Systèmes de numération - qu'est-ce que c'est ? Même sans connaître la réponse à cette question, chacun de nous utilise involontairement des systèmes de numération dans sa vie et ne s'en doute pas. C'est vrai, au pluriel ! C'est-à-dire pas un, mais plusieurs. Avant de donner des exemples de systèmes de nombres non positionnels, comprenons ce problème, parlons également des systèmes positionnels.
Facture requise
Depuis l'Antiquité, les gens avaient besoin de compter, c'est-à-dire qu'ils réalisaient intuitivement qu'ils avaient besoin d'exprimer d'une manière ou d'une autre une vision quantitative des choses et des événements. Le cerveau a suggéré qu'il était nécessaire d'utiliser des objets pour compter. Les doigts ont toujours été les plus pratiques, et c'est compréhensible, car ils sont toujours disponibles (à de rares exceptions près).
Ainsi, les anciens représentants de la race humaine devaient plier les doigts au sens littéral - pour indiquer le nombre de mammouths tués, par exemple. Ces éléments du compte n'avaient pas encore de noms, mais seulement une image visuelle, une comparaison.
Systèmes de numération positionnels modernes
Le système numérique est une méthode (manière) de représenter des valeurs quantitatives et des quantités à l'aide de certains signes (symboles ou lettres).
Il est nécessaire de comprendre ce qui est positionnel et non positionnel dans le comptage avant de donner des exemples de systèmes de nombres non positionnels. Il existe de nombreux systèmes de numérotation positionnelle. Désormais, les éléments suivants sont utilisés dans divers domaines de la connaissance: binaire (ne comprend que deux éléments significatifs: 0 et 1), hexadécimal (nombre de caractères - 6), octal (caractères - 8), duodécimal (douze caractères), hexadécimal (comprend seize personnages). De plus, chaque rangée de caractères dans les systèmes commence à zéro. Les technologies informatiques modernes sont basées sur l'utilisation de codes binaires - le système de nombres positionnels binaires.
Système de numération décimale
La positionnalité est la présence de positions significatives à des degrés divers, sur lesquelles se trouvent les signes du nombre. Cela peut être mieux démontré en utilisant l'exemple du système de numération décimale. Après tout, nous sommes habitués à l'utiliser depuis l'enfance. Il y a dix signes dans ce système: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Prenez le nombre 327. Il a trois signes: 3, 2, 7. Chacun d'eux est situé dans sa propre position (lieu). Le sept occupe la position réservée aux valeurs uniques (unités), le deux - les dizaines et le trois - les centaines. Comme le nombre est à trois chiffres, il n'y a donc que trois positions.
Sur la base de ce qui précède, celaun nombre décimal à trois chiffres peut être décrit comme suit: trois centaines, deux dizaines et sept unités. De plus, la signification (importance) des positions est comptée de gauche à droite, d'une position faible (une) à une plus forte (des centaines).
Nous nous sentons très à l'aise dans le système de nombres positionnels décimaux. Nous avons dix doigts aux mains et autant aux pieds. Cinq plus cinq - donc, grâce aux doigts, on imagine facilement une douzaine depuis l'enfance. C'est pourquoi il est facile pour les enfants d'apprendre les tables de multiplication pour cinq et dix. Et c'est aussi si facile d'apprendre à compter les billets de banque, qui sont le plus souvent des multiples (c'est-à-dire divisés sans reste) par cinq et dix.
Autres systèmes de numérotation positionnelle
À la surprise de beaucoup, il faut dire que non seulement dans le système de comptage décimal, notre cerveau est habitué à faire des calculs. Jusqu'à présent, l'humanité utilisait des systèmes de nombres à six et duodécimaux. C'est-à-dire que dans un tel système il n'y a que six caractères (en hexadécimal): 0, 1, 2, 3, 4, 5. En duodécimal il y en a douze: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, où A - désigne le nombre 10, B - le nombre 11 (puisque le signe doit être un).
Jugez par vous-même. On compte le temps par six, n'est-ce pas ? Une heure équivaut à soixante minutes (six dizaines), un jour à vingt-quatre heures (deux fois douze), une année à douze mois, etc. Tous les intervalles de temps s'inscrivent facilement dans des séries à six et duodécimales. Mais nous y sommes tellement habitués que nous n'y pensons même pas en comptant le temps.
Systèmes de numération non positionnels. Unaire
Il est nécessaire de définir ce que c'est - un système de numérotation non positionnel. Il s'agit d'un tel système de signes dans lequel il n'y a pas de positions pour les signes d'un nombre, ou le principe de "lecture" d'un nombre ne dépend pas de la position. Il a également ses propres règles d'écriture ou de calcul.
Donnons des exemples de systèmes de nombres non positionnels. Revenons à l'antiquité. Les gens avaient besoin d'un compte et ont trouvé l'invention la plus simple - les nœuds. Le système de numération non positionnel est nodulaire. Un article (un sac de riz, un taureau, une botte de foin, etc.) a été compté, par exemple, lors de l'achat ou de la vente, et a fait un nœud sur une ficelle.
Du coup, autant de nœuds ont été faits sur la corde que de sacs de riz ont été achetés (à titre d'exemple). Mais il peut aussi s'agir d'encoches sur un bâton de bois, sur une dalle de pierre, etc. Un tel système de numération est devenu connu sous le nom de nodulaire. Elle a un deuxième nom - unaire, ou célibataire ("uno" en latin signifie "un").
Il devient évident que ce système de numération n'est pas positionnel. Après tout, de quel genre de postes peut-on parler alors qu'il (le poste) n'en est qu'un ! Curieusement, dans certaines parties de la Terre, le système de nombres unaires non positionnels est toujours utilisé.
En outre, les systèmes de nombres non positionnels incluent:
- Roman (les lettres sont utilisées pour écrire des nombres - caractères latins);
- ancien égyptien (similaire au romain, des symboles étaient également utilisés);
- alphabétique (les lettres de l'alphabet ont été utilisées);
- Babylonien (cunéiforme - utilisé direct et"coin" inversé);
- grec (également appelé alphabétique).
Système de chiffres romains
L'ancien Empire romain, ainsi que sa science, était très progressiste. Les Romains ont donné au monde de nombreuses inventions utiles de la science et de l'art, y compris leur système de comptage. Il y a deux cents ans, les chiffres romains étaient utilisés pour indiquer les montants dans les documents commerciaux (la contrefaçon était ainsi évitée).
La numération romaine est un exemple de système de numération non positionnel, nous le savons maintenant. En outre, le système romain est activement utilisé, mais pas pour des calculs mathématiques, mais pour des actions étroitement ciblées. Par exemple, à l'aide de chiffres romains, il est d'usage de désigner des dates historiques, des siècles, des numéros de volumes, des sections et des chapitres dans les publications de livres. Les signes romains sont souvent utilisés pour décorer les cadrans des montres. Et aussi la numération romaine est un exemple de système de numération non positionnel.
Les Romains désignaient les nombres avec des lettres latines. De plus, ils notaient les nombres selon certaines règles. Il existe une liste de symboles clés dans le système de chiffres romains, à l'aide desquels tous les nombres ont été écrits sans exception.
| Nombre (décimal) | Chiffre romain (lettre de l'alphabet latin) |
| 1 | je |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Règles de composition des nombres
Le nombre requis a été obtenu en ajoutant des signes (lettres latines) et en calculant leur somme. Considérons comment les signes sont symboliquement écrits dans le système romain et comment ils doivent être "lus". Énumérons les principales lois de la formation des nombres dans le système romain de nombres non positionnels.
- Le nombre quatre - IV, se compose de deux caractères (I, V - un et cinq). Il est obtenu en soustrayant le plus petit signe du plus grand s'il est à gauche. Lorsque le plus petit signe est situé à droite, vous devez ajouter, puis vous obtenez le numéro six - VI.
- Il faut ajouter deux signes identiques l'un à côté de l'autre. Par exemple: SS est 200 (C est 100), ou XX est 20.
- Si le premier signe d'un nombre est inférieur au deuxième, le troisième caractère de cette ligne peut être un caractère dont la valeur est encore inférieure au premier. Pour éviter toute confusion, voici un exemple: CDX - 410 (en décimal).
- Certains grands nombres peuvent être représentés de différentes manières, ce qui est l'un des inconvénients du système de comptage romain. Voici quelques exemples: MVM (Roman)=1000 + (1000 - 5)=1995 (décimal) ou MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. Et ce n'est pas tout.
Astuces arithmétiques
Le système de nombres non positionnels est parfois un ensemble complexe de règles pour la formation des nombres, leur traitement (actions sur eux). Les opérations arithmétiques dans les systèmes de nombres non positionnels ne sont pas facilespour les gens modernes. Nous n'envions pas les anciens mathématiciens romains !
Exemple d'ajout. Essayons d'additionner deux nombres: XIX + XXVI=XXXV, cette tâche s'effectue en deux étapes:
- Premièrement - prenez et additionnez les plus petites fractions de nombres: IX + VI=XV (I après V et I avant X se "détruisent" mutuellement).
- Deuxième - additionne de grandes fractions de deux nombres: X + XX=XXX.
La soustraction est un peu plus compliquée. Le nombre à réduire doit être divisé en ses éléments constitutifs, puis les caractères dupliqués à réduire dans le nombre à réduire et à soustraire. Soustraire 263 de 500:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXVIIII - CCLXIII=CCXXXVII.
Multiplication des chiffres romains. Soit dit en passant, il faut mentionner que les Romains n'avaient pas de signes d'opérations arithmétiques, ils les dénotaient simplement avec des mots.
Le nombre multiple a dû être multiplié par chaque symbole individuel du multiplicateur, ce qui a entraîné l'addition de plusieurs produits. C'est ainsi que les polynômes sont multipliés.
Quant à la division, ce processus dans le système de chiffres romains était et reste le plus difficile. L'ancien boulier romain a été utilisé ici. Pour travailler avec lui, les gens ont été spécialement formés (et tout le monde n'a pas réussi à maîtriser une telle science).
Sur les inconvénients des systèmes non positionnels
Comme mentionné ci-dessus, les systèmes de numération non positionnels ont leurs inconvénients, des inconvénients d'utilisation. Unary est assez simple pour un comptage simple, mais pour des calculs arithmétiques et complexes, il ne l'est pasassez bien.
En romain, il n'y a pas de règles uniformes pour la formation de grands nombres et la confusion survient, et il est également très difficile d'y faire des calculs. De plus, le plus grand nombre que les anciens Romains pouvaient écrire avec leur méthode était de 100 000.
