Un plan est un objet géométrique dont les propriétés sont utilisées lors de la construction de projections de points et de lignes, ainsi que lors du calcul de distances et d'angles dièdres entre des éléments de figures tridimensionnelles. Considérons dans cet article quelles équations peuvent être utilisées pour étudier l'emplacement des avions dans l'espace.
Définition du plan
Chacun imagine intuitivement de quel objet il sera question. D'un point de vue géométrique, un plan est un ensemble de points, tous les vecteurs entre lesquels doivent être perpendiculaires à un vecteur. Par exemple, s'il y a m points différents dans l'espace, alors m(m-1) / 2 vecteurs différents peuvent être créés à partir d'eux, reliant les points par paires. Si tous les vecteurs sont perpendiculaires à une certaine direction, alors c'est une condition suffisante que tous les points m appartiennent au même plan.
Équation générale
En géométrie spatiale, un plan est décrit à l'aide d'équations contenant généralement trois coordonnées inconnues correspondant aux axes x, y et z. Pourobtenir l'équation générale en coordonnées planes dans l'espace, supposons qu'il existe un vecteur n¯(A; B; C) et un point M(x0; y0; z0). En utilisant ces deux objets, le plan peut être défini de manière unique.
En effet, supposons qu'il existe un deuxième point P(x; y; z) dont les coordonnées sont inconnues. Selon la définition donnée ci-dessus, le vecteur MP¯ doit être perpendiculaire à n¯, c'est-à-dire que leur produit scalaire est égal à zéro. On peut alors écrire l'expression suivante:
(n¯MP¯)=0 ou
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0)=0
En ouvrant les parenthèses et en introduisant un nouveau coefficient D, on obtient l'expression:
Ax + By + Cz + D=0 où D=-1(Ax0+ By 0 + Cz0)
Cette expression s'appelle l'équation générale du plan. Il est important de rappeler que les coefficients devant x, y et z forment les coordonnées du vecteur n¯(A; B; C) perpendiculaire au plan. Il coïncide avec la normale et est un guide pour l'avion. Pour déterminer l'équation générale, peu importe où ce vecteur est dirigé. Autrement dit, les plans construits sur les vecteurs n¯ et -n¯ seront les mêmes.
La figure ci-dessus montre un plan, un vecteur normal à celui-ci et une ligne perpendiculaire au plan.
Segments coupés par le plan sur les axes et l'équation correspondante
L'équation générale permet d'utiliser des opérations mathématiques simples pour déterminer, enà quels points le plan croisera les axes de coordonnées. Il est important de connaître cette information afin d'avoir une idée de la position dans l'espace de l'avion, ainsi que lors de sa représentation dans les dessins.
Pour déterminer les points d'intersection nommés, une équation en segments est utilisée. Il est ainsi appelé car il contient explicitement les valeurs des longueurs des segments coupés par le plan sur les axes de coordonnées, en comptant à partir du point (0; 0; 0). Prenons cette équation.
Écrivez l'expression générale du plan comme suit:
Ax + By + Cz=-D
Les parties gauche et droite peuvent être divisées par -D sans violer l'égalité. Nous avons:
A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 ou
x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1
Concevez les dénominateurs de chaque terme avec un nouveau symbole, nous obtenons:
p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C alors
x/p + y/q + z/r=1
C'est l'équation mentionnée ci-dessus dans les segments. Il en résulte que la valeur du dénominateur de chaque terme indique la coordonnée de l'intersection avec l'axe correspondant du plan. Par exemple, il coupe l'axe y au point (0; q; 0). C'est facile à comprendre si vous substituez les coordonnées zéro x et z dans l'équation.
Notez que s'il n'y a pas de variable dans l'équation dans les segments, cela signifie que le plan ne coupe pas l'axe correspondant. Par exemple, étant donné l'expression:
x/p + y/q=1
Cela signifie que le plan coupera les segments p et q sur les axes x et y, respectivement, mais il sera parallèle à l'axe z.
Conclusion sur le comportement de l'avion quandl'absence d'une variable dans son équation est également vraie pour une expression de type général, comme le montre la figure ci-dessous.
Équation paramétrique vectorielle
Il existe un troisième type d'équation qui permet de décrire un plan dans l'espace. Il est appelé vecteur paramétrique car il est donné par deux vecteurs situés dans le plan et deux paramètres pouvant prendre des valeurs indépendantes arbitraires. Montrons comment cette équation peut être obtenue.
Supposons qu'il existe deux vecteurs connus u ¯(a1; b1; c1) et v¯(a2; b2; c2). S'ils ne sont pas parallèles, ils peuvent être utilisés pour définir un plan spécifique en fixant le début de l'un de ces vecteurs à un point connu M(x0; y0; z0). Si un vecteur arbitraire MP¯ peut être représenté comme une combinaison de vecteurs linéaires u¯ et v¯, alors cela signifie que le point P(x; y; z) appartient au même plan que u¯, v¯. Ainsi, on peut écrire l'égalité:
MP¯=αu¯ + βv¯
Ou en écrivant cette égalité en termes de coordonnées, on obtient:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a1; b1; c1) + β(a 2; b2; c2)
L'égalité présentée est une équation vectorielle paramétrique pour le plan. Àl'espace vectoriel sur le plan u¯ et v¯ sont appelés générateurs.
Ensuite, lors de la résolution du problème, on montrera comment cette équation peut être réduite à une forme générale pour un plan.
Angle entre les plans dans l'espace
Intuitivement, les plans dans l'espace 3D peuvent se croiser ou non. Dans le premier cas, il est intéressant de trouver l'angle entre eux. Le calcul de cet angle est plus difficile que l'angle entre droites, puisqu'il s'agit d'un objet géométrique dièdre. Cependant, le vecteur de guidage déjà mentionné pour l'avion vient à la rescousse.
Il est géométriquement établi que l'angle dièdre entre deux plans sécants est exactement égal à l'angle entre leurs vecteurs guides. Notons ces vecteurs par n1¯(a1; b1; c1) et n2¯(a2; b2; c2). Le cosinus de l'angle entre eux est déterminé à partir du produit scalaire. Autrement dit, l'angle lui-même dans l'espace entre les plans peut être calculé par la formule:
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
Ici, le module dans le dénominateur est utilisé pour écarter la valeur de l'angle obtus (entre les plans qui se croisent, il est toujours inférieur ou égal à 90o).
Sous forme de coordonnées, cette expression peut être réécrite comme suit:
φ=arccos(|a1a2 + b1b 2 +c1c2|/(√(a12 + b12 + c12)√(a22 + b22 + c 22)))
Plans perpendiculaires et parallèles
Si les plans se coupent et que l'angle dièdre qu'ils forment est de 90o, alors ils seront perpendiculaires. Un exemple de tels plans est un prisme rectangulaire ou un cube. Ces figures sont formées de six plans. À chaque sommet des figures nommées, il y a trois plans perpendiculaires les uns aux autres.
Pour savoir si les plans considérés sont perpendiculaires, il suffit de calculer le produit scalaire de leurs vecteurs normaux. Une condition suffisante pour la perpendicularité dans l'espace des plans est la valeur nulle de ce produit.
Les parallèles sont appelés plans non sécants. Parfois, on dit aussi que des plans parallèles se coupent à l'infini. La condition de parallélisme dans l'espace des plans coïncide avec cette condition pour les vecteurs directeurs n1¯ et n2¯. Vous pouvez le vérifier de deux manières:
- Calculez le cosinus de l'angle dièdre (cos(φ)) à l'aide du produit scalaire. Si les plans sont parallèles, alors la valeur sera 1.
- Essayez de représenter un vecteur par un autre en multipliant par un certain nombre, c'est-à-dire n1¯=kn2¯. Si cela peut être fait, alors les plans correspondants sontparallèle.
La figure montre deux plans parallèles.
Donnons maintenant des exemples de résolution de deux problèmes intéressants en utilisant les connaissances mathématiques obtenues.
Comment obtenir une forme générale à partir d'une équation vectorielle ?
Ceci est une expression vectorielle paramétrique pour un plan. Pour faciliter la compréhension du déroulement des opérations et des astuces mathématiques utilisées, considérons un exemple précis:
(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)
Développez cette expression et exprimez les paramètres inconnus:
x=1 + 2α;
y=2 - α + β;
z=α + 3β
Alors:
α=(x - 1)/2;
β=y - 2 + (x - 1)/2;
z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)
En ouvrant les parenthèses dans la dernière expression, on obtient:
z=2x-2 + 3y - 6 ou
2x + 3y - z - 8=0
Nous avons obtenu la forme générale de l'équation pour le plan spécifié dans l'énoncé du problème sous forme vectorielle
Comment construire un avion passant par trois points ?
Il est possible de tracer un seul plan passant par trois points si ces points n'appartiennent pas à une seule ligne droite. L'algorithme pour résoudre ce problème consiste en la séquence d'actions suivante:
- trouver les coordonnées de deux vecteurs en connectant deux points connus;
- calculer leur produit vectoriel et obtenir un vecteur normal au plan;
- écrire l'équation générale en utilisant le vecteur trouvé etl'un des trois points.
Prenons un exemple concret. Points accordés:
R(1; 2; 0), P(0; -3; 4), Q(1; -2; 2)
Les coordonnées des deux vecteurs sont:
RP¯(-1; -5; 4), PQ¯(1; 1; -2)
Leur produit croisé sera:
n¯=[RP¯PQ¯]=(6; 2; 4)
En prenant les coordonnées du point R, on obtient l'équation demandée:
6x + 2y + 4z -10=0 ou
3x + y + 2z -5=0
Il est recommandé de vérifier l'exactitude du résultat en substituant les coordonnées des deux points restants dans cette expression:
pour P: 30 + (-3) + 24 -5=0;
pour Q: 31 + (-2) + 22 -5=0
Notez qu'il était possible de ne pas trouver le produit vectoriel, mais écrivez immédiatement l'équation du plan sous une forme vectorielle paramétrique.
