coordonnées sont égales à (A; B; C).
Notez que l'expression ci-dessus coïncide avec la forme d'écriture d'une équation générale pour une ligne droite dans un espace à deux dimensions, donc lors de la résolution de problèmes, vous devez faire attention à ne pas confondre ces objets géométriques.
Distance entre le point et la ligne
Montrons comment calculer la distance entre une ligne droite etpoint dans un espace à deux dimensions.
Soit un point Q(x1; y1) et une droite donnée par:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
La distance entre une droite et un point s'entend comme la longueur d'un segment perpendiculaire à cette droite, descendu sur elle depuis le point Q.
Avant de calculer cette distance, vous devez substituer les coordonnées Q dans cette équation. S'ils le satisfont, alors Q appartient à la ligne donnée, et la distance correspondante est égale à zéro. Si les coordonnées du point ne conduisent pas à l'égalité, alors la distance entre les objets géométriques est non nulle. Il peut être calculé à l'aide de la formule:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Ici P est un point arbitraire de la droite, qui est le début du vecteur PQ¯. Le vecteur u¯ est un segment guide pour une droite, c'est-à-dire que ses coordonnées sont (a; b).
L'utilisation de cette formule nécessite la capacité de calculer le produit croisé dans le numérateur.
Problème avec un point et une ligne
Disons que vous devez trouver la distance entre Q(-3; 1) et une droite qui satisfait l'équation:
y=5x -2.
En substituant les coordonnées de Q dans l'expression, nous pouvons nous assurer que Q ne se trouve pas sur la droite. Vous pouvez appliquer la formule pour d donnée dans le paragraphe ci-dessus si vous représentez cette équation sous forme vectorielle. Faisons comme ceci:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
Prenons maintenant n'importe quel point sur cette ligne, par exemple (0; -2), et construisons un vecteur commençant par lui et se terminant par Q:
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
Appliquez maintenant la formule pour déterminer la distance, nous obtenons:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
Distance du point au plan
Comme dans le cas d'une droite, la distance entre un plan et un point de l'espace s'entend comme la longueur du segment qui, à partir d'un point donné, s'abaisse perpendiculairement au plan et le coupe.
Dans l'espace, un point est donné par trois coordonnées. S'ils sont égaux à (x1; y1; z1), alors la distance entre les plan et ce point peut être calculé en utilisant la formule:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(La2+B2+C2).
Notez que l'utilisation de la formule vous permet de trouver uniquement la distance entre le plan et la ligne. Pour trouver les coordonnées du point où un segment perpendiculaire coupe un plan, il faut écrire une équation pour la droite à laquelle appartient ce segment, puis trouver un point commun à cette droite et à un plan donné.
Problème avec un plan et un point
Trouver la distance d'un point à un plan si l'on sait que le point a des coordonnées (3; -1; 2) et que le plan est donné par:
-y + 3z=0.
Pour utiliser la formule correspondante, nous écrivons d'abord les coefficients pouravion donné. La variable x et le terme libre étant absents, les coefficients A et D sont égaux à zéro. Nous avons:
A=0; B=-1; C=3; D=0.
Il est facile de montrer que ce plan passe par l'origine et que l'axe des x lui appartient.
Remplacer les coordonnées du point et les coefficients du plan dans la formule de la distance d, on obtient:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
Notez que si vous modifiez la coordonnée x d'un point, la distance d ne changera pas. Ce fait signifie que l'ensemble des points (x; -1; 2) forme une droite parallèle au plan donné.
