Un corps projeté en biais par rapport à l'horizon : types de trajectoires, formules

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Dernière modifié: 2023-12-17 05:26

Chacun de nous a jeté des pierres dans le ciel et a observé la trajectoire de leur chute. C'est l'exemple le plus courant du mouvement d'un corps rigide dans le champ des forces gravitationnelles de notre planète. Dans cet article, nous examinerons des formules qui peuvent être utiles pour résoudre des problèmes sur le mouvement libre d'un corps projeté à l'horizon sous un angle.

Le concept de se déplacer vers l'horizon sous un angle

Lorsqu'un objet solide reçoit une vitesse initiale, et qu'il commence à prendre de la hauteur, puis, à nouveau, tombe au sol, il est généralement admis que le corps se déplace le long d'une trajectoire parabolique. En fait, la solution des équations pour ce type de mouvement montre que la ligne décrite par le corps dans l'air fait partie d'une ellipse. Cependant, pour une utilisation pratique, l'approximation parabolique s'avère assez pratique et conduit à des résultats exacts.

Des exemples du mouvement d'un corps jeté à un angle par rapport à l'horizon tirent un projectile depuis la bouche d'un canon, donnent un coup de pied dans un ballon et même sautent des cailloux à la surface de l'eau ("crapauds"), qui sont détenucompétitions internationales.

Le type de mouvement sous un angle est étudié par la balistique.

Propriétés du type de mouvement considéré

Lorsque l'on considère la trajectoire d'un corps dans le champ des forces gravitationnelles de la Terre, les affirmations suivantes sont vraies:

• connaître la hauteur initiale, la vitesse et l'angle par rapport à l'horizon vous permet de calculer la trajectoire entière;
• l'angle de départ est égal à l'angle d'incidence du corps, à condition que la hauteur initiale soit nulle;
• le mouvement vertical peut être considéré indépendamment du mouvement horizontal;

Notez que ces propriétés sont valides si la force de frottement pendant le vol du corps est négligeable. En balistique, lors de l'étude du vol des projectiles, de nombreux facteurs différents sont pris en compte, y compris le frottement.

Types de mouvement parabolique

Selon la hauteur à partir de laquelle le mouvement commence, à quelle hauteur il se termine et comment la vitesse initiale est dirigée, on distingue les types de mouvement parabolique suivants:

• Parabole complète. Dans ce cas, le corps est projeté de la surface de la terre, et il tombe sur cette surface, décrivant une parabole complète.
• La moitié d'une parabole. Un tel graphique du mouvement du corps est observé s'il est lancé d'une certaine hauteur h, en dirigeant la vitesse v parallèlement à l'horizon, c'est-à-dire à un angle θ=0^o.
• Partie d'une parabole. De telles trajectoires surviennent lorsqu'un corps est projeté à un certain angle θ≠0^o, et la différenceles hauteurs de début et de fin sont également non nulles (h-h₀≠0). La plupart des trajectoires de mouvement d'objets sont de ce type. Par exemple, un tir d'un canon se tenant sur une colline ou un basketteur lançant une balle dans un panier.

Le graphique du mouvement du corps correspondant à une parabole complète est montré ci-dessus.

Formules requises pour le calcul

Donnons des formules pour décrire le mouvement d'un corps projeté en biais par rapport à l'horizon. En négligeant la force de frottement, et en ne prenant en compte que la force de gravité, on peut écrire deux équations pour la vitesse d'un objet:

v_x=v₀cos(θ)

v_y=v₀sin(θ) - gt

Comme la gravité est dirigée verticalement vers le bas, elle ne modifie pas la composante horizontale de la vitesse v_x, il n'y a donc pas de dépendance temporelle dans la première égalité. La composante v_y, à son tour, est influencée par la gravité, ce qui donne à g une accélération du corps dirigée vers le sol (d'où le signe moins dans la formule).

Écrivons maintenant des formules pour changer les coordonnées d'un corps projeté en biais par rapport à l'horizon:

x=x₀+v₀cos(θ)t

y=y₀+ v₀sin(θ)t - gt² /2

Coordonnée de départ x₀souvent supposée égale à zéro. La coordonnée y₀ n'est rien d'autre que la hauteur h à partir de laquelle le corps est lancé (y₀=h).

Exprimons maintenant le temps t de la première expression et remplaçons-le dans la seconde, nous obtenons:

y=h + tg(θ)x - g /(2v₀²cos ²(θ))x²

Cette expression en géométrie correspond à une parabole dont les branches sont dirigées vers le bas.

Les équations ci-dessus sont suffisantes pour déterminer les caractéristiques de ce type de mouvement. Ainsi, leur solution conduit au fait que la distance de vol maximale est atteinte si θ=45^o, tandis que la hauteur maximale à laquelle le corps projeté s'élève est atteinte lorsque θ=90ou.