Il peut y avoir plusieurs réponses à la question de savoir ce qu'est un carré. Tout dépend à qui vous posez cette question. Le musicien dira que le carré c'est 4, 8, 16, 32 mesures ou improvisation jazz. Enfant - qu'est-ce qu'un jeu de balle ou un magazine pour enfants. L'imprimeur vous enverra étudier les tailles de caractères et le technicien vous enverra des variétés de profilés laminés en métal.
Il existe de nombreuses autres significations de ce mot, mais aujourd'hui nous allons poser une question à un mathématicien. Alors…
Nous allons traiter cette figure progressivement, du plus simple au plus complexe, et commencer par l'histoire de la place. Comment est-il apparu, comment a-t-il été perçu par les gens, les scientifiques de différents pays et civilisations ?
Histoire de l'étude du carré
Le monde antique perçoit le carré, principalement comme les quatre points cardinaux. En général, malgré les nombreux quadrilatères, c'est le carré qui a le nombre principal - quatre. pour les Assyriens etCarré péruvien - le monde entier, c'est-à-dire qu'il représente les quatre directions principales, les points cardinaux.
Même l'Univers a été présenté comme un carré, également divisé en quatre parties - c'est la vision des habitants de l'Amérique du Nord. Pour les Celtes, l'univers compte jusqu'à trois carrés imbriqués les uns dans les autres, et quatre (!) Rivières coulent du centre. Et les Égyptiens déifiaient généralement cette figure !
Pour la première fois, les Grecs décrivaient le carré à l'aide de formules mathématiques. Mais pour eux, ce polygone n'avait que des caractéristiques négatives. Pythagore n'aimait pas du tout les nombres pairs, y voyant faiblesse et féminité.
Même les religions ont un carré. Dans l'Islam, la Kaaba - le nombril de la Terre - n'a pas une forme sphérique, mais une forme cubique.
En Inde, le graphème principal représentant la Terre, ou le symbole de la Terre, était un carré barré. Et encore une fois, nous parlons des quatre points cardinaux, des quatre régions de la terre.
En Chine, le carré est la paix, l'harmonie et l'ordre. Le chaos est vaincu en construisant un Vara carré. Un carré inscrit dans un cercle est la base de la vision du monde, symbolisant l'unité et la connexion du Cosmos et de la Terre.
Russie païenne - Place Svarog. Ce symbole est également appelé l'étoile de Svarog ou l'étoile de la Russie. Il est assez complexe, car il est composé de lignes entrecroisées et fermées. Svarog est le dieu-forgeron, le créateur le plus important, le créateur et le ciel lui-même aux yeux des Russes. Dans ce symbole, il y a un losange, qui parle à nouveau de la Terre et de ses quatre directions. Et une étoile à quatre rayons - 4 points cardinaux, 4 faces de Svarog - son omniscience. Et l'intersection des rayons est le foyer.
Intéressant à propos de la place
La phrase la plus populaire qui me vient à l'esprit à propos de notre personnage principal est "Black Square".
La peinture de Malevitch est toujours très populaire. L'auteur lui-même, après sa création, a longtemps été tourmenté par la question de savoir ce que c'est et pourquoi un simple carré noir sur fond blanc attire autant l'attention sur lui.
Mais si vous regardez attentivement, vous remarquerez que le plan du carré n'est pas lisse et qu'il existe de nombreuses nuances multicolores dans les fissures de la peinture noire. Apparemment, au début, il y avait une certaine composition que l'auteur n'aimait pas, et il l'a fermée à nos yeux avec cette figure. Un carré noir ne ressemble à rien - un trou noir, seulement d'une forme carrée magique. Et le vide est connu pour attirer…
Les "carrés magiques" sont également très populaires. En fait, c'est un tableau, bien sûr, un carré, rempli de chiffres dans chaque colonne. La somme de ces nombres est la même dans toutes les lignes, colonnes et diagonales (individuellement). Si les diagonales sont exclues de l'égalité, alors le carré est semi-magique.
Albrecht Durer en 1514 a créé le tableau "Melancholia I", qui représentait un carré magique 4x4. Dans ce document, la somme des nombres de toutes les colonnes, lignes, diagonales et même des carrés internes est de trente-quatre.
Sur la base de ces tables, des énigmes très intéressantes et populaires sont apparues - "Sudoku".
Les Égyptiens ont été les premiers à tracer des lignes d'interconnexion entre les nombres (date de naissance) et les qualités de caractère, les capacités et les talents d'une personne. Pythagore a pris cette connaissance, l'a quelque peu retravaillée etplacé dans un carré. Le résultat est le carré de Pythagore.
C'est déjà une direction distincte en numérologie. À partir de la date de naissance d'une personne, par addition, quatre nombres principaux sont calculés, qui sont placés dans la psychomatrice (carré). Ainsi, ils exposent toutes les informations secrètes sur votre énergie, votre santé, votre talent, votre chance, votre tempérament et d'autres choses sur les étagères. En moyenne, selon les sondages, la fiabilité est de 60 % à 80 %.
Qu'est-ce qu'un carré ?
Un carré est une figure géométrique. La forme d'un carré est un quadrilatère qui a des côtés et des angles égaux. Encore plus précisément, ce quadrangle est dit régulier.
La place a ses signes. C'est:
- côtés égaux en longueur;
- angles égaux - droit (90 degrés).
Grâce à ces signes et caractéristiques, un cercle peut être inscrit dans un carré et décrit autour de celui-ci. Le cercle circonscrit touchera tous ses sommets, le cercle inscrit touchera les milieux de tous ses côtés. Leur centre coïncidera avec le centre du carré et divisera toutes ses diagonales en deux. Ces derniers, à leur tour, sont égaux les uns aux autres et divisent les coins du carré en parties égales.
Une diagonale divise le carré en deux triangles isocèles, tous deux en quatre.
Ainsi, si la longueur du côté du carré est t, la longueur du rayon du cercle circonscrit est R, et le cercle inscrit est r, alors
l'aire de la base du carré, ou l'aire du carré (S) sera égale à S=t2=2R 2=4r 2;
le périmètre du carré P doit être calculé en utilisant la formule P=4t=4√2R=8r;
longueur du rayon du cercle circonscrit R=(√2/2)t;
inscrit - r=t/2
L'aire de la base d'un carré peut également être calculée en connaissant son côté (a) ou la longueur de sa diagonale (c), alors les formules ressembleront en conséquence: S=a 2 etS=1/2c2.
Qu'est-ce qu'un carré, nous l'avons découvert. Regardons de plus près les détails, car la figure carrée est le quadrilatère le plus symétrique. Il a cinq axes de symétrie, l'un (du quatrième ordre) passant par le centre et étant perpendiculaire au plan du carré lui-même, et les quatre autres sont des axes de symétrie du second ordre, dont deux sont parallèles au côtés, et deux autres passent par les diagonales du carré.
Méthodes pour construire un carré
Selon les définitions, il semble qu'il n'y ait rien de plus facile que de construire un carré régulier. C'est vrai, mais à condition d'avoir tous les outils de mesure. Que faire si quelque chose est en rupture de stock ?
Regardons les moyens existants pour nous aider à construire cette forme.
La règle de mesure et l'équerre sont les principaux outils avec lesquels vous pouvez dessiner le plus facilement un carré.
D'abord, marquez un point, disons A, à partir de là nous allons construire la base du carré.
À l'aide d'une règle, placez-y une distance vers la droite égale à la longueur du côté, disons 30 mm, et mettez le point B.
Maintenant à partir des deux points, à l'aide d'une équerre, tracez des perpendiculaires de 30 mm chacune. Aux extrémités des perpendiculaires, nous plaçons les points C et D, que nous relions les uns aux autres à l'aide derègle - ça y est, le carré ABCD de 30 mm de côté est prêt !
C'est assez facile de faire un carré avec une règle et un rapporteur aussi. Commencer, comme dans le cas précédent, à partir d'un point, disons H, en écartant un segment horizontal, par exemple de 50 mm. Point O.
Connectez maintenant le centre du rapporteur avec le point H, mettez une marque à la valeur d'angle 900, construisez un segment vertical de 50 mm à travers celui-ci et pointez H, placez à son extrémité un point P. Construisez ensuite de la même manière un troisième segment à partir du point O d'un angle de 900 égal à 50 mm, qu'il se termine par le point P. Reliez les points P et P Vous avez un carré de NORP avec une longueur de côté de 50 mm.
Vous pouvez construire un carré en utilisant uniquement un compas et une règle. Si la taille du carré est importante pour vous et que la longueur du côté est connue, vous aurez également besoin d'une calculatrice.
Donc, mettez le premier point E - il sera à partir des sommets du carré. Ensuite, indiquez l'endroit où se trouvera le sommet opposé W, c'est-à-dire la diagonale HJ de votre figure. Si vous construisez un carré en taille, puis en ayant la longueur du côté, calculez la longueur de la diagonale en utilisant la formule:
d=√2a, où a est la longueur du côté.
Une fois que vous connaissez la longueur de la diagonale, construisez un segment du ÅÖ de cette valeur. A partir du point E, à l'aide d'un compas en direction du point F, tracer un demi-cercle de rayon EJ. Et vice versa, du point F - un demi-cercle vers le point E, avec un rayon du SAME. À travers les points d'intersection de ces demi-cercles, à l'aide d'une règle, construisez un segment du ZI. Hedgehog et ZI se coupent à angle droit et sont les diagonales du futur carré. En reliant les points EI, IZH, ZHZ et ZEà l'aide d'une règle, vous obtiendrez un carré inscrit de l'EIHZ.
Il est toujours possible de construire un carré avec une seule règle. Qu'est-ce qu'un carré ? Il s'agit d'une section du plan délimitée par des segments sécants (lignes, rayons). On peut donc construire un carré à partir des coordonnées de ses sommets. Dessinez d'abord les axes de coordonnées. Les côtés du carré peuvent reposer dessus, ou le centre de l'intersection des diagonales coïncidera avec le point d'origine - cela dépend de votre désir ou des conditions du problème. Peut-être que votre silhouette sera à une certaine distance des axes. Dans tous les cas, marquez d'abord deux points par des valeurs numériques (arbitrairement ou conditionnellement), puis vous connaîtrez la longueur du côté du carré. Vous pouvez maintenant calculer les coordonnées des deux sommets restants, en vous rappelant que les côtés du carré sont égaux et parallèles deux à deux. La dernière étape consiste à relier tous les points en série les uns aux autres à l'aide d'une règle.
Qu'est-ce que les carrés ?
Un carré est une figure qui est clairement définie et strictement limitée par ses définitions, de sorte que les types de carrés ne diffèrent pas en variété.
Dans la géométrie non euclidienne, un carré est perçu plus largement - c'est un quadrilatère avec des côtés et des angles égaux, mais le degré des angles n'est pas défini. Cela signifie que les coins peuvent être de 120 degrés (carré "convexe") et, par exemple, de 72 degrés (carré "concave").
Si vous demandez à un géomètre ou à un informaticien ce qu'est un carré, il vous répondra que c'est un graphe complet ou planaire (graphes de K1 à K4). Et çaabsolument juste. Un graphe a des sommets et des arêtes. Lorsqu'ils forment une paire ordonnée, un graphe est formé. Le nombre de sommets est l'ordre du graphe, le nombre d'arêtes est sa taille. Ainsi un carré est un graphe plan avec quatre sommets et six arêtes, ou K4:6.
Côté carré
L'une des principales conditions d'existence d'un carré - la présence de côtés égaux en longueur - rend le côté très important pour divers calculs. Mais en même temps, il donne de nombreuses façons de calculer la longueur du côté du carré en présence d'une variété de données d'entrée.
Alors, comment trouve-t-on le côté d'un carré ?
- Si vous ne connaissez que la longueur de la diagonale du carré d, alors vous pouvez calculer le côté en utilisant la formule suivante: a=d/√2.
- Le diamètre du cercle inscrit est égal au côté du carré et donc à deux rayons, soit: a=D=2R.
- Le rayon du cercle circonscrit peut également vous aider à calculer le côté du carré. Nous pouvons trouver le diamètre D à partir du rayon R, qui, à son tour, est égal à la diagonale du carré d, et nous connaissons déjà la formule du côté du carré passant par la diagonale: a=D/√2=d/√2=2R/√2.
- De l'égalité des côtés, il s'ensuit que vous pouvez trouver le côté du carré (a) en utilisant son périmètre P ou son aire S: a=√S=P/4.
- Si nous connaissons la longueur de la ligne qui sort du coin du carré et traverse le milieu de son côté adjacent C, alors nous pourrons également savoir quelle est la longueur du côté du carré carré: a=2C/√5.
Il y a tellement de façons de connaître un paramètre aussi important que la longueur du côté d'un carré.
Volume carré
La phrase elle-même est absurde. Qu'est-ce qu'un carré ? Il s'agit d'une figure plate qui n'a que deux paramètres - longueur et largeur. Et le volume ? Il s'agit d'une caractéristique quantitative de l'espace occupé par un objet, c'est-à-dire qu'elle ne peut être calculée que pour des corps volumétriques.
Corps 3D, dont toutes les faces sont des carrés - un cube. Malgré la différence colossale et fondamentale, les écoliers essaient assez souvent de calculer le volume d'un carré. Si quelqu'un réussit, le prix Nobel est garanti.
Et pour connaître le volume du cube V, il suffit de multiplier ses trois arêtes - a, b, c: V=abc. Et comme ils sont égaux par définition, la formule peut sembler différente: V=a3.
Quantités, pièces et spécifications
Un carré, comme tout polygone, a des sommets - ce sont les points où ses côtés se croisent. Les sommets d'un carré sont situés sur un cercle circonscrit autour de lui. Une diagonale passe par le sommet jusqu'au centre du carré, qui est aussi la bissectrice et le rayon du cercle circonscrit.
Puisqu'un carré est une figure plate, il est impossible de disséquer et de construire une section d'un carré. Mais cela peut être le résultat de l'intersection de nombreux corps tridimensionnels par un plan. Par exemple, un cylindre. La section axiale du cylindre est un rectangle ou un carré. Même lorsque le corps croise un plan à un angle arbitraire, un carré peut se révéler !
Mais le carré a une autre relation avec la section, mais pas avec n'importe laquelle, mais avec la section d'or.
Nous savons tous que le nombre d'or est une proportion dans laquelle une valeur est liée à une autre de la même manière queleur somme à une valeur plus grande. En termes de pourcentage généralisés, cela ressemble à ceci: la valeur d'origine (montant) est divisée par 62 et 38 %.
Le nombre d'or est très populaire. Il est utilisé dans le design, l'architecture, n'importe où, même dans l'économie. Mais c'est loin d'être la seule proportion dérivée par Pythagore. Il existe, par exemple, une autre expression "√2". Sur sa base, des rectangles dynamiques sont construits, qui sont à leur tour les fondateurs des formats du groupe A (A6, A5, A4, etc.). Pourquoi parle-t-on de rectangles dynamiques ? Parce que leur construction commence par un carré.
Oui, vous devez d'abord construire un carré. Son côté sera égal au plus petit côté du futur rectangle. Ensuite il faut tracer une diagonale de ce carré et, à l'aide d'un compas, réserver la longueur de cette diagonale dans le prolongement du côté du carré. À partir du point obtenu à l'intersection, nous construisons un rectangle, pour lequel nous construisons à nouveau une diagonale et réservons sa longueur dans le prolongement du côté. Si vous continuez à travailler selon ce schéma, vous obtiendrez les mêmes rectangles dynamiques.
Le rapport entre le côté long du premier rectangle et le côté court sera de 0,7. C'est presque 0,68 dans le nombre d'or.
Coins carrés
En fait, il est déjà difficile de dire quelque chose de nouveau sur les coins. Toutes les propriétés, elles sont enseignes d'un carré, nous les avons répertoriées. Quant aux angles, il y en a quatre (comme dans tout quadrilatère), chaque angle du carré est droit, c'est-à-dire qu'il a une dimension de quatre-vingt-dix degrés. A-prieuré,il n'y a qu'un carré rectangulaire. Si les coins sont plus grands ou plus petits, c'est une autre forme.
Les diagonales d'un carré divisent ses coins en deux, c'est-à-dire qu'elles sont bissectrices.
Équation au carré
S'il est nécessaire de calculer la valeur de diverses grandeurs d'un carré (aire, périmètre, longueurs des côtés ou diagonales), utilisez diverses équations dérivées des propriétés du carré, des lois fondamentales et des règles de la géométrie.
1. Équation de surface carrée
D'après les équations de calcul de l'aire des quadrilatères, nous savons qu'elle (aire) est égale au produit de la longueur et de la largeur. Et puisque les côtés du carré ont la même longueur, alors son aire sera égale à la longueur de n'importe quel côté élevé à la seconde puissance
S=a2.
En utilisant le théorème de Pythagore, on peut calculer l'aire d'un carré étant donné la longueur de sa diagonale.
S=d2/2.
2. Équation du périmètre carré
Le périmètre d'un carré, comme tous les quadrilatères, est égal à la somme des longueurs de ses côtés, et comme ils sont tous égaux, on peut dire que le périmètre d'un carré est égal à la longueur de le côté multiplié par quatre
P=a+a+a+a=4a.
Encore une fois, le théorème de Pythagore nous aidera à trouver le périmètre passant par la diagonale. Vous devez multiplier la valeur de la longueur diagonale par deux racines de deux
P=2√2d
3. Équation diagonale carrée
Les diagonales du carré sont égales, se coupent à angle droit et coupent en deux le point d'intersection.
Vous pouvez les trouver sur la base des équations ci-dessus pour l'aire et le périmètre du carré
d=√2a, d=√2S,d=P/2√2
Il existe d'autres moyens de connaître la longueur de la diagonale d'un carré. Le rayon d'un cercle inscrit dans un carré est égal à la moitié de sa diagonale, donc
d=√2D=2√2R, où D est le diamètre et R est le rayon du cercle inscrit.
Connaissant le rayon du cercle circonscrit, il est encore plus facile de calculer la diagonale, car c'est un diamètre, c'est-à-dire d=D=2R.
Il est également possible de calculer la longueur de la diagonale, connaissant la longueur de la ligne s'étendant du coin au centre du côté du carré C: d=√8/5C.
Mais n'oubliez pas qu'un carré est une section d'un plan délimitée par quatre droites qui se croisent.
Il y a suffisamment d'équations pour les lignes (et les figures formées par elles) qui n'ont pas besoin de description supplémentaire, mais la ligne est infinie. Et les polygones sont limités par l'intersection des lignes. Pour eux, vous pouvez utiliser des équations linéaires combinées dans un système qui définit des lignes droites. Mais il est nécessaire de spécifier des paramètres supplémentaires, des conditions.
Pour définir des polygones, il est nécessaire de composer une équation qui décrirait non pas une ligne, mais un segment arbitraire séparé sans l'intervention de conditions et de descriptions supplémentaires.
[x/xi][xi/x]yi - voici une équation spéciale pour les polygones.
Les crochets qu'il contient indiquent la condition d'exclusion de la partie fractionnaire du nombre, c'est-à-dire que nous ne devons laisser que l'entier. yi - une fonction qui sera exécutée dans la plage de paramètres de x à xi.
En utilisant cette équation, nous pouvons dériver de nouveauxéquations pour calculer des segments et des lignes composées de plusieurs segments. C'est basique, universel pour les polygones.
Rappelez-vous qu'un carré fait partie d'un plan, donc sa description comme y=f(x) ne peut être représentée, le plus souvent, que comme une fonction à plusieurs valeurs, qui, à son tour, peut être exprimée en termes de fonctions à valeur unique si elles sont représentées paramétriquement, c'est-à-dire en fonction d'un paramètre t:
x=f(t), y=f(t).
Donc, si vous utilisez l'équation universelle et la représentation paramétrique ensemble, vous pouvez en fait dériver une équation pour exprimer des polygones:
x=((A2+A3)A5+A4P)Cos(L)
y=((A1+A4)A5+A3P)Sin(L), où
A1=[1/[T/P][T/P]; A2=[2/[T/P][T/P]/2]; A3=[3/[T/P][T/P]/3]; A4=[4/[T/P][T/P]/4]; A5=T-P[T/P], où P est la diagonale du rectangle, L est l'angle d'inclinaison par rapport à l'horizontale de la diagonale P, T est un paramètre allant de P à 5P.
Si L=3, 14/4, alors l'équation décrira des carrés de tailles différentes, selon la taille de la diagonale P.
Appliquer un carré
Dans le monde moderne, la technologie permet de donner à divers matériaux une forme carrée, plus précisément une section carrée.
C'est à bien des égards plus rentable, moins cher, plus durable et plus sûr. Alors, maintenant, ils fabriquent des tuyaux carrés, des piles, des fils (fils) et même des fils carrés.
Les principaux avantages sont évidents, ils viennent de la géométrie élémentaire. A taille égale, l'aire du cercle inscrit est inférieure à l'aire du carré dans lequel il est inscrit, donc,le débit d'un tuyau carré ou le contenu énergétique d'un fil carré sera supérieur à celui de ses homologues ronds.
Les consommables à section carrée sont souvent plus esthétiques et pratiques à utiliser, monter, monter.
Lors du choix de ces matériaux, il est important de calculer correctement la section transversale du carré afin que le fil ou le tuyau puisse supporter la charge requise. Dans chaque cas individuel, bien sûr, des paramètres tels que l'intensité ou la pression du courant seront nécessaires, mais on ne peut pas se passer des règles géométriques de base d'un carré. Bien que les dimensions des sections carrées ne soient plus calculées, elles sont choisies en fonction des paramètres donnés dans les tableaux établis par les GOST pour différentes industries.
