Le prisme pentagonal dans la résolution des problèmes de géométrie est beaucoup moins courant que les prismes triangulaires, quadrangulaires ou hexagonaux. Néanmoins, il est utile de revoir les propriétés de base de cette forme, ainsi que d'apprendre à la dessiner.
Qu'est-ce qu'un prisme pentagonal ?
Il s'agit d'une figure tridimensionnelle dont les bases sont des pentagones et les côtés sont des parallélogrammes. Si chacun de ces parallélogrammes est perpendiculaire aux bases parallèles, alors un tel prisme est dit rectangulaire. La surface latérale d'un prisme pentagonal rectangulaire est composée de cinq rectangles. De plus, le côté adjacent à la base de chacun d'eux est égal à la longueur correspondante du côté du pentagone.
Si le pentagone est régulier, c'est-à-dire que tous ses côtés et angles sont égaux, alors un tel prisme rectangulaire est dit régulier. Plus loin dans l'article, nous examinerons les propriétés de cette figure particulière.
Éléments de prisme
Pour elle, comme pour tout prisme,les éléments suivants sont caractéristiques:
- les faces ou les côtés sont des parties de plans qui délimitent une figure dans l'espace;
- tops - points d'intersection de trois côtés;
- côtes - segments de l'intersection de deux côtés de la figure.
Les numéros de tous les éléments nommés sont liés les uns aux autres par l'égalité suivante:
Nombre d'arêtes=nombre de sommets + nombre de faces - 2
Cette expression s'appelle la formule d'Euler pour le polyèdre.
Dans un prisme pentagonal, le nombre de côtés est de sept (deux bases + cinq rectangles). Le nombre de pics est de 10 (cinq pour chaque base). Le nombre d'arêtes dans ce cas sera:
Nombre de côtes=10 + 7 - 2=15
Dix arêtes appartiennent aux bases du prisme, et cinq arêtes sont formées par des rectangles.
Comment dessiner un prisme pentagonal ?
La réponse à cette question dépend de la tâche spécifique. S'il est nécessaire de dessiner un prisme arbitraire, alors n'importe quel pentagone doit être dessiné. Après cela, dessinez cinq segments parallèles de longueur égale à partir de chaque sommet du pentagone. Ensuite, connectez les extrémités supérieures des segments. Le résultat est un prisme arbitraire pentagonal.
S'il faut dessiner un prisme régulier, alors toute la complexité de la tâche se résume à l'obtention d'un pentagone régulier. Il existe plusieurs façons de dessiner ce polygone. Ici, nous ne considérerons que deux façons.
La première façon est de dessiner un cercle avec un compas. Ensuite, un diamètre arbitraire est dessinécercle et cinq angles sont comptés à partir de celui-ci à l'aide d'un rapporteur à 72o(572o=360o). Lors du comptage de chaque angle, une encoche est faite sur le cercle. Pour construire un rectangle, il reste à relier les encoches marquées avec des segments droits.
La deuxième méthode consiste à n'utiliser qu'un compas et une règle. Il est un peu complexe par rapport au précédent. Vous trouverez ci-dessous une vidéo qui explique en détail chaque étape de cette construction.
Notez qu'il est facile de dessiner un pentagone si vous reliez les extrémités de l'étoile. S'il n'est pas nécessaire de dessiner un pentagone exactement régulier, vous pouvez utiliser la méthode des étoiles dessinées à la main.
Dès que le pentagone est dessiné, dessinez cinq segments parallèles identiques à partir de chacun de ses sommets et reliez leurs sommets. Le résultat est un prisme pentagonal.
Zone de forme
Considérez maintenant comment trouver l'aire d'un prisme pentagonal. La figure ci-dessous montre son évolution. On peut voir que la surface requise est formée de deux pentagones identiques et de cinq rectangles égaux entre eux.
L'aire de toute la surface de la figure est exprimée par la formule:
S=2So+ 5Sp
Ici les indices o et p signifient respectivement la base et le rectangle. Notons la longueur du côté du pentagone par a et la hauteur de la figure par h. Alors pour le rectangle on écrit:
Sp=ah
Pour calculer l'aire d'un pentagone,utilisez la formule universelle:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Où n est le nombre de côtés du polygone. En substituant n=5, on obtient:
S5=5/4a2ctg(pi/5) ≈ 1, 72a 2
La précision de l'égalité résultante est de 3 décimales, ce qui est largement suffisant pour résoudre n'importe quel problème.
Maintenant, il reste à trouver la somme des aires obtenues de la base et de la surface latérale. Nous avons:
S=21, 72a2 + 5ah=3, 44a2 + 5a h
Il faut se rappeler que la formule résultante n'est valable que pour un prisme rectangulaire. Dans le cas d'une figure oblique, l'aire de sa surface latérale est déterminée à partir de la connaissance du périmètre de la coupe, qui doit être perpendiculaire à tous les parallélogrammes.
Le volume de la figure
La formule de calcul du volume d'un prisme pentagonal n'est pas différente d'une expression similaire pour tout autre prisme ou cylindre. Le volume d'une figure est égal au produit de sa hauteur et de l'aire de la base:
V=Soh
Si le prisme en question est rectangulaire, alors sa hauteur est la longueur de l'arête formée par les rectangles. L'aire d'un pentagone régulier a été calculée ci-dessus avec une grande précision. Remplacez cette valeur dans la formule du volume et obtenez l'expression nécessaire pour un prisme pentagonal régulier:
V=1, 72a2h
Ainsi, calculer le volume et la surfaceun prisme pentagonal régulier est possible si le côté de la base et la hauteur de la figure sont connus.
