En géométrie, après un point, une ligne droite est peut-être l'élément le plus simple. Il est utilisé dans la construction de toutes les figures complexes sur le plan et dans l'espace tridimensionnel. Dans cet article, nous allons considérer l'équation générale d'une ligne droite et résoudre quelques problèmes en l'utilisant. Commençons !
Ligne droite en géométrie
Tout le monde sait que des formes telles que rectangle, triangle, prisme, cube, etc. sont formées par des lignes droites qui se croisent. Une ligne droite en géométrie est un objet unidimensionnel qui peut être obtenu en transférant un certain point à un vecteur ayant la même direction ou une direction opposée. Pour mieux comprendre cette définition, imaginons qu'il existe un point P dans l'espace. Prenons un vecteur arbitraire u¯ dans cet espace. Alors n'importe quel point Q de la droite peut être obtenu à la suite des opérations mathématiques suivantes:
Q=P + λu¯.
Ici λ est un nombre arbitraire qui peut être positif ou négatif. Si l'égalitéécrivez ci-dessus en termes de coordonnées, alors nous obtenons l'équation suivante d'une ligne droite:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Cette égalité s'appelle l'équation d'une droite sous forme vectorielle. Et le vecteur u¯ est appelé un guide.
Équation générale d'une droite dans un plan
Chaque élève peut l'écrire sans aucune difficulté. Mais le plus souvent l'équation s'écrit ainsi:
y=kx + b.
Où k et b sont des nombres arbitraires. Le nombre b est appelé le membre libre. Le paramètre k est égal à la tangente de l'angle formé par l'intersection de la droite avec l'axe des x.
L'équation ci-dessus est exprimée par rapport à la variable y. Si on le présente sous une forme plus générale, alors on obtient la notation suivante:
Ax + By + C=0.
Il est facile de montrer que cette forme d'écriture de l'équation générale d'une droite sur un plan se transforme facilement en la forme précédente. Pour ce faire, les parties gauche et droite doivent être divisées par le facteur B et exprimées y.
La figure ci-dessus montre une ligne droite passant par deux points.
Une ligne dans l'espace 3D
Poursuivons notre étude. Nous avons examiné la question de savoir comment l'équation d'une ligne droite sous une forme générale est donnée sur un plan. Si on applique la notation donnée dans le paragraphe précédent de l'article pour le cas spatial, qu'obtiendra-t-on ? Tout est simple - plus une ligne droite, mais un avion. En effet, l'expression suivante décrit un plan parallèle à l'axe z:
Ax + By + C=0.
Si C=0, alors un tel avion passepar l'axe z. C'est une caractéristique importante.
Comment en être alors à l'équation générale d'une droite dans l'espace ? Pour comprendre comment le demander, vous devez vous souvenir de quelque chose. Deux plans se coupent le long d'une certaine droite. Qu'est-ce que ça veut dire? Seulement que l'équation générale est le résultat de la résolution d'un système de deux équations pour les avions. Écrivons ce système:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Ce système est l'équation générale d'une ligne droite dans l'espace. Notez que les plans ne doivent pas être parallèles les uns aux autres, c'est-à-dire que leurs vecteurs normaux doivent être inclinés d'un certain angle les uns par rapport aux autres. Sinon, le système n'aura pas de solutions.
Ci-dessus, nous avons donné la forme vectorielle de l'équation pour une ligne droite. Il est pratique à utiliser lors de la résolution de ce système. Pour ce faire, vous devez d'abord trouver le produit vectoriel des normales de ces plans. Le résultat de cette opération sera un vecteur directeur d'une droite. Ensuite, tout point appartenant à la ligne doit être calculé. Pour ce faire, vous devez définir l'une des variables égale à une certaine valeur, les deux variables restantes peuvent être trouvées en résolvant le système réduit.
Comment traduire une équation vectorielle en une équation générale ? Nuances
C'est un vrai problème qui peut survenir si vous devez écrire l'équation générale d'une droite en utilisant les coordonnées connues de deux points. Montrons comment ce problème est résolu par un exemple. Soit connue les coordonnées de deux points:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
L'équation sous forme vectorielle est assez facile à composer. Les coordonnées du vecteur de direction sont:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Notez qu'il n'y a pas de différence si nous soustrayons les coordonnées Q des coordonnées du point P, le vecteur ne changera de direction que dans le sens opposé. Maintenant, vous devez prendre n'importe quel point et écrire l'équation vectorielle:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
Pour écrire l'équation générale d'une droite, le paramètre λ doit être exprimé dans les deux cas. Et ensuite comparer les résultats. Nous avons:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Il ne reste plus qu'à ouvrir les parenthèses et à transférer tous les termes de l'équation d'un côté de l'équation afin d'obtenir une expression générale pour une droite passant par deux points connus.
Dans le cas d'un problème tridimensionnel, l'algorithme de résolution est conservé, seul son résultat sera un système de deux équations pour les plans.
Tâche
Il faut faire une équation généraleune ligne droite qui coupe l'axe des x en (-3, 0) et qui est parallèle à l'axe des y.
Commençons à résoudre le problème en écrivant l'équation sous forme vectorielle. Puisque la droite est parallèle à l'axe des ordonnées, son vecteur directeur sera le suivant:
u¯=(0, 1).
Ensuite, la ligne souhaitée sera écrite comme suit:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Traduisons maintenant cette expression sous une forme générale, pour cela nous exprimons le paramètre λ:
- x=-3;
- y=λ.
Ainsi, toute valeur de la variable y appartient à la ligne, cependant, seule la valeur unique de la variable x lui correspond. Par conséquent, l'équation générale prendra la forme:
x + 3=0.
Problème avec une ligne droite dans l'espace
On sait que deux plans sécants sont donnés par les équations suivantes:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Il faut trouver l'équation vectorielle de la droite le long de laquelle ces plans se coupent. Commençons.
Comme il a été dit, l'équation générale d'une droite dans l'espace à trois dimensions est déjà donnée sous la forme d'un système de deux à trois inconnues. Tout d'abord, nous déterminons le vecteur directeur le long duquel les plans se croisent. En multipliant les coordonnées vectorielles des normales aux plans, on obtient:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Puisque multiplier un vecteur par un nombre négatif inverse son sens, on peut écrire:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Àpour trouver une expression vectorielle pour une droite, en plus du vecteur directeur, il faut connaître un point de cette droite. Trouver puisque ses coordonnées doivent satisfaire le système d'équations dans la condition du problème, alors nous les trouverons. Par exemple, posons x=0, alors on obtient:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Ainsi, le point appartenant à la droite désirée a pour coordonnées:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Ensuite, nous obtenons la réponse à ce problème, l'équation vectorielle de la ligne souhaitée ressemblera à:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
L'exactitude de la solution peut être facilement vérifiée. Pour ce faire, vous devez choisir une valeur arbitraire du paramètre λ et substituer les coordonnées obtenues du point de la droite dans les deux équations pour les plans, vous obtiendrez une identité dans les deux cas.
