Dans le cours de géométrie solide, l'une des figures les plus simples qui a des dimensions non nulles le long de trois axes spatiaux est un prisme quadrangulaire. Considérez dans l'article de quel type de figure il s'agit, de quels éléments il se compose, et aussi comment vous pouvez calculer sa surface et son volume.
Le concept de prisme
En géométrie, un prisme est une figure spatiale formée de deux bases identiques et de surfaces latérales qui relient les côtés de ces bases. Notez que les deux bases sont transformées l'une dans l'autre en utilisant l'opération de translation parallèle par un vecteur. Cette affectation du prisme conduit au fait que tous ses côtés sont toujours des parallélogrammes.
Le nombre de côtés de la base peut être arbitraire, à partir de trois. Lorsque ce nombre tend vers l'infini, le prisme se transforme doucement en cylindre, puisque sa base devient un cercle, et les parallélogrammes latéraux, reliés, forment une surface cylindrique.
Comme tout polyèdre, un prisme est caractérisé parcôtés (plans qui délimitent la figure), arêtes (segments le long desquels deux côtés se croisent) et sommets (points de rencontre de trois côtés, pour un prisme, deux d'entre eux sont latéraux et le troisième est la base). Les quantités des trois éléments nommés de la figure sont interconnectées par l'expression suivante:
P=C + B - 2
Ici P, C et B sont respectivement le nombre d'arêtes, de côtés et de sommets. Cette expression est la notation mathématique du théorème d'Euler.
L'image ci-dessus montre deux prismes. A la base de l'un d'eux (A) se trouve un hexagone régulier, et les côtés latéraux sont perpendiculaires aux bases. La figure B montre un autre prisme. Ses côtés ne sont plus perpendiculaires aux bases, et la base est un pentagone régulier.
Qu'est-ce qu'un prisme quadrangulaire ?
Comme il ressort clairement de la description ci-dessus, le type de prisme est principalement déterminé par le type de polygone qui forme la base (les deux bases sont identiques, nous pouvons donc parler de l'une d'elles). Si ce polygone est un parallélogramme, alors on obtient un prisme quadrangulaire. Ainsi, tous les côtés de ce type de prisme sont des parallélogrammes. Un prisme quadrangulaire a son propre nom - un parallélépipède.
Le nombre de côtés d'un parallélépipède est de six, et chaque côté a une parallèle similaire. Étant donné que les bases de la boîte sont à deux côtés, les quatre autres sont latérales.
Le nombre de sommets du parallélépipède est de huit, ce qui est facile à voir si l'on se rappelle que les sommets du prisme ne se forment qu'aux sommets des polygones de base (4x2=8). En appliquant le théorème d'Euler, on obtient le nombre d'arêtes:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
Sur 12 côtes, seules 4 sont formées indépendamment par les côtés. Les 8 restants se trouvent dans les plans des bases de la figure.
Plus loin dans l'article, nous ne parlerons que des prismes quadrangulaires.
Types de parallélépipèdes
Le premier type de classification est les caractéristiques du parallélogramme sous-jacent. Cela peut ressembler à ceci:
- régulier, dont les angles ne sont pas égaux à 90o;
- rectangle;
- un carré est un quadrilatère régulier.
Le deuxième type de classification est l'angle auquel le côté croise la base. Deux cas différents sont possibles ici:
- cet angle n'est pas droit, alors le prisme est dit oblique ou oblique;
- l'angle est de 90o, alors un tel prisme est rectangulaire ou simplement droit.
Le troisième type de classification est lié à la hauteur du prisme. Si le prisme est rectangulaire et que la base est un carré ou un rectangle, on parle alors de cuboïde. S'il y a un carré à la base, le prisme est rectangulaire et sa hauteur est égale à la longueur du côté du carré, alors nous obtenons la figure de cube bien connue.
Surface et aire du prisme
L'ensemble de tous les points qui se trouvent sur deux bases d'un prisme(parallélogrammes) et sur ses côtés (quatre parallélogrammes) forment la surface de la figure. L'aire de cette surface peut être calculée en calculant l'aire de la base et cette valeur pour la surface latérale. Ensuite, leur somme donnera la valeur souhaitée. Mathématiquement, cela s'écrit comme suit:
S=2So+ Sb
Ici So et Sb sont respectivement la surface de la base et de la surface latérale. Le chiffre 2 avant So apparaît car il y a deux bases.
Notez que la formule écrite est valable pour n'importe quel prisme, et pas seulement pour l'aire d'un prisme quadrangulaire.
Il est utile de rappeler que l'aire d'un parallélogramme Sp se calcule par la formule:
Sp=ah
Où les symboles a et h désignent respectivement la longueur de l'un de ses côtés et la hauteur tracée de ce côté.
L'aire d'un prisme rectangulaire à base carrée
Dans un prisme quadrangulaire régulier, la base est un carré. Pour la précision, nous désignons son côté par la lettre a. Pour calculer l'aire d'un prisme quadrangulaire régulier, vous devez connaître sa hauteur. Selon la définition de cette quantité, elle est égale à la longueur de la perpendiculaire tombée d'une base à l'autre, c'est-à-dire égale à la distance qui les sépare. Notons-le par la lettre h. Puisque toutes les faces latérales sont perpendiculaires aux bases pour le type de prisme considéré, la hauteur d'un prisme quadrangulaire régulier sera égale à la longueur de son bord latéral.
BLa formule générale de la surface d'un prisme est à deux termes. L'aire de la base dans ce cas est facile à calculer, elle est égale à:
So=un2
Pour calculer l'aire de la surface latérale, on raisonne comme suit: cette surface est formée de 4 rectangles identiques. De plus, les côtés de chacun d'eux sont égaux à a et h. Cela signifie que l'aire de Sb sera égale à:
Sb=4ah
Notez que le produit 4a est le périmètre de la base carrée. Si nous généralisons cette expression au cas d'une base arbitraire, alors pour un prisme rectangulaire la surface latérale peut être calculée comme suit:
Sb=Poh
Où Po est le périmètre de la base.
Revenant au problème du calcul de l'aire d'un prisme quadrangulaire régulier, on peut écrire la formule finale:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Aire d'un parallélépipède oblique
Le calcul est un peu plus difficile que pour un rectangle. Dans ce cas, l'aire de base d'un prisme quadrangulaire est calculée selon la même formule que pour un parallélogramme. Les changements concernent la façon dont la surface latérale est déterminée.
Pour ce faire, utilisez la même formule à travers le périmètre que celle donnée dans le paragraphe ci-dessus. Seulement maintenant, il aura des multiplicateurs légèrement différents. La formule générale pour Sb dans le cas d'un prisme oblique est:
Sb=Psrc
Ici c est la longueur du bord latéral de la figure. La valeur Psr est le périmètre de la tranche rectangulaire. Cet environnement est construit de la manière suivante: il faut couper toutes les faces latérales avec un plan afin qu'il soit perpendiculaire à toutes. Le rectangle résultant sera la coupe souhaitée.
La figure ci-dessus montre un exemple de boîte oblique. Sa section hachurée forme des angles droits avec les côtés. Le périmètre de la section est Psr. Il est formé de quatre hauteurs de parallélogrammes latéraux. Pour ce prisme quadrangulaire, la surface latérale est calculée à l'aide de la formule ci-dessus.
La longueur de la diagonale d'un cuboïde
La diagonale d'un parallélépipède est un segment qui relie deux sommets qui n'ont pas de côtés communs qui les forment. Il n'y a que quatre diagonales dans un prisme quadrangulaire. Pour un cuboïde avec un rectangle à sa base, les longueurs de toutes les diagonales sont égales entre elles.
La figure ci-dessous montre la figure correspondante. Le segment rouge est sa diagonale.
Calculer sa longueur est très simple, si vous vous souvenez du théorème de Pythagore. Chaque élève peut obtenir la formule souhaitée. Il a la forme suivante:
D=√(LA2+ B2 + C2)
Ici D est la longueur de la diagonale. Les caractères restants sont les longueurs des côtés de la boîte.
Beaucoup de gens confondent la diagonale d'un parallélépipède avec les diagonales de ses côtés. Ci-dessous une image où la couleurles segments représentent les diagonales des côtés de la figure.
La longueur de chacun d'eux est également déterminée par le théorème de Pythagore et est égale à la racine carrée de la somme des carrés des longueurs des côtés correspondants.
Volume du prisme
En plus de l'aire d'un prisme quadrangulaire régulier ou d'autres types de prismes, pour résoudre certains problèmes géométriques, vous devez également connaître leur volume. Cette valeur pour absolument n'importe quel prisme est calculée par la formule suivante:
V=Soh
Si le prisme est rectangulaire, il suffit de calculer l'aire de sa base et de la multiplier par la longueur du bord du côté pour obtenir le volume de la figure.
Si le prisme est un prisme quadrangulaire régulier, alors son volume sera:
V=a2h.
Il est facile de voir que cette formule est convertie en une expression du volume d'un cube si la longueur de l'arête latérale h est égale au côté de la base a.
Problème avec un cuboïde
Pour consolider le matériel étudié, nous allons résoudre le problème suivant: il existe un parallélépipède rectangle dont les côtés mesurent 3 cm, 4 cm et 5 cm. Il faut calculer sa surface, sa diagonale et son volume.
Pour plus de précision, nous supposerons que la base de la figure est un rectangle avec des côtés de 3 cm et 4 cm. Alors son aire est de 12 cm2, et la période est de 14 cm. En utilisant la formule de la surface du prisme, nous obtenons:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94cm2
Pour déterminer la longueur de la diagonale et le volume de la figure, vous pouvez directement utiliser les expressions ci-dessus:
D=√(32+42+52)=7 071 cm;
V=345=60cm3.
Problème avec un parallélépipède oblique
La figure ci-dessous montre un prisme oblique. Ses côtés sont égaux: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. Il faut trouver la surface de cette figure.
D'abord, déterminons l'aire de la base. La figure montre que l'angle aigu est de 50o. Alors son aire est:
So=ha=sin(50o)ba
Pour déterminer l'aire de la surface latérale, vous devez trouver le périmètre du rectangle ombré. Les côtés de ce rectangle sont asin(45o) et bsin(60o). Alors le périmètre de ce rectangle est:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
La surface totale de cette boîte est de:
S=2So+ Sb=2(sin(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Nous substituons les données de la condition du problème aux longueurs des côtés de la figure, nous obtenons la réponse:
S=458, 5496 cm3
Il ressort de la solution de ce problème que les fonctions trigonométriques sont utilisées pour déterminer les aires des figures obliques.
