Les figures géométriques dans l'espace sont l'objet d'étude de la stéréométrie, dont le cours est passé par les écoliers au lycée. Cet article est consacré à un polyèdre aussi parfait qu'un prisme. Considérons plus en détail les propriétés d'un prisme et donnons les formules qui servent à les décrire quantitativement.
Qu'est-ce qu'un prisme ?
Tout le monde imagine à quoi ressemble une boîte ou un cube. Les deux figures sont des prismes. Cependant, la classe des prismes est beaucoup plus diversifiée. En géométrie, on donne à cette figure la définition suivante: un prisme est tout polyèdre de l'espace, qui est formé de deux côtés polygonaux parallèles et identiques et de plusieurs parallélogrammes. Les faces parallèles identiques d'une figure sont appelées ses bases (supérieure et inférieure). Les parallélogrammes sont les faces latérales de la figure, reliant les côtés de la base les uns aux autres.
Si la base est représentée par un n-gone, où n est un entier, alors la figure sera composée de 2+n faces, 2n sommets et 3n arêtes. Les faces et les arêtes font référence àde deux types: soit ils appartiennent à la surface latérale, soit aux bases. Quant aux sommets, ils sont tous égaux et appartiennent aux bases du prisme.
Types de figures de la classe étudiée
En étudiant les propriétés d'un prisme, vous devez énumérer les types possibles de cette figure:
- Convexe et concave. La différence entre eux réside dans la forme de la base polygonale. S'il est concave, alors ce sera aussi une figure tridimensionnelle, et vice versa.
- Droite et oblique. Pour un prisme droit, les faces latérales sont soit des rectangles, soit des carrés. Dans une figure oblique, les faces latérales sont des parallélogrammes de type général ou des losanges.
tort et raison. Pour que la figure à étudier soit correcte, elle doit être droite et avoir la bonne base. Un exemple de ces derniers sont des figures plates telles qu'un triangle équilatéral ou un carré.
Le nom du prisme est formé en tenant compte de la classification indiquée. Par exemple, le parallélépipède ou cube rectangle mentionné ci-dessus est appelé un prisme quadrangulaire régulier. Les prismes réguliers, en raison de leur grande symétrie, sont pratiques à étudier. Leurs propriétés sont exprimées sous la forme de formules mathématiques spécifiques.
Zone du prisme
Lorsque l'on considère une telle propriété d'un prisme comme son aire, on entend l'aire totale de toutes ses faces. Il est plus facile d'imaginer cette valeur si vous dépliez la figure, c'est-à-dire développez toutes les faces dans un seul plan. Ci-dessous surLa figure montre un exemple de balayage de deux prismes.
Pour un prisme arbitraire, la formule de l'aire de son balayage sous forme générale peut s'écrire comme suit:
S=2So+ bPsr.
Expliquons la notation. La valeur So est l'aire d'une base, b est la longueur du bord latéral, Psr est le périmètre coupé, qui est perpendiculaire aux parallélogrammes latéraux de la figure.
La formule écrite est souvent utilisée pour déterminer les aires des prismes inclinés. Dans le cas d'un prisme régulier, l'expression de S prendra une forme spécifique:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nba.
Le premier terme de l'expression représente l'aire des deux bases d'un prisme régulier, le second terme est l'aire des rectangles latéraux. Ici a est la longueur du côté d'un n-gone régulier. Notez que la longueur du bord latéral b pour un prisme régulier est aussi sa hauteur h, donc dans la formule b peut être remplacé par h.
Comment calculer le volume d'une figure ?
Prism est un polyèdre relativement simple avec une symétrie élevée. Par conséquent, pour déterminer son volume, il existe une formule très simple. Il ressemble à ceci:
V=Soh.
Le calcul de la surface de base et de la hauteur peut être délicat lorsque l'on regarde une forme irrégulière oblique. Ce problème est résolu à l'aide d'une analyse géométrique séquentielle impliquant des informations sur les angles dièdres entre les parallélogrammes latéraux et la base.
Si le prisme est correct alorsla formule de V devient assez concrète:
V=n/4a2ctg(pi/n)h.
Comme vous pouvez le voir, l'aire S et le volume V d'un prisme régulier sont uniquement déterminés si deux de ses paramètres linéaires sont connus.
Prisme régulier triangulaire
Terminons l'article en considérant les propriétés d'un prisme triangulaire régulier. Il est formé de cinq faces, dont trois sont des rectangles (carrés) et deux sont des triangles équilatéraux. Un prisme a six sommets et neuf arêtes. Pour ce prisme, les formules de volume et de surface sont écrites ci-dessous:
S3=√3/2a2+ 3ha
V3=√3/4a2h.
Outre ces propriétés, il est également utile de donner une formule pour l'apothème de la base de la figure, qui est la hauteur ha d'un triangle équilatéral:
ha=√3/2a.
Les côtés du prisme sont des rectangles identiques. Les longueurs de leurs diagonales d sont:
d=√(a2+ h2).
La connaissance des propriétés géométriques d'un prisme triangulaire présente un intérêt non seulement théorique mais aussi pratique. Le fait est que cette figure, en verre optique, est utilisée pour étudier le spectre de rayonnement des corps.
En passant à travers un prisme de verre, la lumière est décomposée en plusieurs composantes chromatiques par suite du phénomène de dispersion, ce qui crée les conditions pour étudier la composition spectrale d'un flux électromagnétique.
