La stéréométrie est l'étude des caractéristiques des formes géométriques tridimensionnelles. L'une des figures volumétriques bien connues qui apparaît dans les problèmes de géométrie est un prisme droit. Considérons dans cet article de quoi il s'agit, et décrivons également en détail un prisme à base triangulaire.
Prisme et ses types
Un prisme est une figure qui se forme à la suite d'une translation parallèle d'un polygone dans l'espace. À la suite de cette opération géométrique, une figure est formée, composée de plusieurs parallélogrammes et de deux polygones identiques parallèles les uns aux autres. Les parallélogrammes sont les côtés du prisme et les polygones sont ses bases.
Tout prisme a n+2 côtés, 3n arêtes et 2n sommets, où n est le nombre de coins ou de côtés de la base polygonale. L'image montre un prisme pentagonal qui a 7 côtés, 10 sommets et 15 arêtes.
La classe de figures considérée est représentée par plusieurs types de prismes. Nous les énumérons brièvement:
- concave et convexe;
- oblique et droit;
- faux et vrai.
Chaque figure appartient à l'un des trois types de classification énumérés. Lors de la résolution de problèmes géométriques, il est plus facile d'effectuer des calculs pour des prismes réguliers et droits. Ce dernier sera discuté plus en détail dans les paragraphes suivants de l'article.
Qu'est-ce qu'un prisme droit ?
Un prisme droit est un prisme concave ou convexe, régulier ou irrégulier, dans lequel tous les côtés sont représentés par des quadrilatères avec des angles de 90°. Si au moins un des quadrilatères des côtés n'est pas un rectangle ou un carré, alors le prisme est dit oblique. Une autre définition peut également être donnée: un prisme droit est une figure d'une classe donnée dans laquelle toute arête latérale est égale à la hauteur. Sous la hauteur h du prisme, la distance entre ses bases est supposée.
Les deux définitions données selon lesquelles il s'agit d'un prisme direct sont égales et autosuffisantes. Il en résulte que tous les angles dièdres entre n'importe laquelle des bases et chaque côté sont de 90°.
Il a été dit plus haut qu'il est pratique de travailler avec des chiffres droits lors de la résolution de problèmes. Cela est dû au fait que la hauteur correspond à la longueur de la nervure latérale. Ce dernier fait facilite le processus de calcul du volume d'une figure et de l'aire de sa surface latérale.
Volume d'un prisme direct
Volume - une valeur inhérente à toute figure spatiale, qui reflète numériquement la partie de l'espace comprise entre les surfaces de l'objet considéréobjet. Le volume d'un prisme peut être calculé à l'aide de la formule générale suivante:
V=Soh.
C'est-à-dire que le produit de la hauteur et de l'aire de la base donnera la valeur souhaitée V. Puisque les bases d'un prisme droit sont égales, alors pour déterminer l'aire So vous pouvez en prendre n'importe lequel.
L'avantage d'utiliser la formule ci-dessus spécifiquement pour un prisme droit par rapport à ses autres types est qu'il est très facile de trouver la hauteur de la figure, puisqu'elle coïncide avec la longueur du bord latéral.
Zone latérale
Il convient de calculer non seulement le volume d'une figure droite de la classe considérée, mais également sa surface latérale. En effet, n'importe quel côté de celui-ci est soit un rectangle, soit un carré. Chaque élève sait calculer l'aire de ces figures plates, pour cela il faut multiplier les côtés adjacents les uns par les autres.
Supposons que la base du prisme est un n-gone arbitraire dont les côtés sont égaux à ai. L'indice i va de 1 à n. L'aire d'un rectangle est calculée comme ceci:
Si=aih.
L'aire de la surface latérale Sbest facile à calculer si vous additionnez toutes les aires Si rectangles. Dans ce cas, nous obtenons la formule finale pour Sbprisme droit:
Sb=h∑i=1(ai)=hPo.
Ainsi, pour déterminer la surface latérale d'un prisme droit, il faut multiplier sa hauteur par le périmètre d'une base.
Problème avec un prisme triangulaire
Supposons qu'un prisme droit est donné. La base est un triangle rectangle. Les jambes de ce triangle mesurent 12 cm et 8 cm. Il faut calculer le volume de la figure et son aire totale si la hauteur du prisme est de 15 cm.
Premièrement, calculons le volume d'un prisme droit. Le triangle (rectangulaire) situé à ses bases a une aire:
So=a1a2/2=128/2=48cm2.
Comme vous pouvez le deviner, a1 et a2 sont des jambes dans cette équation. Connaissant l'aire de base et la hauteur (voir l'état du problème), vous pouvez utiliser la formule pour V:
V=Soh=4815=720cm3.
L'aire totale de la figure est formée de deux parties: les aires des bases et la surface latérale. Les aires des deux bases sont:
S2o=2So=482=96cm2.
Pour calculer la surface latérale, vous devez connaître le périmètre d'un triangle rectangle. Calculer par le théorème de Pythagore son hypoténuse a3, on a:
a3 =√(a12+ a2 2)=√(122+ 82)=14,42 cm.
Alors le périmètre du triangle de la base du prisme droit sera:
P=un1+ un2+ un3=12 + 8 + 14, 42=34, 42 cm.
En appliquant la formule pour Sb, qui a été écrite dans le paragraphe précédent,obtenir:
Sb=hP=1534, 42=516, 3 cm.
En additionnant les aires de S2o et Sb, on obtient la surface totale de la figure géométrique étudiée:
S=S2o+ Sb=96 + 516, 3=612, 3cm2.
Un prisme triangulaire, fabriqué à partir de types de verre spéciaux, est utilisé en optique pour étudier les spectres d'objets émettant de la lumière. De tels prismes sont capables de décomposer la lumière en fréquences composantes en raison du phénomène de dispersion.
