En géométrie, deux caractéristiques importantes sont utilisées pour étudier les figures: les longueurs des côtés et les angles entre eux. Dans le cas des figures spatiales, des angles dièdres s'ajoutent à ces caractéristiques. Considérons ce que c'est, et décrivons également la méthode pour déterminer ces angles en utilisant l'exemple d'une pyramide.
Le concept d'angle dièdre
Tout le monde sait que deux droites qui se croisent forment un angle avec le sommet au point de leur intersection. Cet angle peut être mesuré avec un rapporteur ou vous pouvez utiliser des fonctions trigonométriques pour le calculer. L'angle formé par deux angles droits est dit linéaire.
Imaginez maintenant que dans un espace tridimensionnel, il y a deux plans qui se coupent en ligne droite. Ils sont montrés dans l'image.
Un angle dièdre est l'angle entre deux plans qui se croisent. Tout comme le linéaire, il est mesuré en degrés ou en radians. Si à n'importe quel point de la ligne le long de laquelle les plans se coupent, restituer deux perpendiculaires,se trouvant dans ces plans, alors l'angle entre eux sera le dièdre souhaité. Le moyen le plus simple de déterminer cet angle est d'utiliser les équations générales des plans.
L'équation des plans et la formule de l'angle entre eux
L'équation de tout plan dans l'espace en termes généraux s'écrit comme suit:
A × X + B × y + C × z + D=0.
Ici x, y, z sont les coordonnées des points appartenant au plan, les coefficients A, B, C, D sont des nombres connus. La commodité de cette égalité pour le calcul des angles dièdres est qu'elle contient explicitement les coordonnées du vecteur directeur du plan. Nous le noterons n¯. Alors:
n¯=(A; B; C).
Le vecteur n¯ est perpendiculaire au plan. L'angle entre deux plans est égal à l'angle entre leurs vecteurs directeurs n1¯ et n2¯. Il est connu des mathématiques que l'angle formé par deux vecteurs est uniquement déterminé à partir de leur produit scalaire. Cela vous permet d'écrire une formule pour calculer l'angle dièdre entre deux plans:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Si nous substituons les coordonnées des vecteurs, la formule s'écrira explicitement:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + Si12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
Le signe modulo au numérateur est utilisé pour définir uniquement un angle aigu, car un angle dièdre est toujours inférieur ou égal à 90o.
Pyramide et ses angles
La pyramide est une figure formée par un n-gone et n triangles. Ici n est un entier égal au nombre de côtés du polygone qui est la base de la pyramide. Cette figure spatiale est un polyèdre ou polyèdre, puisqu'elle est constituée de faces planes (côtés).
Les angles dièdres d'une pyramide-polyèdre peuvent être de deux types:
- entre la base et le côté (triangle);
- entre deux côtés.
Si la pyramide est considérée comme régulière, il est facile de déterminer les angles nommés pour celle-ci. Pour ce faire, en utilisant les coordonnées de trois points connus, il faut composer une équation de plans, puis utiliser la formule donnée dans le paragraphe ci-dessus pour l'angle φ.
Ci-dessous, nous donnons un exemple dans lequel nous montrons comment trouver des angles dièdres à la base d'une pyramide régulière quadrangulaire.
Une pyramide régulière quadrangulaire et un angle à sa base
Supposons qu'une pyramide régulière à base carrée est donnée. La longueur du côté du carré est a, la hauteur de la figure est h. Trouvez l'angle entre la base de la pyramide et son côté.
Placez l'origine du système de coordonnées au centre du carré. Alors les coordonnées des pointsA, B, C, D montrés dans l'image seront:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
Considérons les avions ACB et ADB. Évidemment, le vecteur de direction n1¯ pour le plan ACB sera:
1¯=(0; 0; 1).
Pour déterminer le vecteur directeur n2¯ du plan ADB, procédez comme suit: trouvez deux vecteurs arbitraires qui lui appartiennent, par exemple, AD¯ et AB¯, puis calculez leur travail vectoriel. Son résultat donnera les coordonnées n2¯. Nous avons:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Puisque la multiplication et la division d'un vecteur par un nombre ne changent pas sa direction, nous transformons le résultat n2¯, en divisant ses coordonnées par -a, nous obtenons:
2¯=(h; 0; a/2).
Nous avons défini des guides vectoriels n1¯ et n2¯ pour les plans de base ACB et latéraux ADB. Il reste à utiliser la formule de l'angle φ:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a 2/4)).
Transformez l'expression résultante et réécrivez-la comme ceci:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
Nous avons obtenu la formule de l'angle dièdre à la base d'une pyramide quadrangulaire régulière. Connaissant la hauteur de la figure et la longueur de son côté, vous pouvez calculer l'angle φ. Par exemple, pour la pyramide de Khéops, dont le côté de la base est de 230,4 mètres et la hauteur initiale était de 146,5 mètres, l'angle φ sera de 51,8o.
Il est également possible de déterminer l'angle dièdre d'une pyramide régulière quadrangulaire en utilisant la méthode géométrique. Pour cela, il suffit de considérer un triangle rectangle formé par la hauteur h, la moitié de la longueur de la base a/2 et l'apothème d'un triangle isocèle.
