La rotation des corps est l'un des types importants de mouvement mécanique dans la technologie et la nature. Contrairement au mouvement linéaire, il est décrit par son propre ensemble de caractéristiques cinématiques. L'une d'elles est l'accélération angulaire. Nous caractérisons cette valeur dans l'article.
Mouvement de rotation
Avant de parler d'accélération angulaire, décrivons le type de mouvement auquel elle s'applique. Nous parlons de rotation, qui est le mouvement des corps le long de trajectoires circulaires. Pour que la rotation se produise, certaines conditions doivent être remplies:
- présence d'un axe ou d'un point de rotation;
- la présence d'une force centripète qui maintiendrait le corps sur une orbite circulaire.
Des exemples de ce type de mouvement sont diverses attractions, comme un carrousel. En ingénierie, la rotation se manifeste dans le mouvement des roues et des arbres. Dans la nature, l'exemple le plus frappant de ce type de mouvement est la rotation des planètes autour de leur propre axe et autour du Soleil. Le rôle de la force centripète dans ces exemples est joué par les forces d'interaction interatomique dans les solides et la force gravitationnelleinteraction.
Caractéristiques cinématiques de rotation
Ces caractéristiques comprennent trois grandeurs: l'accélération angulaire, la vitesse angulaire et l'angle de rotation. Nous les désignerons respectivement par les symboles grecs α, ω et θ.
Puisque le corps se déplace en cercle, il est commode de calculer l'angle θ, qu'il tournera dans un certain temps. Cet angle est exprimé en radians (rarement en degrés). Puisque le cercle a 2 × pi radians, on peut écrire une équation reliant θ à la longueur de l'arc L du tour:
L=θ × r
Où r est le rayon de rotation. Cette formule est facile à obtenir si vous vous souvenez de l'expression correspondante pour la circonférence.
La vitesse angulaire ω, comme son homologue linéaire, décrit la vitesse de rotation autour de l'axe, c'est-à-dire qu'elle est déterminée selon l'expression suivante:
ω¯=ré θ / ré t
La quantité ω¯ est une valeur vectorielle. Il est dirigé selon l'axe de rotation. Son unité est le radian par seconde (rad/s).
Enfin, l'accélération angulaire est une caractéristique physique qui détermine le taux de variation de la valeur de ω¯, qui s'écrit mathématiquement comme suit:
α¯=ré ω¯/ ré t
Le vecteur α¯ vise à changer le vecteur vitesse ω¯. On dira plus loin que l'accélération angulaire est dirigée vers le vecteur du moment de force. Cette valeur est mesurée en radians.seconde carrée (rad/s2).
Moment de force et accélération
Si nous rappelons la loi de Newton, qui relie la force et l'accélération linéaire en une seule égalité, puis, en transférant cette loi au cas de la rotation, nous pouvons écrire l'expression suivante:
M¯=je × α¯
Ici M¯ est le moment de la force, qui est le produit de la force qui tend à faire tourner le système par le levier - la distance entre le point d'application de la force et l'axe. La valeur I est analogue à la masse du corps et s'appelle le moment d'inertie. La formule écrite s'appelle l'équation des moments. À partir de là, l'accélération angulaire peut être calculée comme suit:
α¯=M¯/ I
Puisque I est un scalaire, α¯ est toujours dirigé vers le moment de force agissant M¯. La direction de M¯ est déterminée par la règle de la main droite ou la règle de la vrille. Les vecteurs M¯ et α¯ sont perpendiculaires au plan de rotation. Plus le moment d'inertie du corps est grand, plus la valeur de l'accélération angulaire que le moment fixe M¯ peut conférer au système est faible.
Équations cinématiques
Pour comprendre le rôle important que joue l'accélération angulaire dans la description du mouvement de rotation, notons les formules reliant les grandeurs cinématiques étudiées ci-dessus.
Dans le cas d'une rotation uniformément accélérée, les relations mathématiques suivantes sont valides:
ω=α × t;
θ=α × t2 / 2
La première formule montre que l'anglela vitesse va augmenter dans le temps selon une loi linéaire. La deuxième expression permet de calculer l'angle dont le corps va tourner en un temps connu t. Le graphe de la fonction θ(t) est une parabole. Dans les deux cas, l'accélération angulaire est une constante.
Si nous utilisons la formule de relation entre L et θ donnée au début de l'article, nous pouvons obtenir une expression pour α en termes d'accélération linéaire a:
α=a / r
Si α est constant, alors à mesure que la distance à l'axe de rotation r augmente, l'accélération linéaire a augmentera proportionnellement. C'est pourquoi les caractéristiques angulaires sont utilisées pour la rotation, contrairement aux linéaires, elles ne changent pas avec l'augmentation ou la diminution de r.
Exemple de problème
L'arbre métallique, tournant à une fréquence de 2 000 tours par seconde, a commencé à ralentir et s'est complètement arrêté après 1 minute. Il est nécessaire de calculer avec quelle accélération angulaire le processus de décélération de l'arbre a eu lieu. Vous devez également calculer le nombre de tours que l'arbre a effectués avant de s'arrêter.
Le processus de ralentissement de la rotation est décrit par l'expression suivante:
ω=ω0- α × t
La vitesse angulaire initiale ω0est déterminée à partir de la fréquence de rotation f comme suit:
ω0=2 × pi × f
Puisque nous connaissons le temps de décélération, alors nous obtenons la valeur d'accélération α:
α=ω0 / t=2 × pi × f / t=209,33 rad/s2
Ce nombre doit être pris avec un signe moins,parce que nous parlons de ralentir le système, pas de l'accélérer.
Pour déterminer le nombre de tours que l'arbre fera lors du freinage, appliquez l'expression:
θ=ω0 × t - α × t2 / 2=376 806 rad.
La valeur obtenue de l'angle de rotation θ en radians est simplement convertie en nombre de tours effectués par l'arbre avant son arrêt complet en utilisant une simple division par 2 × pi:
n=θ / (2 × pi)=60 001 tours.
Ainsi, nous avons obtenu toutes les réponses aux questions du problème: α=-209, 33 rad/s2, n=60 001 tours.
