Les figures de révolution en géométrie font l'objet d'une attention particulière lors de l'étude de leurs caractéristiques et propriétés. L'un d'eux est un cône tronqué. Cet article vise à répondre à la question de savoir quelle formule peut être utilisée pour calculer l'aire d'un cône tronqué.
De quel chiffre parle-t-on ?
Avant de décrire l'aire d'un tronc de cône, il est nécessaire de donner une définition géométrique exacte de cette figure. Tronqué est un tel cône, qui est obtenu en coupant le sommet d'un cône ordinaire par un plan. Dans cette définition, un certain nombre de nuances doivent être soulignées. Premièrement, le plan de coupe doit être parallèle au plan de la base du cône. Deuxièmement, la figure originale doit être un cône circulaire. Bien sûr, il peut s'agir d'une figure elliptique, hyperbolique et autre, mais dans cet article nous nous limiterons à ne considérer qu'un cône circulaire. Ce dernier est illustré dans la figure ci-dessous.
Il est facile de deviner qu'il peut être obtenu non seulement à l'aide d'une section par un plan, mais également à l'aide d'une opération de rotation. PourPour ce faire, vous devez prendre un trapèze qui a deux angles droits et le faire pivoter autour du côté adjacent à ces angles droits. En conséquence, les bases du trapèze deviendront les rayons des bases du tronc de cône, et le côté incliné latéral du trapèze décrira la surface conique.
Développement de formes
Considérant la surface d'un cône tronqué, il est utile d'apporter son développement, c'est-à-dire l'image de la surface d'une figure tridimensionnelle sur un plan. Ci-dessous, un scan de la figure étudiée avec des paramètres arbitraires.
On peut voir que la zone de la figure est formée de trois composants: deux cercles et un segment circulaire tronqué. Évidemment, pour déterminer la surface requise, il est nécessaire d'additionner les surfaces de toutes les figures nommées. Résolvons ce problème dans le paragraphe suivant.
Zone de cône tronqué
Pour faciliter la compréhension du raisonnement suivant, nous introduisons la notation suivante:
- r1, r2 - rayons des grandes et petites bases respectivement;
- h - hauteur de la figure;
- g - génératrice du cône (la longueur du côté oblique du trapèze).
L'aire des bases d'un cône tronqué est facile à calculer. Écrivons les expressions correspondantes:
So1=pir12;
So2=pir22.
L'aire d'une partie d'un segment circulaire est un peu plus difficile à déterminer. Si l'on imagine que le centre de ce secteur circulaire n'est pas découpé, alors son rayon sera égal à la valeur G. Il n'est pas difficile de le calculer si l'on considère le correspondanttriangles coniques rectangles similaires. Il est égal à:
G=r1g/(r1-r2).
Alors l'aire de tout le secteur circulaire, qui est construit sur le rayon G et qui repose sur un arc de longueur 2pir1, sera égale à:
S1=pir1G=pir1 2g/(r1-r2).
Déterminons maintenant l'aire du petit secteur circulaire S2, qu'il faudra soustraire de S1. Il est égal à:
S2=pir2(G - g)=pir2 (r1g/(r1-r2) - g)=pir22g/(r1-r2 ).
L'aire de la surface conique tronquée Sb est égale à la différence entre S1 et S 2. Nous obtenons:
Sb=S1- S2=pir 12g/(r1-r2) - pi r22g/(r1-r2)=pig(r1+r2).
Malgré quelques calculs fastidieux, nous avons obtenu une expression assez simple pour l'aire de la surface latérale de la figure.
En additionnant les aires des bases et Sb, on arrive à la formule de l'aire d'un tronc de cône:
S=So1+ So2+ Sb=pir 12 + pir22 + pig (r1+r2).
Ainsi, pour calculer la valeur de S de la figure étudiée, il faut connaître ses trois paramètres linéaires.
Exemple de problème
Cône droit circulairede 10 cm de rayon et de 15 cm de hauteur a été coupé par un rabot de manière à obtenir un tronc de cône régulier. Sachant que la distance entre les bases de la figure tronquée est de 10 cm, il faut trouver sa surface.
Pour utiliser la formule de l'aire d'un cône tronqué, vous devez trouver trois de ses paramètres. Celui que nous connaissons:
r1=10 cm.
Les deux autres sont faciles à calculer si l'on considère des triangles rectangles similaires, qui sont obtenus à la suite de la section axiale du cône. En tenant compte de l'état du problème, on obtient:
r2=105/15=3,33 cm.
Enfin, le guide du tronc de cône g sera:
g=√(102+ (r1-r2) 2)=12,02 cm.
Maintenant vous pouvez substituer les valeurs r1, r2 et g dans la formule pour S:
S=pir12+ pir2 2+ pig(r1+r2)=851,93 cm 2.
La surface souhaitée de la figure est d'environ 852 cm2.
