Lors de la préparation de l'examen de mathématiques, les élèves doivent systématiser leurs connaissances en algèbre et en géométrie. Je voudrais combiner toutes les informations connues, par exemple, comment calculer l'aire d'une pyramide. De plus, à partir de la base et des faces latérales jusqu'à toute la surface. Si la situation est claire avec les faces latérales, puisque ce sont des triangles, alors la base est toujours différente.
Comment trouver l'aire de la base de la pyramide ?
Cela peut être absolument n'importe quelle forme: d'un triangle arbitraire à un n-gone. Et cette base, en plus de la différence du nombre d'angles, peut être un chiffre régulier ou incorrect. Dans les tâches USE qui intéressent les écoliers, il n'y a que des tâches avec les chiffres corrects à la base. Par conséquent, nous ne parlerons que d'eux.
Triangle régulier
C'est équilatéral. Celui dans lequel tous les côtés sont égaux et désigné par la lettre "a". Dans ce cas, l'aire de la base de la pyramide est calculée par la formule:
S=(a2√3) / 4.
Carré
La formule pour calculer sa superficie est la plus simple,ici "a" est à nouveau le côté:
S=un2.
N-gone régulier arbitraire
Le côté d'un polygone a la même désignation. Pour le nombre de coins, la lettre latine n est utilisée.
S=(na2) / (4tg (180º/n)).
Comment calculer la surface latérale et totale ?
Puisque la base est une figure régulière, tous les côtés de la pyramide sont égaux. De plus, chacun d'eux est un triangle isocèle, puisque les arêtes latérales sont égales. Ensuite, pour calculer l'aire latérale de la pyramide, vous avez besoin d'une formule composée de la somme de monômes identiques. Le nombre de termes est déterminé par le nombre de côtés de la base.
L'aire d'un triangle isocèle est calculée par la formule dans laquelle la moitié du produit de la base est multipliée par la hauteur. Cette hauteur dans la pyramide est appelée apothème. Sa désignation est "A". La formule générale pour la surface latérale est:
S=½ PA, où P est le périmètre de la base de la pyramide.
Il y a des situations où les côtés de la base ne sont pas connus, mais les arêtes latérales (c) et l'angle plat à son sommet (α) sont donnés. Ensuite, il est censé utiliser cette formule pour calculer l'aire latérale de la pyramide:
S=n/2in2 sin α.
Problème 1
État. Trouvez l'aire totale de la pyramide si sa base est un triangle équilatéral de 4 cm de côté et que l'apothème mesure √3 cm.
Décision. Le sienVous devez commencer par calculer le périmètre de la base. Puisqu'il s'agit d'un triangle régulier, alors P \u003d 34 \u003d 12 cm. L'apothème étant connu, vous pouvez immédiatement calculer l'aire de toute la surface latérale: ½12√3=6 √3 cm 2.
Pour un triangle à la base, vous obtenez la valeur d'aire suivante: (42√3) / 4=4√3 cm2.
Pour déterminer la surface totale, vous devez additionner les deux valeurs résultantes: 6√3 + 4√3=10√3 cm2.
Répondre. 10√3cm2.
Problème 2
Condition. Il y a une pyramide quadrangulaire régulière. La longueur du côté de la base est de 7 mm, le bord latéral est de 16 mm. Vous devez connaître sa superficie.
Décision. Le polyèdre étant quadrangulaire et régulier, sa base est un carré. Après avoir appris les aires de la base et des faces latérales, il sera possible de calculer l'aire de la pyramide. La formule du carré est donnée ci-dessus. Et sur les faces latérales, tous les côtés du triangle sont connus. Par conséquent, vous pouvez utiliser la formule de Heron pour calculer leurs superficies.
Les premiers calculs sont simples et conduisent à ce nombre: 49 mm2. Pour la deuxième valeur, vous devrez calculer le demi-périmètre: (7 + 162): 2=19,5 mm. Vous pouvez maintenant calculer l'aire d'un triangle isocèle: √(19,5(19,5-7)(19,5-16)2)=√2985,9375=54,644 mm 2. Il n'y a que quatre triangles de ce type, donc lors du calcul du nombre final, vous devrez le multiplier par 4.
Il s'avère: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.
Répondre. Valeur souhaitée 267, 576mm2.
Problème 3
Condition. Pour une pyramide quadrangulaire régulière, vous devez calculer l'aire. Il connaît le côté du carré - 6 cm et la hauteur - 4 cm.
Décision. Le plus simple est d'utiliser la formule avec le produit du périmètre et de l'apothème. La première valeur est facile à trouver. La seconde est un peu plus difficile.
Nous devrons nous souvenir du théorème de Pythagore et considérer un triangle rectangle. Il est formé par la hauteur de la pyramide et l'apothème, qui est l'hypoténuse. La deuxième jambe est égale à la moitié du côté du carré, puisque la hauteur du polyèdre tombe en son milieu.
L'apothème désiré (l'hypoténuse d'un triangle rectangle) est √(32 + 42)=5 (cm).
Vous pouvez maintenant calculer la valeur requise: ½(46)5+62=96 (voir2).
Répondre. 96 cm2.
Problème 4
État. Soit une pyramide hexagonale régulière. Les côtés de sa base sont de 22 mm, les nervures latérales sont de 61 mm. Quelle est la surface latérale de ce polyèdre ?
Décision. Le raisonnement est le même que celui décrit dans le problème n ° 2. Seulement on a donné une pyramide avec un carré à la base, et maintenant c'est un hexagone.
Tout d'abord, la surface de la base est calculée à l'aide de la formule ci-dessus: (6222) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 cm2.
Maintenant, vous devez trouver le demi-périmètre d'un triangle isocèle, qui est la face latérale. (22 + 612): 2 \u003d 72 cm Il reste à calculer l'aire de chacune de cestriangle, puis multipliez-le par six et ajoutez-le à celui qui s'est avéré être la base.
Calcul par la formule de Heron: √(72(72-22)(72-61)2)=√435600=660 cm2 . Calculs qui donneront la surface latérale: 6606=3960 cm2. Il reste à les additionner pour connaître toute la surface: 5217, 47≈5217 cm2.
Répondre. Base - 726√3cm2, surface latérale - 3960cm2, surface totale - 5217cm2.
