Aire d'un prisme droit : formules et exemple de problème

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Dernière modifié: 2024-01-02 17:46

Le volume et la surface sont deux caractéristiques importantes de tout corps ayant des dimensions finies dans un espace tridimensionnel. Dans cet article, nous considérons une classe bien connue de polyèdres - les prismes. En particulier, la question de savoir comment trouver la surface d'un prisme droit sera révélée.

Qu'est-ce qu'un prisme ?

Un prisme est un polyèdre délimité par plusieurs parallélogrammes et deux polygones identiques situés dans des plans parallèles. Ces polygones sont considérés comme les bases de la figure et ses parallélogrammes sont les côtés. Le nombre de côtés (coins) de la base détermine le nom de la figure. Par exemple, la figure ci-dessous montre un prisme pentagonal.

La distance entre les bases s'appelle la hauteur de la figure. Si la hauteur est égale à la longueur de n'importe quel bord latéral, alors un tel prisme sera droit. La deuxième caractéristique suffisante pour un prisme droit est que tous ses côtés sont des rectangles ou des carrés. Si, cependantSi un côté est un parallélogramme général, la figure sera inclinée. Ci-dessous, vous pouvez voir comment les prismes droits et obliques diffèrent visuellement sur l'exemple des figures quadrangulaires.

Superficie d'un prisme droit

Si une figure géométrique a une base n-gonale, alors elle se compose de n+2 faces, dont n sont des rectangles. Notons les longueurs des côtés de la base par a_i, où i=1, 2, …, n, et dénotons la hauteur de la figure, qui est égale à la longueur de la bord latéral, comme h. Pour déterminer l'aire (S) de la surface de toutes les faces, additionnez l'aire S_{o de chacune des bases et toutes les aires des côtés (rectangles). Ainsi, la formule de S sous forme générale peut s'écrire comme suit:}

S=2S_o+ S_b

Où S_{b est la surface latérale.}

Comme la base d'un prisme droit peut être absolument n'importe quel polygone plat, alors une seule formule pour calculer S_{one peut pas être donnée, et pour déterminer cette valeur, en général Dans ce cas, une analyse géométrique doit être effectuée. Par exemple, si la base est un n-gone régulier de côté a, alors son aire est calculée par la formule:}

S_o=n/4ctg(pi/n)a²

Quant à la valeur de S_{b, l'expression pour son calcul peut être donnée. La surface latérale d'un prisme droit est:}

S_b=h∑_i=1(a_i)

C'est-à-dire que la valeurS_{b est calculé comme le produit de la hauteur de la figure et du périmètre de sa base.}

Exemple de résolution de problèmes

Appliquons les connaissances acquises pour résoudre le problème géométrique suivant. Étant donné un prisme dont la base est un triangle rectangle avec des côtés à angle droit de 5 cm et 7 cm. La hauteur de la figure est de 10 cm. Il est nécessaire de trouver la surface d'un prisme triangulaire droit.

Premièrement, calculons l'hypoténuse du triangle. Il sera égal à:

c=√(5²+ 7^{2)=8,6 cm}

Maintenant, faisons une autre opération mathématique préparatoire: calculez le périmètre de la base. Ce sera:

P=5 + 7 + 8.6=20.6cm

L'aire de la surface latérale de la figure est calculée comme le produit de la valeur P et de la hauteur h=10 cm, c'est-à-dire S_b=206 cm ^2.

Pour trouver l'aire de toute la surface, deux aires de base doivent être ajoutées à la valeur trouvée. Puisque l'aire d'un triangle rectangle est déterminée par la moitié du produit des jambes, on obtient:

2S_o=257/2=35cm²

Alors on obtient que la surface d'un prisme triangulaire droit est de 35 + 206=241 cm2.