Triangle, carré, hexagone - ces chiffres sont connus de presque tout le monde. Mais tout le monde ne sait pas ce qu'est un polygone régulier. Mais ce sont toutes les mêmes formes géométriques. Un polygone régulier est un polygone qui a des angles et des côtés égaux. Il existe de nombreux chiffres de ce type, mais ils ont tous les mêmes propriétés et les mêmes formules s'appliquent à eux.
Propriétés des polygones réguliers
Tout polygone régulier, que ce soit un carré ou un octogone, peut être inscrit dans un cercle. Cette propriété de base est souvent utilisée lors de la construction d'une figure. De plus, un cercle peut également être inscrit dans un polygone. Dans ce cas, le nombre de points de contact sera égal au nombre de ses côtés. Il est important qu'un cercle inscrit dans un polygone régulier ait un centre commun avec lui. Ces figures géométriques sont soumises aux mêmes théorèmes. N'importe quel côtéd'un n-gone régulier est lié au rayon R du cercle qui lui est circonscrit, il peut donc être calculé à l'aide de la formule suivante: a=2R ∙ sin180°. À travers le rayon du cercle, vous pouvez trouver non seulement les côtés, mais également le périmètre du polygone.
Comment trouver le nombre de côtés d'un polygone régulier
Tout n-gone régulier est constitué d'un certain nombre de segments égaux les uns aux autres, qui, lorsqu'ils sont connectés, forment une ligne fermée. Dans ce cas, tous les coins de la figure formée ont la même valeur. Les polygones sont divisés en simples et complexes. Le premier groupe comprend un triangle et un carré. Les polygones complexes ont plus de côtés. Ils comprennent également des figures en forme d'étoile. Pour les polygones réguliers complexes, les côtés sont trouvés en les inscrivant dans un cercle. Donnons une preuve. Dessine un polygone régulier avec un nombre arbitraire de côtés n. Décrivez un cercle qui l'entoure. Spécifiez le rayon R. Imaginez maintenant qu'un n-gon est donné. Si les points de ses angles se trouvent sur un cercle et sont égaux entre eux, alors les côtés peuvent être trouvés par la formule: a=2R ∙ sinα: 2.
Trouver le nombre de côtés d'un triangle régulier inscrit
Un triangle équilatéral est un polygone régulier. Les mêmes formules s'appliquent à lui qu'au carré et au n-gone. Un triangle sera considéré comme correct s'il a des côtés de même longueur. Dans ce cas, les angles sont de 60⁰. Construire un triangle de côté donné a. Connaissant sa médiane et sa hauteur,vous pouvez trouver la valeur de ses côtés. Pour ce faire, nous utiliserons la méthode consistant à trouver par la formule a \u003d x: cosα, où x est la médiane ou la hauteur. Comme tous les côtés du triangle sont égaux, on obtient a=b=c. Alors l'énoncé suivant sera vrai a=b=c=x: cosα. De même, vous pouvez trouver la valeur des côtés dans un triangle isocèle, mais x sera la hauteur donnée. En même temps, il doit être projeté strictement sur la base de la figure. Ainsi, connaissant la hauteur x, on trouve le côté a d'un triangle isocèle en utilisant la formule a \u003d b \u003d x: cosα. Après avoir trouvé la valeur de a, vous pouvez calculer la longueur de la base c. Appliquons le théorème de Pythagore. On va chercher la valeur de la moitié de la base c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Alors c=2xtanα. Voici un moyen simple de trouver le nombre de côtés de n'importe quel polygone inscrit.
Calculer les côtés d'un carré inscrit dans un cercle
Comme tout autre polygone régulier inscrit, un carré a des côtés et des angles égaux. Les mêmes formules s'appliquent à lui qu'au triangle. Vous pouvez calculer les côtés d'un carré en utilisant la valeur de la diagonale. Considérons cette méthode plus en détail. On sait que la diagonale est la bissectrice de l'angle. Initialement, sa valeur était de 90 degrés. Ainsi, après division, deux triangles rectangles sont formés. Leurs angles de base seront de 45 degrés. En conséquence, chaque côté du carré sera égal, c'est-à-dire: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, où e est la diagonale du carré, ou la base de le triangle rectangle formé après division. Ce n'est pas le seul moyentrouver les côtés d'un carré. Inscrivons ce chiffre dans un cercle. Connaissant le rayon de ce cercle R, on trouve le côté du carré. Nous allons le calculer comme suit a4=R√2. Les rayons des polygones réguliers sont calculés par la formule R=a: 2tg (360o: 2n), où a est la longueur du côté.
Comment calculer le périmètre d'un n-gon
Le périmètre d'un n-gone est la somme de tous ses côtés. Il est facile de le calculer. Pour ce faire, vous devez connaître les valeurs de tous les côtés. Pour certains types de polygones, il existe des formules spéciales. Ils vous permettent de trouver le périmètre beaucoup plus rapidement. On sait que tout polygone régulier a des côtés égaux. Par conséquent, pour calculer son périmètre, il suffit d'en connaître au moins l'un. La formule dépendra du nombre de côtés de la figure. En général, cela ressemble à ceci: P \u003d an, où a est la valeur du côté et n est le nombre d'angles. Par exemple, pour trouver le périmètre d'un octogone régulier de 3 cm de côté, il faut le multiplier par 8, c'est-à-dire P=3 ∙ 8=24 cm Pour un hexagone de 5 cm de côté, on calcule comme suit: P=5 ∙ 6=30 cm. Et ainsi pour chaque polygone.
Trouver le périmètre d'un parallélogramme, d'un carré et d'un losange
En fonction du nombre de côtés d'un polygone régulier, son périmètre est calculé. Cela rend la tâche beaucoup plus facile. En effet, contrairement à d'autres figures, dans ce cas il n'est pas nécessaire de chercher toutes ses faces, une seule suffit. Par le même principe, on trouve le périmètre àquadrilatères, c'est-à-dire un carré et un losange. Malgré le fait que ce sont des chiffres différents, la formule pour eux est la même P=4a, où a est le côté. Prenons un exemple. Si le côté d'un losange ou d'un carré mesure 6 cm, nous trouvons le périmètre comme suit: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm Un parallélogramme n'a que des côtés opposés. Par conséquent, son périmètre est trouvé en utilisant une méthode différente. Il faut donc connaître la longueur a et la largeur b de la figure. Ensuite, nous appliquons la formule P=(a + c) ∙ 2. Un parallélogramme, dans lequel tous les côtés et angles entre eux sont égaux, est appelé un losange.
Trouver le périmètre d'un triangle rectangle et équilatéral
Le périmètre d'un triangle équilatéral régulier peut être trouvé par la formule P=3a, où a est la longueur du côté. S'il est inconnu, il peut être trouvé par la médiane. Dans un triangle rectangle, seuls deux côtés sont égaux. La base peut être trouvée grâce au théorème de Pythagore. Une fois que les valeurs des trois côtés sont connues, nous calculons le périmètre. Il peut être trouvé en appliquant la formule P \u003d a + b + c, où a et b sont des côtés égaux et c est la base. Rappelons que dans un triangle isocèle a \u003d b \u003d a, donc, a + b \u003d 2a, puis P \u003d 2a + c. Par exemple, le côté d'un triangle isocèle est de 4 cm, trouvez sa base et son périmètre. Nous calculons la valeur de l'hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 cm. Maintenant, nous calculons le périmètre Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 cm.
Comment trouver les coins d'un polygone régulier
Polygone régulierse produit dans nos vies tous les jours, par exemple, un carré ordinaire, un triangle, un octogone. Il semblerait qu'il n'y ait rien de plus facile que de construire soi-même cette figure. Mais ce n'est qu'à première vue. Pour construire un n-gone, vous devez connaître la valeur de ses angles. Mais comment les trouvez-vous ? Même les scientifiques de l'Antiquité ont essayé de construire des polygones réguliers. Ils ont deviné de les insérer dans des cercles. Et puis les points nécessaires y ont été marqués, reliés par des lignes droites. Pour les figures simples, le problème de construction a été résolu. Des formules et des théorèmes ont été obtenus. Par exemple, Euclid dans son célèbre ouvrage "The Beginning" était engagé dans la résolution de problèmes pour 3, 4, 5, 6 et 15 gons. Il a trouvé des moyens de les construire et de trouver des angles. Voyons comment faire cela pour un 15-gon. Vous devez d'abord calculer la somme de ses angles internes. Il faut utiliser la formule S=180⁰(n-2). Ainsi, on nous donne un 15-gon, ce qui signifie que le nombre n est 15. Nous substituons les données que nous connaissons dans la formule et obtenons S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰. Nous avons trouvé la somme de tous les angles intérieurs d'un 15-gon. Maintenant, nous devons obtenir la valeur de chacun d'eux. Il y a 15 angles au total, on fait le calcul 2340⁰: 15=156⁰. Cela signifie que chaque angle interne est de 156⁰, maintenant en utilisant une règle et un compas, vous pouvez construire un 15-gon régulier. Mais qu'en est-il des n-gons plus complexes ? Pendant des siècles, les scientifiques ont lutté pour résoudre ce problème. Il n'a été découvert qu'au XVIIIe siècle par Carl Friedrich Gauss. Il a pu construire un 65537-gon. Depuis lors, le problème est officiellement considéré comme complètement résolu.
Calcul des angles des n-gonesen radians
Bien sûr, il existe plusieurs façons de trouver les coins des polygones. Le plus souvent, ils sont calculés en degrés. Mais vous pouvez aussi les exprimer en radians. Comment faire? Il faut procéder comme suit. Tout d'abord, nous découvrons le nombre de côtés d'un polygone régulier, puis en soustrayons 2. Ainsi, nous obtenons la valeur: n - 2. Multipliez la différence trouvée par le nombre n ("pi"=3, 14). Il ne reste plus qu'à diviser le produit résultant par le nombre d'angles dans le n-gone. Considérez ces calculs en utilisant l'exemple du même quinze côtés. Donc, le nombre n est 15. Appliquez la formule S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. Ceci, bien sûr, n'est pas la seule façon de calculer l'angle en radians. Vous pouvez simplement diviser la taille de l'angle en degrés par le nombre 57, 3. Après tout, ce nombre de degrés équivaut à un radian.
Calculer la valeur des angles en degrés
Outre les degrés et les radians, vous pouvez essayer de trouver la valeur des angles d'un polygone régulier en grades. Cela se fait de la manière suivante. Soustrayez 2 du nombre total d'angles, divisez la différence résultante par le nombre de côtés d'un polygone régulier. Nous multiplions le résultat trouvé par 200. Soit dit en passant, une telle unité de mesure des angles comme les grêlons n'est pratiquement pas utilisée.
Calcul des angles externes des n-gones
Pour tout polygone régulier, à l'exception du polygone interne, vous pouvez également calculer l'angle externe. Sa valeur se trouve de la même manière que pour les autres chiffres. Donc, pour trouver l'angle extérieur d'un polygone régulier, il fautconnaître le sens de l'intérieur. De plus, nous savons que la somme de ces deux angles est toujours de 180 degrés. Par conséquent, nous effectuons les calculs comme suit: 180⁰ moins la valeur de l'angle interne. Nous trouvons la différence. Il sera égal à la valeur de l'angle qui lui est adjacent. Par exemple, le coin intérieur d'un carré est de 90 degrés, donc l'angle extérieur sera de 180⁰ - 90⁰=90⁰. Comme nous pouvons le voir, il n'est pas difficile de le trouver. L'angle externe peut prendre une valeur de +180⁰ à -180⁰, respectivement.
