Ces formes géométriques nous entourent partout. Les polygones convexes peuvent être naturels, comme un nid d'abeilles, ou artificiels (artificiels). Ces chiffres sont utilisés dans la production de divers types de revêtements, dans la peinture, l'architecture, les décorations, etc. Les polygones convexes ont la propriété que tous leurs points sont du même côté d'une ligne droite qui passe par une paire de sommets adjacents de cette figure géométrique. Il existe également d'autres définitions. Un polygone est dit convexe s'il est situé dans un seul demi-plan par rapport à toute droite contenant l'un de ses côtés.
Polygones convexes
Dans le cours de la géométrie élémentaire, seuls les polygones simples sont toujours considérés. Pour comprendre toutes les propriétés d'un telformes géométriques, il est nécessaire de comprendre leur nature. Pour commencer, il faut comprendre que toute ligne est dite fermée, dont les extrémités coïncident. De plus, la figure formée par celui-ci peut avoir une variété de configurations. Un polygone est une simple ligne brisée fermée, dans laquelle les liens voisins ne sont pas situés sur la même droite. Ses liens et ses sommets sont respectivement les côtés et les sommets de cette figure géométrique. Une polyligne simple ne doit pas avoir d'auto-intersections.
Les sommets d'un polygone sont dits adjacents s'ils représentent les extrémités d'un de ses côtés. Une figure géométrique qui a le nième nombre de sommets, et donc le nième nombre de côtés, est appelée un n-gone. La ligne brisée elle-même s'appelle la bordure ou le contour de cette figure géométrique. Un plan polygonal ou un polygone plat est appelé la partie terminale de tout plan délimité par celui-ci. Les côtés adjacents de cette figure géométrique sont appelés segments d'une ligne brisée émanant d'un sommet. Ils ne seront pas adjacents s'ils proviennent de sommets différents du polygone.
Autres définitions de polygones convexes
En géométrie élémentaire, il existe plusieurs autres définitions équivalentes indiquant quel polygone est appelé convexe. Toutes ces affirmations sont également vraies. Un polygone est considéré comme convexe si:
• chaque segment qui relie deux points à l'intérieur se trouve entièrement à l'intérieur;
• à l'intérieurtoutes ses diagonales reposent;
• tout angle interne ne dépasse pas 180°.
Un polygone divise toujours un plan en 2 parties. L'un d'eux est limité (il peut être entouré d'un cercle) et l'autre est illimité. La première est appelée la région intérieure et la seconde est la région extérieure de cette figure géométrique. Ce polygone est une intersection (c'est-à-dire une composante commune) de plusieurs demi-plans. De plus, chaque segment qui se termine en des points appartenant au polygone lui appartient entièrement.
Variétés de polygones convexes
La définition d'un polygone convexe n'indique pas qu'il en existe plusieurs types. Et chacun d'eux a certains critères. Ainsi, les polygones convexes qui ont un angle intérieur de 180° sont appelés faiblement convexes. Une figure géométrique convexe qui a trois sommets est appelée un triangle, quatre - un quadrilatère, cinq - un pentagone, etc. Chacun des n-gones convexes répond à l'exigence essentielle suivante: n doit être égal ou supérieur à 3. Chacun des les triangles sont convexes. Une figure géométrique de ce type, dans laquelle tous les sommets sont situés sur le même cercle, est dite inscrite dans un cercle. Un polygone convexe est dit circonscrit si tous ses côtés proches du cercle le touchent. Deux polygones ne sont dits égaux que s'ils peuvent être superposés par superposition. Un polygone plan est appelé un plan polygonal.(partie du plan), qui est limité par cette figure géométrique.
Polygones convexes réguliers
Les polygones réguliers sont des formes géométriques avec des angles et des côtés égaux. À l'intérieur d'eux, il y a un point 0, qui est à la même distance de chacun de ses sommets. On l'appelle le centre de cette figure géométrique. Les segments reliant le centre aux sommets de cette figure géométrique sont appelés apothèmes, et ceux qui relient le point 0 aux côtés sont appelés rayons.
Un quadrilatère régulier est un carré. Un triangle équilatéral est appelé triangle équilatéral. Pour de telles figures, il existe la règle suivante: chaque coin d'un polygone convexe mesure 180°(n-2)/ n, où n est le nombre de sommets de cette figure géométrique convexe.
L'aire de tout polygone régulier est déterminée par la formule:
S=ph, où p est la moitié de la somme de tous les côtés du polygone donné et h est la longueur de l'apothème.
Propriétés des polygones convexes
Les polygones convexes ont certaines propriétés. Ainsi, un segment qui relie 2 points quelconques d'une telle figure géométrique y est nécessairement situé. Preuve:
Supposons que P est un polygone convexe donné. Nous prenons 2 points arbitraires, par exemple A, B, qui appartiennent à P. Selon la définition existante d'un polygone convexe, ces points sont situés du même côté de la ligne, qui contient n'importe quel côté de P. Donc AB a aussi cette propriété et est contenu dans P. Un polygone convexe peut toujours être divisé en plusieurs triangles par absolument toutes les diagonales tirées d'un de ses sommets.
Angles de formes géométriques convexes
Les coins d'un polygone convexe sont les coins formés par ses côtés. Les coins internes sont situés dans la région intérieure d'une figure géométrique donnée. L'angle formé par ses côtés qui convergent en un sommet est appelé l'angle d'un polygone convexe. Les angles adjacents aux angles internes d'une figure géométrique donnée sont appelés externes. Chaque coin d'un polygone convexe situé à l'intérieur est:
180° - x, où x est la valeur de l'angle extérieur. Cette formule simple fonctionne pour toutes les formes géométriques de ce type.
En général, pour les angles externes, il existe la règle suivante: chaque angle d'un polygone convexe est égal à la différence entre 180 ° et la valeur de l'angle interne. Il peut avoir des valeurs allant de -180° à 180°. Par conséquent, lorsque l'angle intérieur est de 120°, l'angle extérieur sera de 60°.
Somme des angles des polygones convexes
La somme des angles intérieurs d'un polygone convexe est définie par la formule:
180°(n-2), où n est le nombre de sommets du n-gone.
La somme des angles d'un polygone convexe est assez facile à calculer. Considérez une telle figure géométrique. Pour déterminer la somme des angles à l'intérieur d'un polygone convexe, il fautrelie un de ses sommets à d'autres sommets. À la suite de cette action, (n-2) triangles sont obtenus. Nous savons que la somme des angles de tout triangle vaut toujours 180°. Puisque leur nombre dans tout polygone est (n-2), la somme des angles intérieurs d'une telle figure est 180° x (n-2).
La somme des angles d'un polygone convexe, à savoir deux angles internes et externes adjacents, pour une figure géométrique convexe donnée sera toujours égale à 180°. Sur cette base, vous pouvez déterminer la somme de tous ses angles:
180 x n.
La somme des angles intérieurs est de 180°(n-2). Sur cette base, la somme de tous les coins externes de cette figure est définie par la formule:
180°n-180°-(n-2)=360°.
La somme des angles extérieurs de tout polygone convexe sera toujours de 360° (quel que soit le nombre de côtés).
L'angle extérieur d'un polygone convexe est généralement représenté par la différence entre 180° et la valeur de l'angle intérieur.
Autres propriétés d'un polygone convexe
En plus des propriétés de base de ces formes géométriques, elles en ont d'autres qui surgissent lors de leur manipulation. Ainsi, n'importe lequel des polygones peut être divisé en plusieurs n-gones convexes. Pour cela, il faut continuer chacun de ses côtés et découper cette figure géométrique selon ces lignes droites. Il est également possible de découper n'importe quel polygone en plusieurs parties convexes de manière à ce que les sommets de chacun des morceaux coïncident avec tous ses sommets. A partir d'une telle figure géométrique, on peut très simplement faire des triangles en dessinant toutdiagonales d'un sommet. Ainsi, tout polygone peut éventuellement être divisé en un certain nombre de triangles, ce qui s'avère très utile pour résoudre divers problèmes liés à de telles formes géométriques.
Périmètre d'un polygone convexe
Les segments d'une ligne brisée, appelés côtés d'un polygone, sont le plus souvent désignés par les lettres suivantes: ab, bc, cd, de, ea. Ce sont les côtés d'une figure géométrique de sommets a, b, c, d, e. La somme des longueurs de tous les côtés de ce polygone convexe est appelée son périmètre.
Circonférence du polygone
Les polygones convexes peuvent être inscrits et circonscrits. Un cercle qui touche tous les côtés de cette figure géométrique est dit inscrit en elle. Un tel polygone est dit circonscrit. Le centre d'un cercle inscrit dans un polygone est le point d'intersection des bissectrices de tous les angles d'une figure géométrique donnée. L'aire d'un tel polygone est:
S=pr, où r est le rayon du cercle inscrit et p est le demi-périmètre du polygone donné.
Un cercle contenant les sommets d'un polygone est dit circonscrit autour de lui. De plus, cette figure géométrique convexe est dite inscrite. Le centre du cercle, qui est circonscrit à un tel polygone, est le point d'intersection des médiatrices dites perpendiculaires de tous les côtés.
Diagonales de formes géométriques convexes
Les diagonales d'un polygone convexe sont des segments quiconnecter des sommets non adjacents. Chacun d'eux se trouve à l'intérieur de cette figure géométrique. Le nombre de diagonales d'un tel n-gone est fixé par la formule:
N=n (n – 3)/ 2.
Le nombre de diagonales d'un polygone convexe joue un rôle important en géométrie élémentaire. Le nombre de triangles (K) en lesquels il est possible de diviser chaque polygone convexe est calculé par la formule suivante:
K=n – 2.
Le nombre de diagonales d'un polygone convexe dépend toujours du nombre de ses sommets.
Décomposition d'un polygone convexe
Dans certains cas, pour résoudre des problèmes géométriques, il est nécessaire de découper un polygone convexe en plusieurs triangles dont les diagonales ne se coupent pas. Ce problème peut être résolu en dérivant une formule spécifique.
Définition du problème: appelons une partition propre d'un n-gone convexe en plusieurs triangles par des diagonales qui ne se coupent qu'aux sommets de cette figure géométrique.
Solution: Supposons que Р1, Р2, Р3 …, Pn soient des sommets de ce n-gone. Le nombre Xn est le nombre de ses partitions. Considérons attentivement la diagonale obtenue de la figure géométrique Pi Pn. Dans chacune des partitions régulières, P1 Pn appartient à un certain triangle P1 Pi Pn, qui a 1<i<n. Partant de là et en supposant que i=2, 3, 4 …, n-1, nous obtenons (n-2) groupes de ces partitions, qui incluent tous les cas particuliers possibles.
Soit i=2 un groupe de partitions régulières, contenant toujours la diagonale Р2 Pn. Le nombre de partitions qui y entrent est le même que le nombre de partitions(n-1)-gone P2 P3 P4… Pn. En d'autres termes, il est égal à Xn-1.
Si i=3, alors cet autre groupe de partitions contiendra toujours les diagonales Р3 Р1 et Р3 Pn. Dans ce cas, le nombre de partitions régulières contenues dans ce groupe coïncidera avec le nombre de partitions du (n-2)-gon P3 P4 … Pn. En d'autres termes, il sera égal à Xn-2.
Soit i=4, alors parmi les triangles une partition régulière contiendra certainement un triangle P1 P4 Pn, auquel se joindra le quadrangle P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn. Le nombre de partitions régulières d'un tel quadrilatère est X4, et le nombre de partitions d'un (n-3)-gon est Xn-3. Sur la base de ce qui précède, nous pouvons dire que le nombre total de partitions correctes contenues dans ce groupe est Xn-3 X4. Les autres groupes avec i=4, 5, 6, 7… contiendront Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … partitions régulières.
Soit i=n-2, alors le nombre de divisions correctes dans ce groupe sera le même que le nombre de divisions dans le groupe où i=2 (en d'autres termes, égal à Xn-1).
Puisque X1=X2=0, X3=1, X4=2…, alors le nombre de toutes les partitions d'un polygone convexe est:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Exemple:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Nombre de partitions correctes coupant une diagonale à l'intérieur
Lors de la vérification des cas particuliers, on peut arriver àl'hypothèse que le nombre de diagonales de n-gones convexes est égal au produit de toutes les partitions de cette figure par (n-3).
Preuve de cette hypothèse: imaginons que P1n=Xn(n-3), alors tout n-gone peut être divisé en (n-2)-triangles. De plus, un (n-3)-quadrilatère peut en être composé. Parallèlement à cela, chaque quadrilatère aura une diagonale. Puisque deux diagonales peuvent être dessinées dans cette figure géométrique convexe, cela signifie que des (n-3) diagonales supplémentaires peuvent être dessinées dans n'importe quel (n-3)-quadrilatères. Sur cette base, nous pouvons conclure que dans n'importe quelle partition régulière, il est possible de dessiner des (n-3)-diagonales qui remplissent les conditions de ce problème.
Zone de polygones convexes
Souvent, lors de la résolution de divers problèmes de géométrie élémentaire, il devient nécessaire de déterminer l'aire d'un polygone convexe. Supposons que (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n est la séquence de coordonnées de tous les sommets voisins d'un polygone qui n'a pas d'auto-intersections. Dans ce cas, sa superficie est calculée à l'aide de la formule suivante:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), où (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
