Un système mécanique constitué d'un point matériel (corps) suspendu à un fil inextensible en apesanteur (sa masse est négligeable par rapport au poids du corps) dans un champ de gravité uniforme est appelé pendule mathématique (un autre nom est un oscillateur). Il existe d'autres types de cet appareil. Au lieu d'un fil, une tige en apesanteur peut être utilisée. Un pendule mathématique peut clairement révéler l'essence de nombreux phénomènes intéressants. Avec une faible amplitude d'oscillation, son mouvement est appelé harmonique.
Vue d'ensemble du système mécanique
La formule de la période d'oscillation de ce pendule a été dérivée par le scientifique néerlandais Huygens (1629-1695). Ce contemporain d'I. Newton aimait beaucoup ce système mécanique. En 1656, il crée la première horloge à pendule. Ils ont mesuré le temps avec une exceptionnellepour ces temps de précision. Cette invention est devenue une étape majeure dans le développement des expériences physiques et des activités pratiques.
Si le pendule est en équilibre (suspendu verticalement), alors la force de gravité sera équilibrée par la force de la tension du fil. Un pendule plat sur un fil inextensible est un système à deux degrés de liberté avec une liaison. Lorsque vous changez un seul composant, les caractéristiques de toutes ses pièces changent. Ainsi, si le fil est remplacé par une tige, alors ce système mécanique n'aura qu'un seul degré de liberté. Quelles sont les propriétés d'un pendule mathématique ? Dans ce système le plus simple, le chaos surgit sous l'influence d'une perturbation périodique. Dans le cas où le point de suspension ne bouge pas, mais oscille, le pendule a une nouvelle position d'équilibre. Avec des oscillations rapides de haut en bas, ce système mécanique acquiert une position stable à l'envers. Elle a aussi son propre nom. C'est ce qu'on appelle le pendule de Kapitza.
Propriétés du pendule
Le pendule mathématique a des propriétés très intéressantes. Tous sont confirmés par des lois physiques connues. La période d'oscillation de tout autre pendule dépend de diverses circonstances, telles que la taille et la forme du corps, la distance entre le point de suspension et le centre de gravité, la répartition de la masse par rapport à ce point. C'est pourquoi déterminer la période d'un corps suspendu est une tâche assez difficile. Il est beaucoup plus facile de calculer la période d'un pendule mathématique dont la formule sera donnée ci-dessous. À la suite d'observations similairesles systèmes mécaniques peuvent établir les modèles suivants:
• Si, tout en maintenant la même longueur du pendule, on suspend des poids différents, alors la période de leurs oscillations sera la même, quoique leurs masses varieront beaucoup. Par conséquent, la période d'un tel pendule ne dépend pas de la masse de la charge.
• Lors du démarrage du système, si le pendule est dévié par des angles pas trop grands, mais différents, il commencera à osciller avec la même période, mais avec des amplitudes différentes. Tant que les écarts par rapport au centre d'équilibre ne sont pas trop importants, les oscillations dans leur forme seront assez proches des harmoniques. La période d'un tel pendule ne dépend en aucune manière de l'amplitude d'oscillation. Cette propriété de ce système mécanique est appelée isochronisme (traduit du grec "chronos" - temps, "isos" - égal).
Période du pendule mathématique
Cet indicateur représente la période des oscillations naturelles. Malgré la formulation complexe, le processus lui-même est très simple. Si la longueur du fil d'un pendule mathématique est L et que l'accélération de la chute libre est g, alors cette valeur est:
T=2π√L/g
La période des petites oscillations naturelles ne dépend en rien de la masse du pendule et de l'amplitude des oscillations. Dans ce cas, le pendule se déplace comme un pendule mathématique avec une longueur réduite.
Les oscillations du pendule mathématique
Un pendule mathématique oscille, ce qui peut être décrit par une simple équation différentielle:
x + ω2 sin x=0, où x (t) est une fonction inconnue (il s'agit de l'angle de déviation par rapport à la valeur inférieureposition d'équilibre à l'instant t, exprimée en radians); ω est une constante positive, qui est déterminée à partir des paramètres du pendule (ω=√g/L, où g est l'accélération en chute libre et L est la longueur du pendule mathématique (suspension).
L'équation des petites fluctuations près de la position d'équilibre (équation harmonique) ressemble à ceci:
x + ω2 sin x=0
Mouvements oscillatoires du pendule
Un pendule mathématique qui fait de petites oscillations se déplace le long d'une sinusoïde. L'équation différentielle du second ordre répond à toutes les exigences et paramètres d'un tel mouvement. Pour déterminer la trajectoire, vous devez spécifier la vitesse et la coordonnée, à partir desquelles des constantes indépendantes sont ensuite déterminées:
x=A sin (θ0 + ωt), où θ0 est la phase initiale, A est l'amplitude d'oscillation, ω est la fréquence cyclique déterminée à partir de l'équation du mouvement.
Pendule mathématique (formules pour grandes amplitudes)
Ce système mécanique, qui fait ses oscillations avec une amplitude importante, obéit à des lois du mouvement plus complexes. Pour un tel pendule, ils sont calculés par la formule:
sin x/2=usn(ωt/u), où sn est le sinus de Jacobi, qui pour u < 1 est une fonction périodique, et pour u petit il coïncide avec un simple sinus trigonométrique. La valeur de u est déterminée par l'expression suivante:
u=(ε + ω2)/2ω2, où ε=E/mL2 (mL2 est l'énergie du pendule).
Détermination de la période d'oscillation d'un pendule non linéaireeffectué selon la formule:
T=2π/Ω, où Ω=π/2ω/2K(u), K est l'intégrale elliptique, π - 3, 14.
Mouvement du pendule le long de la séparatrice
Une séparatrice est une trajectoire d'un système dynamique avec un espace de phase à deux dimensions. Le pendule mathématique se déplace le long de celui-ci de manière non périodique. À un instant infiniment éloigné, il tombe de la position extrême supérieure sur le côté avec une vitesse nulle, puis le reprend progressivement. Il finit par s'arrêter, revenant à sa position d'origine.
Si l'amplitude des oscillations du pendule se rapproche du nombre π, cela indique que le mouvement sur le plan de phase se rapproche de la séparatrice. Dans ce cas, sous l'action d'une petite force périodique motrice, le système mécanique présente un comportement chaotique.
Lorsque le pendule mathématique s'écarte de la position d'équilibre d'un certain angle φ, une force tangentielle de gravité Fτ=–mg sin φ apparaît. Le signe moins signifie que cette composante tangentielle est dirigée dans le sens opposé à la déviation du pendule. Lorsque le déplacement du pendule le long d'un arc de cercle de rayon L est noté x, son déplacement angulaire est égal à φ=x/L. La deuxième loi d'Isaac Newton, conçue pour les projections du vecteur et de la force d'accélération, donnera la valeur souhaitée:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
Sur la base de ce rapport, il est clair que ce pendule est un système non linéaire, puisque la force qui cherche à revenirà la position d'équilibre, est toujours proportionnel non pas au déplacement x, mais au sin x/L.
Ce n'est que lorsque le pendule mathématique fait de petites oscillations qu'il s'agit d'un oscillateur harmonique. En d'autres termes, il devient un système mécanique capable d'effectuer des vibrations harmoniques. Cette approximation est pratiquement valable pour des angles de 15 à 20°. Les oscillations du pendule avec de grandes amplitudes ne sont pas harmoniques.
Loi de Newton pour les petites oscillations d'un pendule
Si ce système mécanique effectue de petites vibrations, la 2e loi de Newton ressemblera à ceci:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
Sur cette base, nous pouvons conclure que l'accélération tangentielle du pendule mathématique est proportionnelle à son déplacement avec un signe moins. C'est la condition grâce à laquelle le système devient un oscillateur harmonique. Le module du gain proportionnel entre le déplacement et l'accélération est égal au carré de la fréquence circulaire:
ω02=g/L; ω0=√ g/L.
Cette formule reflète la fréquence naturelle des petites oscillations de ce type de pendule. Sur cette base, T=2π/ ω0=2π√ g/L.
Calculs basés sur la loi de conservation de l'énergie
Les propriétés des mouvements oscillatoires du pendule peuvent également être décrites à l'aide de la loi de conservation de l'énergie. Dans ce cas, il faut tenir compte du fait que l'énergie potentielle du pendule dans le champ gravitationnel est:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Énergie mécanique totaleest égal au potentiel cinétique ou maximum: Epmax=Ekmsx=E
Après avoir écrit la loi de conservation de l'énergie, prenez la dérivée des côtés droit et gauche de l'équation:
Ep + Ek=const
Puisque la dérivée des valeurs constantes est 0, alors (Ep + Ek)'=0. La dérivée de la somme est égale à la somme des dérivées:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, d'où:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Basé sur la dernière formule, on trouve: α=- g/Lx.
Application pratique du pendule mathématique
L'accélération de la chute libre varie avec la latitude géographique, car la densité de la croûte terrestre sur l'ensemble de la planète n'est pas la même. Là où des roches avec une densité plus élevée se produisent, elle sera un peu plus élevée. L'accélération d'un pendule mathématique est souvent utilisée pour l'exploration géologique. Il est utilisé pour rechercher divers minéraux. En comptant simplement le nombre d'oscillations du pendule, vous pouvez trouver du charbon ou du minerai dans les entrailles de la Terre. Cela est dû au fait que ces fossiles ont une densité et une masse supérieures à celles des roches meubles qui les sous-tendent.
Le pendule mathématique a été utilisé par des scientifiques éminents tels que Socrate, Aristote, Platon, Plutarque, Archimède. Beaucoup d'entre eux croyaient que ce système mécanique pouvait influencer le destin et la vie d'une personne. Archimède a utilisé un pendule mathématique dans ses calculs. De nos jours, de nombreux occultistes et médiumsutilisez ce système mécanique pour accomplir leurs prophéties ou rechercher des personnes disparues.
Le célèbre astronome et naturaliste français K. Flammarion a également utilisé un pendule mathématique pour ses recherches. Il a affirmé qu'avec son aide, il était capable de prédire la découverte d'une nouvelle planète, l'apparition de la météorite Tunguska et d'autres événements importants. Pendant la Seconde Guerre mondiale en Allemagne (Berlin), un institut de pendule spécialisé a fonctionné. Aujourd'hui, l'Institut de parapsychologie de Munich est engagé dans des recherches similaires. Les employés de cette institution appellent leur travail avec le pendule "radiesthésie".
