La cinématique est une partie de la physique qui considère les lois du mouvement des corps. Sa différence avec la dynamique est qu'elle ne considère pas les forces agissant sur un corps en mouvement. Cet article est consacré à la question de la cinématique du mouvement de rotation.
Mouvement de rotation et sa différence avec le mouvement vers l'avant
Si vous faites attention aux objets en mouvement environnants, vous pouvez voir qu'ils se déplacent soit en ligne droite (la voiture roule sur la route, l'avion vole dans le ciel), soit en cercle (le même voiture entrant dans un virage, la rotation de la roue). Des types plus complexes de mouvement d'objets peuvent être réduits, en première approximation, à une combinaison des deux types indiqués.
Le mouvement progressif consiste à modifier les coordonnées spatiales du corps. Dans ce cas, il est souvent considéré comme un point matériel (les dimensions géométriques ne sont pas prises en compte).
Le mouvement de rotation est un type de mouvement dans lequelle système se déplace en cercle autour d'un axe. De plus, l'objet dans ce cas est rarement considéré comme un point matériel, le plus souvent une autre approximation est utilisée - un corps absolument rigide. Ce dernier signifie que les forces élastiques agissant entre les atomes du corps sont négligées et on suppose que les dimensions géométriques du système ne changent pas pendant la rotation. Le cas le plus simple est un essieu fixe.
La cinématique des mouvements de translation et de rotation obéit aux mêmes lois de Newton. Des quantités physiques similaires sont utilisées pour décrire les deux types de mouvement.
Quelles quantités décrivent le mouvement en physique ?
La cinématique des mouvements de rotation et de translation utilise trois grandeurs de base:
- Le chemin parcouru. Nous le désignerons par la lettre L pour la translation et θ - pour le mouvement de rotation.
- Vitesse. Pour un cas linéaire, il est généralement écrit avec la lettre latine v, pour un mouvement le long d'une trajectoire circulaire - avec la lettre grecque ω.
- Accélération. Pour une trajectoire linéaire et circulaire, les symboles a et α sont utilisés, respectivement.
Le concept de trajectoire est également souvent utilisé. Mais pour les types de mouvement d'objets considérés, ce concept devient trivial, puisque le mouvement de translation est caractérisé par une trajectoire linéaire et de rotation - par un cercle.
Vitesses linéaires et angulaires
Commençons la cinématique du mouvement de rotation d'un point matérielvu du concept de vitesse. On sait que pour le mouvement de translation des corps, cette valeur décrit quel chemin sera parcouru par unité de temps, c'est-à-dire:
v=L / t
V est mesuré en mètres par seconde. Pour la rotation, il est peu pratique de considérer cette vitesse linéaire, car elle dépend de la distance à l'axe de rotation. Une caractéristique légèrement différente est introduite:
ω=θ / t
C'est l'une des principales formules de la cinématique du mouvement de rotation. Il montre à quel angle θ tout le système tournera autour d'un axe fixe dans le temps t.
Les deux formules ci-dessus reflètent le même processus physique de vitesse de déplacement. Seulement pour le cas linéaire, la distance est importante, et pour le cas circulaire, l'angle de rotation.
Les deux formules interagissent entre elles. Établissons cette connexion. Si nous exprimons θ en radians, alors un point matériel tournant à une distance R de l'axe, ayant fait un tour, parcourra le chemin L=2piR. L'expression de la vitesse linéaire prendra la forme:
v=L / t=2piR / t
Mais le rapport de 2pi radians au temps t n'est rien d'autre qu'une vitesse angulaire. Alors on obtient:
v=ωR
De là, on peut voir que plus la vitesse linéaire v est grande et plus le rayon de rotation R est petit, plus la vitesse angulaire ω est grande.
Accélération linéaire et angulaire
Une autre caractéristique importante dans la cinématique du mouvement de rotation d'un point matériel est l'accélération angulaire. Avant d'apprendre à le connaître, faisonsformule pour une valeur linéaire similaire:
1) a=dv / dt
2) a=Δv / Δt
La première expression reflète l'accélération instantanée (dt ->0), tandis que la deuxième formule est appropriée si la vitesse change uniformément au cours du temps Δt. L'accélération obtenue dans la deuxième variante est appelée moyenne.
Étant donné la similitude des quantités qui décrivent le mouvement linéaire et rotationnel, pour l'accélération angulaire, nous pouvons écrire:
1) α=dω / dt
2) α=Δω / Δt
L'interprétation de ces formules est exactement la même que pour le cas linéaire. La seule différence est que a montre de combien de mètres par seconde la vitesse change par unité de temps, et α montre de combien de radians par seconde la vitesse angulaire change sur la même période de temps.
Trouvons le lien entre ces accélérations. En substituant la valeur de v, exprimée en termes de ω, dans l'une ou l'autre des deux égalités pour α, nous obtenons:
α=Δω / Δt=Δv / Δt1 / R=a / R
Il s'ensuit que plus le rayon de rotation est petit et plus l'accélération linéaire est grande, plus la valeur de α est grande.
Distance parcourue et angle de virage
Il reste à donner des formules pour la dernière des trois quantités de base dans la cinématique du mouvement de rotation autour d'un axe fixe - pour l'angle de rotation. Comme dans les paragraphes précédents, nous écrivons d'abord la formule du mouvement rectiligne uniformément accéléré, nous avons:
L=v0 t + a t2 / 2
L'analogie complète avec le mouvement de rotation conduit à la formule suivante:
θ=ω0 t + αt2 / 2
La dernière expression permet d'obtenir l'angle de rotation pour tout instant t. Notez que la circonférence est de 2pi radians (≈ 6,3 radians). Si, à la suite de la résolution du problème, la valeur de θ est supérieure à la valeur spécifiée, le corps a effectué plus d'un tour autour de l'axe.
La formule de la relation entre L et θ est obtenue en substituant les valeurs correspondantes pour ω0et α par des caractéristiques linéaires:
θ=v0 t / R + at2 / (2R)=L /R
L'expression résultante reflète la signification de l'angle θ lui-même en radians. Si θ=1 rad, alors L=R, c'est-à-dire qu'un angle d'un radian repose sur un arc de longueur un rayon.
Exemple de résolution de problème
Résolvons le problème de cinématique de rotation suivant: nous savons que la voiture se déplace à une vitesse de 70 km/h. Sachant que le diamètre de sa roue est D=0,4 mètre, il faut déterminer la valeur de ω pour celle-ci, ainsi que le nombre de tours qu'elle fera lorsque la voiture parcourra une distance de 1 kilomètre.
Pour trouver la vitesse angulaire, il suffit de substituer les données connues dans la formule pour la relier à la vitesse linéaire, on obtient:
ω=v / R=7104 / 3600 / 0, 2=97, 222 rad/s.
De même pour l'angle θ auquel la roue tournera après le passage1 km, on obtient:
θ=L / R=1000 / 0, 2=5000 rad.
Étant donné qu'un tour vaut 6,2832 radians, on obtient le nombre de tours de roue qui correspond à cet angle:
n=θ / 6, 2832=5000 / 6, 2832=795, 77 tours.
Nous avons répondu aux questions en utilisant les formules de l'article. Il était également possible de résoudre le problème d'une manière différente: calculer le temps pendant lequel la voiture parcourra 1 km et le remplacer dans la formule de l'angle de rotation, à partir de laquelle nous pouvons obtenir la vitesse angulaire ω. Réponse trouvée.
