Angles dièdres de la pyramide et leur méthode de calcul

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Dernière modifié: 2024-01-02 17:46

Les paramètres linéaires typiques de toute pyramide sont les longueurs des côtés de sa base, sa hauteur, ses bords latéraux et ses apothèmes. Néanmoins, il existe une autre caractéristique associée aux paramètres notés - c'est l'angle dièdre. Considérez dans l'article ce que c'est et comment le trouver.

Pyramide à figures spatiales

Chaque élève a une bonne idée de ce qui est en jeu lorsqu'il entend le mot "pyramide". Il peut être construit géométriquement comme suit: sélectionnez un certain polygone, puis fixez un point dans l'espace et connectez-le à chaque coin du polygone. La figure tridimensionnelle résultante sera une pyramide de type arbitraire. Le polygone qui le forme s'appelle la base, et le point auquel tous ses coins sont reliés est le sommet de la figure. La figure ci-dessous montre schématiquement une pyramide pentagonale.

On peut voir que sa surface est formée non seulement par un pentagone, mais aussi par cinq triangles. En général, le nombre de ces triangles sera égal au nombrecôtés d'une base polygonale.

Angles dièdres de la figure

Lorsque des problèmes géométriques sont considérés sur un plan, tout angle est formé par deux lignes droites ou segments qui se croisent. Dans l'espace, des angles dièdres s'ajoutent à ces angles linéaires, formés par l'intersection de deux plans.

Si la définition marquée d'un angle dans l'espace est appliquée à la figure en question, alors on peut dire qu'il existe deux types d'angles dièdres:

À la base de la pyramide. Il est formé par le plan de la base et l'une quelconque des faces latérales (triangle). Cela signifie que les angles de base de la pyramide sont n, où n est le nombre de côtés du polygone.
Entre les côtés (triangles). Le nombre de ces angles dièdres est également de n pièces.

Notez que le premier type d'angles considérés est construit sur les bords de la base, le second type - sur les bords latéraux.

Comment calculer les angles d'une pyramide ?

L'angle linéaire d'un angle dièdre est la mesure de ce dernier. Son calcul n'est pas aisé, car les faces de la pyramide, contrairement aux faces du prisme, ne se coupent pas à angle droit dans le cas général. Il est plus fiable de calculer les valeurs des angles dièdres en utilisant les équations du plan sous forme générale.

Dans l'espace tridimensionnel, un plan est donné par l'expression suivante:

Ax + By + Cz + D=0

Où A, B, C, D sont des nombres réels. La commodité de cette équation est que les trois premiers nombres marqués sont les coordonnées du vecteur,qui est perpendiculaire au plan donné, c'est-à-dire:

n¯=[A; B; C]

Si les coordonnées de trois points appartenant au plan sont connues, alors en prenant le produit vectoriel de deux vecteurs construits sur ces points, on peut obtenir les coordonnées n¯. Le vecteur n¯ est appelé le guide du plan.

Selon la définition, l'angle dièdre formé par l'intersection de deux plans est égal à l'angle linéaire entre leurs vecteurs directeurs. Supposons que nous ayons deux plans dont les vecteurs normaux sont égaux:

₁¯=[A₁; B₁; C₁];

₂¯=[A₂; B₂; C₂]

Pour calculer l'angle φ entre eux, vous pouvez utiliser la propriété du produit scalaire, alors la formule correspondante devient:

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n₂¯|))

Ou sous forme de coordonnées:

φ=arccos(|A₁A₂+ B₁B ₂+ C₁C₂|/(√(A₁ 2 ^{+ Si}12^+C12 ^)√(La22 ^{+ B}22+ C²₂)))

Montrons comment utiliser la méthode ci-dessus pour calculer les angles dièdres lors de la résolution de problèmes géométriques.

Angles d'une pyramide quadrangulaire régulière

Supposons qu'il existe une pyramide régulière, à la base de laquelle se trouve un carré de 10 cm de côté. La hauteur de la figure est12 cm Il faut calculer quels sont les angles dièdres à la base de la pyramide et pour ses côtés.

Puisque la figure donnée dans la condition du problème est correcte, c'est-à-dire qu'elle a une symétrie élevée, alors tous les angles à la base sont égaux les uns aux autres. Les angles formés par les faces latérales sont également les mêmes. Pour calculer les angles dièdres requis, nous trouvons les vecteurs de direction pour la base et les deux plans latéraux. Dénotez la longueur du côté de la base par la lettre a, et la hauteur h.

L'image ci-dessus montre une pyramide régulière quadrangulaire. Écrivons les coordonnées des points A, B, C et D conformément au système de coordonnées saisi:

A(a/2; -a/2; 0);

B(a/2; a/2; 0);

C(-a/2; a/2; 0);

D(0; 0; h)

Nous trouvons maintenant les vecteurs directeurs pour les plans de base ABC et les deux côtés ABD et BCD conformément à la méthode décrite dans le paragraphe ci-dessus:

Pour ABC:

AB¯=(0; un; 0); AC¯=(-a; a; 0); n₁¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a²)

Pour ABD:

AB¯=(0; un; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n₂¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a²/2)

Pour DCB:

BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n₃¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a²/2)

Maintenant, il reste à appliquer la formule appropriée pour l'angle φ et à substituer les valeurs de côté et de hauteur de l'énoncé du problème:

Angle entre ABC etADB:

(n₁¯n₂¯)=a⁴/2; |n₁¯|=un²; |n₂¯|=un√(h² + un²/4);

φ=arccos(a⁴/2/(a²a√(h^{2+ a}2^{/4)))=arccos(a/(2√(h}2 ^{+ a}2 /4)))=67, 38^o

Angle entre ABD et BDC:

(n₂¯n₃¯)=a⁴/4; |n₂¯|=un√(h² + un²/4); |n₃¯|=un√(h² + un²/4);

φ=arccos(a⁴/(4a²(h²+ a²/4))=arccos(a²/(4(h²+a 2^{/4)))=81, 49}o

Nous avons calculé les valeurs des angles qui devaient être trouvés par l'état du problème. Les formules obtenues en résolvant le problème peuvent être utilisées pour déterminer les angles dièdres des pyramides régulières quadrangulaires avec toutes les valeurs de a et h.

Angles d'une pyramide régulière triangulaire

La figure ci-dessous montre une pyramide dont la base est un triangle régulier. On sait que l'angle dièdre entre les côtés est droit. Il est nécessaire de calculer l'aire de la base si l'on sait que la hauteur de la figure est de 15 cm.

Angle dièdre d'une pyramide triangulaire

Un angle dièdre égal à 90^o est noté ABC sur la figure. Vous pouvez résoudre le problème en utilisant la méthode ci-dessus, mais dans ce cas, nous le ferons plus facilement. Notons le côté du triangle a, la hauteur de la figure - h, l'apothème - h_b et le côtécôte - b. Vous pouvez maintenant écrire les formules suivantes:

S=1/2ah_b;

b²=h_b²+ a² /4;

b²=h² + a²/3

Puisque les deux triangles latéraux de la pyramide sont identiques, les côtés AB et CB sont égaux et sont les branches du triangle ABC. Notons leur longueur par x, alors: