Mouvement du corps sous un angle par rapport à l'horizon : formules, calcul de la distance de vol et de l' altitude maximale de décollage

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Dernière modifié: 2023-12-17 05:26

Lorsqu'ils étudient le mouvement mécanique en physique, après s'être familiarisés avec le mouvement uniforme et uniformément accéléré des objets, ils procèdent à l'examen du mouvement d'un corps incliné par rapport à l'horizon. Dans cet article, nous étudierons ce problème plus en détail.

Quel est le mouvement d'un corps à un angle avec l'horizon ?

Ce type de mouvement d'objet se produit lorsqu'une personne lance une pierre en l'air, qu'un canon tire un boulet de canon ou qu'un gardien de but lance un ballon de football hors du but. Tous ces cas sont pris en compte par la science de la balistique.

Le type de mouvement noté des objets dans l'air se produit le long d'une trajectoire parabolique. Dans le cas général, effectuer les calculs correspondants n'est pas une tâche facile, car il faut tenir compte de la résistance de l'air, de la rotation du corps pendant le vol, de la rotation de la Terre autour de son axe et de quelques autres facteurs.

Dans cet article, nous ne prendrons pas en compte tous ces facteurs, mais considérerons la question d'un point de vue purement théorique. Cependant, les formules obtenues sont assez bonnesdécrire les trajectoires de corps se déplaçant sur de courtes distances.

Obtenir des formules pour le type de mouvement considéré

Dérivons les formules pour le mouvement du corps vers l'horizon sous un angle. Dans ce cas, nous ne prendrons en compte qu'une seule force agissant sur un objet volant - la gravité. Puisqu'il agit verticalement vers le bas (parallèlement à l'axe y et contre lui), alors, compte tenu des composantes horizontale et verticale du mouvement, on peut dire que le premier aura le caractère d'un mouvement rectiligne uniforme. Et le second - mouvement rectiligne tout aussi lent (uniformément accéléré) avec accélération g. C'est-à-dire que les composantes de vitesse passant par la valeur v₀ (vitesse initiale) et θ (l'angle de la direction du mouvement du corps) s'écriront comme suit:

v_x=v₀cos(θ)

v_y=v₀sin(θ)-gt

La première formule (pour v_x) est toujours valide. Quant à la seconde, une nuance est à noter ici: le signe moins devant le produit gt n'est mis que si la composante verticale v₀sin(θ) est dirigée vers le haut. Dans la plupart des cas, cela se produit, cependant, si vous lancez un corps d'une hauteur, en le pointant vers le bas, alors dans l'expression pour v_y vous devez mettre un signe "+" avant g t.

En intégrant les formules des composantes de vitesse dans le temps, et en tenant compte de la hauteur initiale h du vol du corps, on obtient les équations des coordonnées:

x=v₀cos(θ)t

y=h+v₀sin(θ)t-gt²/2

Calculer la distance de vol

Lorsque l'on considère en physique le mouvement d'un corps vers l'horizon à un angle utile pour une utilisation pratique, il s'avère calculer la distance de vol. Définissons-le.

Comme ce mouvement est un mouvement uniforme sans accélération, il suffit d'y substituer le temps de vol et d'obtenir le résultat souhaité. La portée de vol est déterminée uniquement par le mouvement le long de l'axe des x (parallèle à l'horizon).

Le temps pendant lequel le corps est dans les airs peut être calculé en assimilant la coordonnée y à zéro. Nous avons:

0=h+v₀sin(θ)t-gt²/2

Cette équation quadratique est résolue par le discriminant, on obtient:

D=b²- 4ac=v₀²sin ²(θ) - 4(-g/2)h=v₀² sin²(θ) + 2gh, t=(-b±√D)/(2a)=(-v₀sin(θ)±√(v₀ ²sin²(θ) + 2gh))/(-2g/2)=

=(v₀sin(θ)+√(v₀² sin²(θ) + 2gh))/g.

Dans la dernière expression, une racine avec un signe moins est rejetée, en raison de sa valeur physique insignifiante. En substituant le temps de vol t dans l'expression de x, nous obtenons la distance de vol l:

l=x=v₀cos(θ)(v₀sin(θ)+√(v ₀²sin²(θ) + 2gh))/g.

La façon la plus simple d'analyser cette expression est de savoir si la hauteur initialeest égal à zéro (h=0), alors on obtient une formule simple:

l=v ₀²sin(2θ)/g

Cette expression indique que la distance de vol maximale peut être obtenue si le corps est projeté à un angle de 45^o(sin(245^o )=m1).

Hauteur maximale du corps

Outre la portée de vol, il est également utile de trouver la hauteur au-dessus du sol à laquelle le corps peut s'élever. Ce type de mouvement étant décrit par une parabole dont les branches sont dirigées vers le bas, la hauteur de levage maximale est son extremum. Ce dernier est calculé en résolvant l'équation de la dérivée par rapport à t pour y:

dy/dt=d(h+v₀sin(θ)t-gt²/2)/dt=v₀sin(θ)-gt=0=>

=>t=v₀sin(θ)/g.

Remplacez cette fois dans l'équation pour y, nous obtenons:

y=h+v₀sin(θ)v₀sin(θ)/g-g(v ₀sin(θ)/g)²/2=h + v₀ ²sin²(θ)/(2g).

Cette expression indique que le corps montera à la hauteur maximale s'il est lancé verticalement vers le haut (sin²(90^o)=1).