Le calcul des volumes de figures spatiales est l'une des tâches importantes de la stéréométrie. Dans cet article, nous examinerons la question de la détermination du volume d'un tel polyèdre sous forme de pyramide et donnerons également la formule du volume d'une pyramide hexagonale régulière.
pyramide hexagonale
Premièrement, regardons ce qu'est le chiffre, qui sera discuté dans l'article.
Prenons un hexagone arbitraire dont les côtés ne sont pas nécessairement égaux entre eux. Supposons également que nous ayons choisi un point de l'espace qui n'est pas dans le plan de l'hexagone. En reliant tous les coins de ce dernier avec le point sélectionné, on obtient une pyramide. Deux pyramides différentes à base hexagonale sont illustrées dans la figure ci-dessous.
On peut voir qu'en plus de l'hexagone, la figure se compose de six triangles, dont le point de connexion est appelé le sommet. La différence entre les pyramides représentées est que la hauteur h de la droite d'entre elles ne coupe pas la base hexagonale en son centre géométrique, et la hauteur de la figure de gauche tombeen plein dans ce centre. Grâce à ce critère, la pyramide de gauche a été appelée droite et la droite - oblique.
Puisque la base de la figure de gauche dans la figure est formée par un hexagone avec des côtés et des angles égaux, elle est dite correcte. Plus loin dans l'article, nous ne parlerons que de cette pyramide.
Volume de la pyramide hexagonale
Pour calculer le volume d'une pyramide arbitraire, la formule suivante est valide:
V=1/3hSo
Ici h est la longueur de la hauteur de la figure, So est l'aire de sa base. Utilisons cette expression pour déterminer le volume d'une pyramide hexagonale régulière.
Étant donné que la figure considérée est basée sur un hexagone équilatéral, pour calculer son aire, vous pouvez utiliser l'expression générale suivante pour un n-gon:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Ici n est un entier égal au nombre de côtés (coins) du polygone, a est la longueur de son côté, la fonction cotangente est calculée à l'aide des tables appropriées.
En appliquant l'expression pour n=6, on obtient:
S6=6/4a2 ctg(pi/6)=√3/2a 2
Il reste maintenant à substituer cette expression dans la formule générale du volume V:
V6=S6h=√3/2ha2
Ainsi, pour calculer le volume de la pyramide considérée, il faut connaître ses deux paramètres linéaires: la longueur du côté de la base et la hauteur de la figure.
Exemple de résolution de problème
Montrons comment l'expression obtenue pour V6 peut être utilisée pour résoudre le problème suivant.
On sait que le volume d'une pyramide hexagonale régulière est de 100 cm3. Il faut déterminer le côté de la base et la hauteur de la figure, si l'on sait qu'ils sont liés l'un à l'autre par l'égalité suivante:
a=2h
Étant donné que seuls a et h sont inclus dans la formule de volume, n'importe lequel de ces paramètres peut y être substitué, exprimé en fonction de l'autre. Par exemple, en remplaçant a, on obtient:
V6=√3/2h(2h)2=>
h=∛(V6/(2√3))
Pour trouver la valeur de la hauteur d'une figure, il faut prendre la racine du troisième degré du volume, qui correspond à la dimension de la longueur. Nous substituons la valeur de volume V6de la pyramide de l'énoncé du problème, nous obtenons la hauteur:
h=∛(100/(2√3)) ≈ 3,0676 cm
Puisque le côté de la base, conformément à l'état du problème, est le double de la valeur trouvée, nous en obtenons la valeur:
a=2h=23, 0676=6, 1352cm
Le volume d'une pyramide hexagonale peut être trouvé non seulement à travers la hauteur de la figure et la valeur du côté de sa base. Il suffit de connaître deux paramètres linéaires différents de la pyramide pour la calculer, par exemple, l'apotème et la longueur de l'arête latérale.
