Le prisme est un polyèdre ou polyèdre, qui est étudié dans le cours scolaire de géométrie solide. L'une des propriétés importantes de ce polyèdre est son volume. Considérons dans l'article comment cette valeur peut être calculée, et donnons également les formules pour le volume des prismes - quadrangulaires réguliers et hexagonaux.
Prisme en stéréométrie
Cette figure s'entend comme un polyèdre, constitué de deux polygones identiques situés dans des plans parallèles, et de plusieurs parallélogrammes. Pour certains types de prismes, les parallélogrammes peuvent représenter des quadrilatères rectangles ou des carrés. Vous trouverez ci-dessous un exemple de prisme dit pentagonal.
Pour construire une figure comme dans la figure ci-dessus, vous devez prendre un pentagone et effectuer son transfert parallèle à une certaine distance dans l'espace. En reliant les côtés de deux pentagones à l'aide de parallélogrammes, nous obtenons le prisme souhaité.
Chaque prisme se compose de faces, de sommets et d'arêtes. Les sommets du prismecontrairement à la pyramide, sont égaux, chacun d'eux se réfère à l'une des deux bases. Les faces et les arêtes sont de deux types: celles qui appartiennent aux bases et celles qui appartiennent aux côtés.
Les prismes sont de plusieurs types (corrects, obliques, convexes, droits, concaves). Considérons plus loin dans l'article par quelle formule le volume d'un prisme est calculé, en tenant compte de la forme de la figure.
Expression générale pour déterminer le volume d'un prisme
Quel que soit le type auquel appartient la figure étudiée, qu'elle soit droite ou oblique, régulière ou irrégulière, il existe une expression universelle qui permet de déterminer son volume. Le volume d'une figure spatiale est la zone d'espace qui est enfermée entre ses faces. La formule générale du volume d'un prisme est la suivante:
V=So × h.
Ici So représente la surface de la base. Il ne faut pas oublier que nous parlons d'une base, et non de deux. La valeur h est la hauteur. La hauteur de la figure étudiée s'entend comme la distance entre ses bases identiques. Si cette distance coïncide avec les longueurs des nervures latérales, on parle alors de prisme droit. Dans une figure droite, tous les côtés sont des rectangles.
Ainsi, si un prisme est oblique et a un polygone de base irrégulier, alors le calcul de son volume devient plus compliqué. Si la figure est droite, le calcul du volume se réduit uniquement à la détermination de l'aire de la base So.
Déterminer le volume d'une figure régulière
Régulier est tout prisme qui est droit et a une base polygonale avec des côtés et des angles égaux les uns aux autres. Par exemple, de tels polygones réguliers sont un carré et un triangle équilatéral. En même temps, un losange n'est pas une figure régulière, puisque tous ses angles ne sont pas égaux.
La formule du volume d'un prisme régulier découle sans ambiguïté de l'expression générale de V, qui a été écrite dans le paragraphe précédent de l'article. Avant de procéder à l'écriture de la formule correspondante, il est nécessaire de déterminer l'aire de la base correcte. Sans entrer dans les détails mathématiques, nous présentons la formule permettant de déterminer la zone indiquée. Il est universel pour tout n-gon régulier et a la forme suivante:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Comme vous pouvez le voir à partir de l'expression, la zone Sn est une fonction de deux paramètres. Un entier n peut prendre des valeurs de 3 à l'infini. La valeur a est la longueur du côté du n-gone.
Pour calculer le volume d'une figure, il suffit de multiplier l'aire S par la hauteur h ou par la longueur du bord latéral b (h=b). En conséquence, nous arrivons à la formule de travail suivante:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × h.
Notez que pour déterminer le volume d'un prisme de type quelconque, il faut connaître plusieurs grandeurs (longueurs des côtés de la base, hauteur, angles dièdres de la figure), mais pour calculer la valeur V de un prisme régulier, nous n'avons besoin de connaître que deux paramètres linéaires, par exemple, a et h.
Le volume d'un prisme régulier quadrangulaire
Un prisme quadrangulaire est appelé un parallélépipède. Si toutes ses faces sont égales et carrées, alors une telle figure sera un cube. Chaque élève sait que le volume d'un parallélépipède rectangle ou d'un cube est déterminé en multipliant ses trois côtés différents (longueur, hauteur et largeur). Ce fait découle de l'expression de volume générale écrite pour une figure régulière:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× h=a2 × h.
Ici la cotangente de 45° est égale à 1. Notez que l'égalité de la hauteur h et de la longueur du côté de la base a conduit automatiquement à la formule du volume d'un cube.
Volume du prisme régulier hexagonal
Appliquez maintenant la théorie ci-dessus pour déterminer le volume d'une figure à base hexagonale. Pour ce faire, il suffit de substituer la valeur n=6 dans la formule:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × h.
L'expression écrite peut être obtenue indépendamment sans utiliser la formule universelle pour S. Pour ce faire, vous devez diviser l'hexagone régulier en six triangles équilatéraux. Le côté de chacun d'eux sera égal à a. L'aire d'un triangle correspond à:
S3=√3/4 × a2.
En multipliant cette valeur par le nombre de triangles (6) et par la hauteur, on obtient la formule ci-dessus pour le volume.
