Le cours de géométrie de l'école est divisé en deux grandes sections: la planimétrie et la géométrie du solide. La stéréométrie étudie les figures spatiales et leurs caractéristiques. Dans cet article, nous examinerons ce qu'est un prisme droit et donnerons des formules décrivant ses propriétés telles que les longueurs diagonales, le volume et la surface.
Qu'est-ce qu'un prisme ?
Quand on demande aux écoliers de nommer la définition d'un prisme, ils répondent que cette figure est constituée de deux polygones parallèles identiques, dont les côtés sont reliés par des parallélogrammes. Cette définition est la plus générale possible, puisqu'elle n'impose pas de conditions sur la forme des polygones, sur leur disposition mutuelle dans des plans parallèles. De plus, cela implique la présence de parallélogrammes de connexion, dont la classe comprend également un carré, un losange et un rectangle. Ci-dessous, vous pouvez voir ce qu'est un prisme quadrangulaire.
On voit qu'un prisme est un polyèdre (polyèdre) constitué de n + 2côtés, 2 × n sommets et 3 × n arêtes, où n est le nombre de côtés (sommets) de l'un des polygones.
Les deux polygones sont généralement appelés les bases de la figure, les autres faces sont les côtés du prisme.
Le concept d'un prisme droit
Il existe différents types de prismes. Ainsi, on parle de figures régulières et irrégulières, de prismes triangulaires, pentagonaux et autres, il y a des figures convexes et concaves, et enfin, elles sont inclinées et droites. Parlons de ce dernier plus en détail.
Un prisme droit est une telle figure de la classe étudiée des polyèdres, dont tous les quadrangles latéraux ont des angles droits. Il n'y a que deux types de tels quadrilatères - un rectangle et un carré.
La forme considérée de la figure a une propriété importante: la hauteur d'un prisme droit est égale à la longueur de son bord latéral. Notez que tous les bords latéraux de la figure sont égaux les uns aux autres. Quant aux faces latérales, dans le cas général elles ne sont pas égales entre elles. Leur égalité est possible si, en plus du fait que le prisme est droit, il sera également correct.
La figure ci-dessous montre une figure droite avec une base pentagonale. On peut voir que toutes ses faces latérales sont des rectangles.
Diagonales du prisme et ses paramètres linéaires
Les principales caractéristiques linéaires de tout prisme sont sa hauteur h et les longueurs des côtés de sa base ai, où i=1, …, n. Si la base est un polygone régulier, alors il suffit de connaître la longueur a d'un côté pour décrire ses propriétés. Connaître les paramètres linéaires marqués nous permet de déterminer sans ambiguïtédéfinir des propriétés d'une figure telles que son volume ou sa surface.
Les diagonales d'un prisme droit sont des segments qui relient deux sommets non adjacents. Ces diagonales peuvent être de trois types:
- se trouvant dans les plans de base;
- situé dans les plans des rectangles latéraux;
- chiffres appartenant au volume.
Les longueurs de ces diagonales liées à la base doivent être déterminées en fonction du type de n-gon.
Les diagonales des rectangles latéraux sont calculées à l'aide de la formule suivante:
d1i=√(ai2+ h2).
Pour déterminer les diagonales de volume, vous devez connaître la valeur de la longueur de la diagonale de base et de la hauteur correspondantes. Si une diagonale de la base est désignée par la lettre d0i, alors la diagonale de volume d2i est calculée comme suit:
d2i=√(d0i2+ h2).
Par exemple, dans le cas d'un prisme quadrangulaire régulier, la longueur de la diagonale du volume sera:
d2=√(2 × a2+ h2).
Notez qu'un prisme triangulaire droit n'a qu'un seul des trois types de diagonales nommés: la diagonale latérale.
Surface de la classe de formes étudiée
La surface est la somme des surfaces de toutes les faces d'une figure. Pour visualiser tous les visages, vous devez faire un scan du prisme. À titre d'exemple, un tel balayage pour une figure pentagonale est illustré ci-dessous.
On voit que le nombre de figures planes est n + 2, et n sont des rectangles. Pour calculer l'aire de l'ensemble du balayage, additionnez les aires de deux bases identiques et les aires de tous les rectangles. Ensuite, la formule correspondante ressemblera à:
S=2 × So+ h × ∑i=1n (ai).
Cette égalité montre que la surface latérale pour le type de prismes étudié est égale au produit de la hauteur de la figure et du périmètre de sa base.
L'aire de base de So peut être calculée en appliquant la formule géométrique appropriée. Par exemple, si la base d'un prisme droit est un triangle rectangle, alors on obtient:
So=a1 × a2 / 2.
Où a1 et a2 sont les branches du triangle.
Si la base est un n-gone avec des angles et des côtés égaux, alors la formule suivante sera juste:
So=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Formule de volume
Déterminer le volume d'un prisme quel qu'il soit n'est pas une tâche difficile si son aire de base So et sa hauteur h sont connues. En multipliant ces valeurs entre elles, on obtient le volume V de la figure, soit:
V=So × h.
Comme le paramètre h d'un prisme droit est égal à la longueur du bord latéral, tout le problème du calcul du volume revient à calculer l'aire So. Au dessus nousJ'ai déjà dit quelques mots et donné quelques formules pour déterminer So. Ici, nous notons seulement que dans le cas d'une base de forme arbitraire, vous devez la diviser en segments simples (triangles, rectangles), calculer l'aire de chacun, puis ajouter toutes les aires pour obtenir S o.
