Leonhard Euler (1707-1783) - célèbre mathématicien suisse et russe, membre de l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg, a vécu la majeure partie de sa vie en Russie. Le plus célèbre en analyse mathématique, statistique, informatique et logique est le cercle d'Euler (diagramme d'Euler-Venn), utilisé pour désigner la portée des concepts et des ensembles d'éléments.
John Venn (1834-1923) - Philosophe et logicien anglais, co-auteur du diagramme d'Euler-Venn.
Concepts compatibles et incompatibles
Sous le concept de logique, on entend une forme de pensée qui reflète les caractéristiques essentielles d'une classe d'objets homogènes. Ils sont désignés par un ou un groupe de mots: "carte du monde", "accord de quinte-septième de dominante", "lundi", etc.
Dans le cas où les éléments du domaine d'application d'un concept appartiennent totalement ou partiellement au domaine d'application d'un autre, on parle de concepts compatibles. Si, cependant, aucun élément de la portée d'un certain concept n'appartient à la portée d'un autre, nous avons des concepts incompatibles.
À son tour, chaque type de concept a son propre ensemble de relations possibles. Pour les concepts compatibles, ce sont:
- identité (équivalence) des volumes;
- crossing (correspondance partielle)volumes;
- subordination (subordination).
Pour incompatible:
- subordination (coordination);
- opposé (contrarité);
- contradiction (contradiction).
Schématiquement, les relations entre les concepts en logique sont généralement notées à l'aide de cercles d'Euler-Venn.
Relations équivalentes
Dans ce cas, les concepts désignent le même sujet. En conséquence, les volumes de ces concepts sont complètement les mêmes. Par exemple:
A - Sigmund Freud;
B est le fondateur de la psychanalyse.
Ou:
A est un carré;
B est un rectangle équilatéral;
C est un losange équiangulaire.
Des cercles d'Euler complètement coïncidents sont utilisés pour la désignation.
Intersection (correspondance partielle)
Cette catégorie comprend des concepts qui ont des éléments communs liés au croisement. C'est-à-dire que le volume de l'un des concepts est partiellement inclus dans le volume de l'autre:
A - professeur;
B est un mélomane.
Comme le montre cet exemple, les volumes de concepts coïncident partiellement: un certain groupe d'enseignants peut s'avérer être des mélomanes, et vice versa - il peut y avoir des représentants de la profession enseignante parmi les mélomanes. Une attitude similaire sera dans le cas où le concept A est, par exemple, un « citoyen » et B est un « conducteur ».
Subordination (subordination)
Schématiquement désigné par des cercles d'Euler d'échelles différentes. Rapportsentre les concepts dans ce cas sont caractérisés par le fait que le concept subordonné (plus petit en volume) est complètement inclus dans le subordonné (plus grand en volume). En même temps, le concept subordonné n'épuise pas complètement le concept subordonné.
Par exemple:
A - arbre;
B - pin.
Le concept B sera subordonné au concept A. Puisque le pin appartient aux arbres, le concept A dans cet exemple devient subordonné, "absorbant" la portée du concept B.
Coordination (coordination)
Relation caractérise deux ou plusieurs concepts qui s'excluent, mais appartiennent à un certain cercle générique commun. Par exemple:
A – clarinette;
B - guitare;
C - violon;
D est un instrument de musique.
Les concepts A, B, C ne se croisent pas les uns par rapport aux autres, cependant, ils appartiennent tous à la catégorie des instruments de musique (le concept D).
En face (contraire)
Des relations opposées entre concepts impliquent que ces concepts appartiennent au même genre. Dans le même temps, l'un des concepts a certaines propriétés (caractéristiques), tandis que l'autre les nie, les remplaçant par des concepts opposés dans la nature. Ainsi, nous avons affaire à des antonymes. Par exemple:
A est un nain;
B est un géant.
Cercle d'Euler avec des relations opposées entre les conceptsest divisé en trois segments, dont le premier correspond au concept A, le deuxième au concept B et le troisième à tous les autres concepts possibles.
Contradiction (contradiction)
Dans ce cas, les deux concepts sont des espèces du même genre. Comme dans l'exemple précédent, l'un des concepts indique certaines qualités (caractéristiques), tandis que l'autre les nie. Cependant, contrairement à la relation des contraires, le deuxième concept opposé ne remplace pas les propriétés niées par d'autres alternatives. Par exemple:
A est une tâche difficile;
B est une tâche facile (pas-A).
Exprimant le volume de concepts de ce type, le cercle d'Euler est divisé en deux parties - le troisième, le maillon intermédiaire dans ce cas n'existe pas. Ainsi, les concepts sont aussi des antonymes. En même temps, l'un d'eux (A) devient positif (affirmant une caractéristique) et le second (B ou non-A) devient négatif (niant la caractéristique correspondante): "papier blanc" - "pas de papier blanc", " histoire nationale » – « histoire étrangère », etc.
Ainsi, le rapport des volumes des concepts les uns par rapport aux autres est une caractéristique clé qui définit les cercles d'Euler.
Relations entre ensembles
Il faut aussi distinguer les notions d'éléments et d'ensembles dont le volume est représenté par des cercles d'Euler. Le concept d'ensemble est emprunté à la science mathématique et a un sens assez large. Des exemples en logique et en mathématiques l'affichent comme un certain ensemble d'objets. Les objets eux-mêmes sontéléments de cet ensemble. "Plusieurs sont plusieurs pensés comme un" (Georg Kantor, fondateur de la théorie des ensembles).
Les ensembles sont désignés en majuscules: A, B, C, D… etc., les éléments des ensembles sont désignés en minuscules: a, b, c, d… etc. Des exemples d'ensemble peuvent être des élèves qui sont dans une salle de classe, des livres sur une certaine étagère (ou, par exemple, tous les livres dans une certaine bibliothèque), des pages dans un journal, des baies dans une clairière, etc.
À son tour, si un certain ensemble ne contient pas un seul élément, alors il est dit vide et noté par le signe Ø. Par exemple, l'ensemble des points d'intersection des droites parallèles, l'ensemble des solutions de l'équation x2=-5.
Résolution de problèmes
Les cercles d'Euler sont activement utilisés pour résoudre un grand nombre de problèmes. Des exemples en logique démontrent clairement le lien entre les opérations logiques et la théorie des ensembles. Dans ce cas, des tables de vérité des concepts sont utilisées. Par exemple, le cercle marqué A représente la région de vérité. Ainsi, la zone à l'extérieur du cercle représentera faux. Pour déterminer la zone du diagramme pour une opération logique, vous devez ombrer les zones qui définissent le cercle d'Euler, dans lesquelles ses valeurs pour les éléments A et B seront vraies.
L'utilisation des cercles d'Euler a trouvé une large application pratique dans diverses industries. Par exemple, dans une situation avec un choix professionnel. Si le sujet est préoccupé par le choix d'un futur métier, il peut être guidé par les critères suivants:
W – qu'est-ce que j'aime faire ?
D – qu'est-ce que je fais ?
P– comment puis-je gagner beaucoup d'argent ?
Dessinons ceci sous forme de diagramme: cercles d'Euler (exemples en logique - relation d'intersection):
Le résultat sera les professions qui seront à l'intersection des trois cercles.
Les cercles d'Euler-Venn occupent une place à part en mathématiques (théorie des ensembles) lors du calcul des combinaisons et des propriétés. Les cercles d'Euler de l'ensemble des éléments sont enfermés dans l'image d'un rectangle désignant l'ensemble universel (U). Au lieu de cercles, d'autres figures fermées peuvent également être utilisées, mais l'essence de cela ne change pas. Les figures se croisent, selon les conditions du problème (dans le cas le plus général). De plus, ces chiffres doivent être étiquetés en conséquence. Les éléments des ensembles considérés peuvent être des points situés à l'intérieur de différents segments du diagramme. Sur cette base, vous pouvez ombrer des zones spécifiques, désignant ainsi les ensembles nouvellement formés.
Avec ces ensembles, il est possible d'effectuer des opérations mathématiques de base: addition (somme d'ensembles d'éléments), soustraction (différence), multiplication (produit). De plus, grâce aux diagrammes d'Euler-Venn, il est possible de comparer des ensembles par le nombre d'éléments qu'ils contiennent, sans les compter.
