Les matrices (tableaux avec des éléments numériques) peuvent être utilisées pour divers calculs. Certains d'entre eux sont la multiplication par un nombre, un vecteur, une autre matrice, plusieurs matrices. Le produit est parfois incorrect. Un résultat erroné est le résultat de l'ignorance des règles d'exécution des actions de calcul. Voyons comment faire la multiplication.
Matrice et nombre
Commençons par la chose la plus simple - multiplier un tableau avec des nombres par une valeur spécifique. Par exemple, nous avons une matrice A avec des éléments aij (i sont les numéros de ligne et j sont les numéros de colonne) et le nombre e. Le produit de la matrice par le nombre e sera la matrice B avec les éléments bij, qui se trouvent par la formule:
bij=e × aij.
T. e. pour obtenir l'élément b11 vous devez prendre l'élément a11 et le multiplier par le nombre désiré, pour obtenir b12 il faut trouver le produit de l'élément a12 et du nombre e, etc.
Résolvons le problème numéro 1 présenté dans l'image. Pour obtenir la matrice B, il suffit de multiplier les éléments de A par 3:
- a11 × 3=18. Nous écrivons cette valeur dans la matrice B à l'endroit où la colonne n° 1 et la ligne n° 1 se croisent.
- a21 × 3=15. Nous avons l'élément b21.
- a12 × 3=-6. Nous avons reçu l'élément b12. Nous l'écrivons dans la matrice B à l'endroit où la colonne 2 et la ligne 1 se croisent.
- a22 × 3=9. Ce résultat est l'élément b22.
- a13 × 3=12. Entrez ce nombre dans la matrice à la place de l'élément b13.
- a23 × 3=-3. Le dernier numéro reçu est l'élément b23.
Ainsi, nous avons obtenu un tableau rectangulaire avec des éléments numériques.
| 18 | –6 | 12 |
| 15 | 9 | –3 |
Les vecteurs et la condition d'existence d'un produit de matrices
Dans les disciplines mathématiques, il existe un "vecteur". Ce terme fait référence à un ensemble ordonné de valeurs allant de a1 à a . Elles sont appelées coordonnées de l'espace vectoriel et sont écrites sous forme de colonne. Il y a aussi le terme "vecteur transposé". Ses composants sont disposés sous forme de chaîne.
Les vecteurs peuvent être appelés matrices:
- le vecteur colonne est une matrice construite à partir d'une colonne;
- row vector est une matrice qui ne comprend qu'une seule ligne.
Quand c'est faitsur les matrices d'opérations de multiplication, il est important de se rappeler qu'il existe une condition d'existence d'un produit. L'action de calcul A × B ne peut être effectuée que lorsque le nombre de colonnes dans le tableau A est égal au nombre de lignes dans le tableau B. La matrice résultante résultant du calcul a toujours le nombre de lignes dans le tableau A et le nombre de colonnes dans le tableau B.
Lors de la multiplication, il n'est pas recommandé de réorganiser les matrices (multiplicateurs). Leur produit ne correspond généralement pas à la loi de multiplication commutative (déplacement), c'est-à-dire que le résultat de l'opération A × B n'est pas égal au résultat de l'opération B × A. Cette caractéristique est appelée la non-commutativité du produit de matrices. Dans certains cas, le résultat de la multiplication A × B est égal au résultat de la multiplication B × A, c'est-à-dire que le produit est commutatif. Les matrices pour lesquelles l'égalité A × B=B × A est vraie sont appelées matrices de permutation. Voir des exemples de ces tableaux ci-dessous.
Multiplication par un vecteur colonne
Lors de la multiplication d'une matrice par un vecteur colonne, il faut tenir compte de la condition d'existence du produit. Le nombre de colonnes (n) dans le tableau doit correspondre au nombre de coordonnées qui composent le vecteur. Le résultat du calcul est le vecteur transformé. Son nombre de coordonnées est égal au nombre de lignes (m) du tableau.
Comment sont calculées les coordonnées du vecteur y s'il existe une matrice A et un vecteur x ? Pour les calculs des formules créées:
y1=a11x1 + a12 x2 + … + a1 x , y2=a21x1 + a22x2 + … + a 2nx ,
…………………………………………, ym=am1x1 + am2 x2 + … + amnx ,
où x1, …, x sont les coordonnées du vecteur x, m est le nombre de lignes dans la matrice et le nombre de coordonnées dans le nouveau vecteur y, n est le nombre de colonnes dans la matrice et le nombre de coordonnées dans le vecteur x, a11, a12, …, amn– éléments de la matrice A.
Ainsi, pour obtenir la ième composante du nouveau vecteur, le produit scalaire est effectué. Le vecteur i-ème ligne est tiré de la matrice A, et il est multiplié par le vecteur disponible x.
Résolvons le problème n° 2. Vous pouvez trouver le produit d'une matrice et d'un vecteur car A a 3 colonnes et x se compose de 3 coordonnées. En conséquence, nous devrions obtenir un vecteur colonne à 4 coordonnées. Utilisons les formules ci-dessus:
- Calculer y1. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). La valeur finale est 2.
- Calculer y2. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Lors du calcul, nous obtenons 0.
- Calculer y3. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). La somme des produits des facteurs indiqués est 6.
- Calculer y4. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). La coordonnée est -8.
Multiplication de vecteur-matrice de lignes
Vous ne pouvez pas multiplier une matrice à plusieurs colonnes par un vecteur ligne. Dans de tels cas, la condition d'existence de l'œuvre n'est pas remplie. Mais la multiplication d'un vecteur ligne par une matrice est possible. Cettel'opération de calcul est effectuée lorsque le nombre de coordonnées dans le vecteur et le nombre de lignes dans la table correspondent. Le résultat du produit d'un vecteur et d'une matrice est un nouveau vecteur ligne. Son nombre de coordonnées doit être égal au nombre de colonnes de la matrice.
Le calcul de la première coordonnée d'un nouveau vecteur implique la multiplication du vecteur ligne et du premier vecteur colonne du tableau. La deuxième coordonnée est calculée de la même manière, mais au lieu du premier vecteur colonne, le deuxième vecteur colonne est pris. Voici la formule générale pour calculer les coordonnées:
yk=a1kx1+ a2kx2 + … + amkx m, où yk est une coordonnée du vecteur y, (k est compris entre 1 et n), m est le nombre de lignes dans la matrice et le nombre de coordonnées dans le vecteur x, n est le nombre de colonnes dans la matrice et le nombre de coordonnées dans le vecteur y, a avec des indices alphanumériques sont les éléments de la matrice A.
Produit de matrices rectangulaires
Ce calcul peut sembler compliqué. Cependant, la multiplication se fait facilement. Commençons par une définition. Le produit d'une matrice A à m lignes et n colonnes et d'une matrice B à n lignes et p colonnes est une matrice C à m lignes et p colonnes, dans laquelle l'élément cij est le somme des produits des éléments i- ème ligne du tableau A et j-ème colonne du tableau B. En termes plus simples, l'élément cij est le produit scalaire de la i-ème ligne vecteur du tableau A et le vecteur de colonne j du tableau B.
Déterminons maintenant comment trouver le produit de matrices rectangulaires. Résolvons pour cela le problème n° 3. La condition d'existence d'un produit est satisfaite. Commençons à calculer les éléments cij:
- La matrice C aura 2 lignes et 3 colonnes.
- Calculer l'élément c11. Pour ce faire, on effectue le produit scalaire de la ligne n°1 de la matrice A et de la colonne n°1 de la matrice B. c11=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Ensuite, nous procédons de la même manière, en ne modifiant que les lignes, les colonnes (en fonction de l'index de l'élément).
- c12=12.
- c13=9.
- c21=31.
- c22=18.
- c23=36.
Les éléments sont calculés. Maintenant, il ne reste plus qu'à faire un bloc rectangulaire des numéros reçus.
| 16 | 12 | 9 |
| 31 | 18 | 36 |
Multiplication de trois matrices: la partie théorique
Pouvez-vous trouver le produit de trois matrices ? Cette opération de calcul est réalisable. Le résultat peut être obtenu de plusieurs manières. Par exemple, il y a 3 tables carrées (du même ordre) - A, B et C. Pour calculer le produit, vous pouvez:
- Multipliez d'abord A et B. Multipliez ensuite le résultat par C.
- Trouvez d'abord le produit de B et C. Puis multipliez la matrice A par le résultat.
Si vous devez multiplier des matrices rectangulaires, vous devez d'abord vous assurer que cette opération de calcul est possible. Devraitles produits A × B et B × C existent.
La multiplication incrémentielle n'est pas une erreur. Il existe une chose telle que "l'associativité de la multiplication matricielle". Ce terme fait référence à l'égalité (A × B) × C=A × (B × C).
Pratique de multiplication à trois matrices
Matrices carrées
Commencez par multiplier de petites matrices carrées. La figure ci-dessous montre le problème numéro 4, que nous devons résoudre.
Nous allons utiliser la propriété d'associativité. D'abord, nous multiplions soit A et B, soit B et C. Nous nous souvenons d'une seule chose: vous ne pouvez pas échanger les facteurs, c'est-à-dire que vous ne pouvez pas multiplier B × A ou C × B. Avec cette multiplication, nous obtiendrons un résultat erroné.
Avancement de la décision.
Première étape. Pour trouver le produit commun, nous multiplions d'abord A par B. Lors de la multiplication de deux matrices, nous serons guidés par les règles décrites ci-dessus. Ainsi, le résultat de la multiplication de A et B sera une matrice D à 2 lignes et 2 colonnes, c'est-à-dire qu'un tableau rectangulaire comprendra 4 éléments. Trouvons-les en faisant le calcul:
- d11=0 × 1 + 5 × 6=30;
- d12=0 × 4 + 5 × 2=10;
- d21=3 × 1 + 2 × 6=15;
- d22=3 × 4 + 2 × 2=16.
Résultat intermédiaire prêt.
| 30 | 10 |
| 15 | 16 |
Étape deux. Multiplions maintenant la matrice D par la matrice C. Le résultat devrait être une matrice carrée G avec 2 lignes et 2 colonnes. Calculer les éléments:
- g11=30 × 8 + 10 × 1=250;
- g12=30 × 5 + 10 × 3=180;
- g21=15 × 8 + 16 × 1=136;
- g22=15 × 5 + 16 × 3=123.
Ainsi, le résultat du produit de matrices carrées est un tableau G avec des éléments calculés.
| 250 | 180 |
| 136 | 123 |
Matrices rectangulaires
La figure ci-dessous montre le problème numéro 5. Il est nécessaire de multiplier des matrices rectangulaires et de trouver une solution.
Vérifions si la condition d'existence des produits A × B et B × C est satisfaite. Les ordres des matrices indiquées nous permettent d'effectuer la multiplication. Commençons à résoudre le problème.
Avancement de la décision.
Première étape. Multipliez B par C pour obtenir D. La matrice B a 3 lignes et 4 colonnes, et la matrice C a 4 lignes et 2 colonnes. Cela signifie que nous aurons une matrice D avec 3 lignes et 2 colonnes. Calculons les éléments. Voici 2 exemples de calcul:
- d11=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
- d12=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.
Nous continuons à résoudre le problème. À la suite de calculs supplémentaires, nous trouvons les valeurs d21, d2 2, ré31 et ré32. Ces éléments sont respectivement 0, 19, 1 et 11. Écrivons les valeurs trouvées dans un tableau rectangulaire.
| 0 | 7 |
| 0 | 19 |
| 1 | 11 |
Étape deux. Multipliez A par D pour obtenir la matrice finale F. Elle aura 2 lignes et 2 colonnes. Calculer les éléments:
- f11=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
- f12=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
- f21=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
- f22=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.
Composer un tableau rectangulaire, qui est le résultat final de la multiplication de trois matrices.
| 1 | 139 |
| 3 | 52 |
Introduction au travail direct
Un matériau assez difficile à comprendre est le produit Kronecker des matrices. Il a également un nom supplémentaire - un travail direct. Qu'entend-on par ce terme ? Disons que nous avons le tableau A d'ordre m × n et le tableau B d'ordre p × q. Le produit direct de la matrice A et de la matrice B est une matrice d'ordre mp × nq.
Nous avons 2 matrices carrées A, B, qui sont montrées dans l'image. Le premier a 2 colonnes et 2 lignes, et le second a 3 colonnes et 3 lignes. On voit que la matrice issue du produit direct est constituée de 6 lignes et exactement du même nombre de colonnes.
Comment les éléments d'une nouvelle matrice sont-ils calculés dans un produit direct ? Trouver la réponse à cette question est très facile si vous analysez l'image. Remplissez d'abord la première ligne. Prenez le premier élément de la rangée supérieure du tableau A et multipliez-le séquentiellement par les éléments de la première rangéedu tableau B. Ensuite, prenez le deuxième élément de la première ligne du tableau A et multipliez séquentiellement par les éléments de la première ligne du tableau B. Pour remplir la deuxième ligne, prenez à nouveau le premier élément de la première ligne du tableau A et multipliez-le par les éléments de la deuxième ligne du tableau B.
La matrice finale obtenue par produit direct est appelée matrice bloc. Si nous analysons à nouveau la figure, nous pouvons voir que notre résultat se compose de 4 blocs. Tous incluent des éléments de la matrice B. De plus, un élément de chaque bloc est multiplié par un élément spécifique de la matrice A. Dans le premier bloc, tous les éléments sont multipliés par a11, dans le deuxième - par un12, dans le troisième - sur un21, dans le quatrième - sur un22.
Déterminant du produit
Lorsque l'on considère le sujet de la multiplication matricielle, il vaut la peine de considérer un terme tel que "le déterminant du produit des matrices". Qu'est-ce qu'un déterminant ? C'est une caractéristique importante d'une matrice carrée, une certaine valeur qui est attribuée à cette matrice. La désignation littérale du déterminant est det.
Pour une matrice A composée de deux colonnes et de deux lignes, le déterminant est facile à trouver. Il existe une petite formule qui fait la différence entre les produits d'éléments spécifiques:
det A=a11 × a22 – a12 × a21.
Prenons un exemple de calcul du déterminant pour une table de second ordre. Il existe une matrice A dans laquelle a11=2, a12=3, a21=5 et a22=1. Pour calculer le déterminant, utilisez la formule:
det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.
Pour les matrices 3 × 3, le déterminant est calculé à l'aide d'une formule plus complexe. Il est présenté ci-dessous pour la matrice A:
det A=a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a 32 – a13a22a31 – a11 a23a32 – a12a21 a33.
Pour retenir la formule, nous avons trouvé la règle du triangle, qui est illustrée dans l'image. Tout d'abord, les éléments de la diagonale principale sont multipliés. Les produits des éléments indiqués par les angles des triangles à côtés rouges sont ajoutés à la valeur obtenue. Ensuite, le produit des éléments de la diagonale secondaire est soustrait et les produits des éléments indiqués par les coins des triangles à côtés bleus sont soustraits.
Parlons maintenant du déterminant du produit des matrices. Il existe un théorème qui dit que cet indicateur est égal au produit des déterminants des tableaux multiplicateurs. Vérifions cela avec un exemple. Nous avons la matrice A avec les entrées a11=2, a12=3, a21=1 et a22=1 et matrice B avec les entrées b11=4, b12=5, b 21 =1 et b22=2. Trouver les déterminants des matrices A et B, le produit A × B et le déterminant de ce produit.
Avancement de la décision.
Première étape. Calculez le déterminant pour A: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Ensuite, calculez le déterminant pour B: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.
Étape deux. Allons trouverproduit A × B. Dénotez la nouvelle matrice par la lettre C. Calculez ses éléments:
- c11=2 × 4 + 3 × 1=11;
- c12=2 × 5 + 3 × 2=16;
- c21=1 × 4 + 1 × 1=5;
- c22=1 × 5 + 1 × 2=7.
Troisième étape. Calculez le déterminant pour C: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Comparez avec la valeur qui pourrait être obtenue en multipliant les déterminants des matrices originales. Les chiffres sont les mêmes. Le théorème ci-dessus est vrai.
Classement du produit
Le rang d'une matrice est une caractéristique qui reflète le nombre maximal de lignes ou de colonnes linéairement indépendantes. Pour calculer le rang, des transformations élémentaires de la matrice sont effectuées:
- réarrangement de deux rangées parallèles;
- multiplier tous les éléments d'une certaine ligne du tableau par un nombre non nul;
- ajouter aux éléments d'une ligne des éléments d'une autre ligne, multipliés par un nombre spécifique.
Après les transformations élémentaires, regardez le nombre de chaînes non nulles. Leur nombre est le rang de la matrice. Considérez l'exemple précédent. Il présentait 2 matrices: A avec les éléments a11=2, a12=3, a21=1 et a22 =1 et B avec les éléments b11=4, b12=5, b21=1 et b22=2. Nous utiliserons également la matrice C obtenue à la suite de la multiplication. Si nous effectuons des transformations élémentaires, il n'y aura pas de lignes nulles dans les matrices simplifiées. Cela signifie que le rang de la table A, et le rang de la table B, et le rangla table C est 2.
Maintenant, portons une attention particulière au rang du produit des matrices. Il existe un théorème qui dit que le rang d'un produit de tableaux contenant des éléments numériques ne dépasse le rang d'aucun des facteurs. Cela peut être prouvé. Soit A une matrice k × s et B une matrice s × m. Le produit de A et B est égal à C.
Étudions l'image ci-dessus. Il montre la première colonne de la matrice C et sa notation simplifiée. Cette colonne est une combinaison linéaire des colonnes incluses dans la matrice A. De même, on peut dire de toute autre colonne du tableau rectangulaire C. Ainsi, le sous-espace formé par les vecteurs colonnes du tableau C est dans le sous-espace formé par les vecteurs colonnes du tableau A. Par conséquent, la dimension du sous-espace n° 1 ne dépasse pas la dimension du sous-espace n° 2. Cela implique que le rang en colonnes du tableau C ne dépasse pas le rang en colonnes du tableau A, c'est-à-dire, r(C) ≦ r(A). Si nous argumentons de la même manière, alors nous pouvons nous assurer que les lignes de la matrice C sont des combinaisons linéaires des lignes de la matrice B. Cela implique l'inégalité r(C) ≦ r(B).
Comment trouver le produit de matrices est un sujet plutôt compliqué. Il peut être facilement maîtrisé, mais pour arriver à un tel résultat, vous devrez passer beaucoup de temps à mémoriser toutes les règles et théorèmes existants.
