Dans le monde d'aujourd'hui, nous utilisons de plus en plus une variété de voitures et de gadgets. Et pas seulement lorsqu'il est nécessaire d'appliquer une force littéralement inhumaine: déplacer la charge, la soulever à une hauteur, creuser une tranchée longue et profonde, etc. Les voitures d'aujourd'hui sont assemblées par des robots, la nourriture est préparée par des multicuiseurs et des calculs arithmétiques élémentaires sont effectués par des calculatrices. On entend de plus en plus souvent l'expression « algèbre booléenne ». Il est peut-être temps de comprendre le rôle de l'homme dans la création de robots et la capacité des machines à résoudre non seulement des problèmes mathématiques, mais aussi des problèmes logiques.
Logique
Traduit du grec, la logique est un système de pensée ordonné qui crée des relations entre des conditions données et vous permet de tirer des conclusions basées sur des prémisses et des hypothèses. Très souvent, nous nous demandons: "Est-ce logique ?" La réponse reçue confirme nos hypothèses ou critique le cours de la pensée. Mais le processus ne s'arrête pas: nous continuons à raisonner.
Parfois, le nombre de conditions (introduction) est si grand, et les relations entre elles sont si complexes que le cerveau humain n'est pas capable de "digérer" tout à la fois. Cela peut prendre plus d'un mois (semaine, année) pour comprendre ce qui se passe. Maisla vie moderne ne nous donne pas de tels intervalles de temps pour prendre des décisions. Et nous recourons à l'aide d'ordinateurs. Et c'est là qu'apparaît l'algèbre de la logique, avec ses propres lois et propriétés. En téléchargeant toutes les données initiales, nous permettons à l'ordinateur de reconnaître toutes les relations, d'éliminer les contradictions et de trouver une solution satisfaisante.
Maths et logique
Le célèbre Gottfried Wilhelm Leibniz a formulé le concept de "logique mathématique", dont les problèmes n'étaient compréhensibles que pour un cercle restreint de scientifiques. Cette direction n'a pas suscité d'intérêt particulier et jusqu'au milieu du XIXe siècle, peu de gens connaissaient la logique mathématique.
Un grand intérêt pour la communauté scientifique a provoqué une dispute dans laquelle l'Anglais George Boole a annoncé son intention de créer une branche des mathématiques qui n'a absolument aucune application pratique. Comme nous nous en souvenons de l'histoire, la production industrielle se développait activement à cette époque, toutes sortes de machines auxiliaires et de machines-outils étaient développées, c'est-à-dire que toutes les découvertes scientifiques avaient un objectif pratique.
Pour l'avenir, disons que l'algèbre booléenne est la partie la plus utilisée des mathématiques dans le monde moderne. Alors Bull a perdu son argument.
George Buhl
La personnalité même de l'auteur mérite une attention particulière. Même en considérant que dans le passé, les gens ont grandi avant nous, il est toujours impossible de ne pas noter qu'à l'âge de 16 ans, J. Buhl a enseigné dans une école de village et qu'à l'âge de 20 ans, il a ouvert sa propre école à Lincoln. Le mathématicien parlait couramment cinq langues étrangères et, pendant son temps libre, il lisait des ouvragesNewton et Lagrange. Et tout cela concerne le fils d'un simple ouvrier !
En 1839, Boole soumit pour la première fois ses articles scientifiques au Cambridge Mathematical Journal. Le scientifique a 24 ans. Les travaux de Boole intéressent tellement les membres de la Royal Society qu'en 1844, il reçoit une médaille pour sa contribution au développement de l'analyse mathématique. Plusieurs autres ouvrages publiés, décrivant les éléments de la logique mathématique, ont permis au jeune mathématicien d'occuper le poste de professeur au College of Cork. Rappelez-vous que Buhl lui-même n'avait aucune éducation.
Idée
En principe, l'algèbre booléenne est très simple. Il y a des énoncés (expressions logiques) qui, du point de vue des mathématiques, ne peuvent être définis que par deux mots: « vrai » ou « faux ». Par exemple, au printemps, les arbres fleurissent - c'est vrai, en été, il neige - un mensonge. La beauté de ces mathématiques est qu'il n'est pas strictement nécessaire d'utiliser uniquement des nombres. Toutes les déclarations avec une signification non ambiguë conviennent parfaitement à l'algèbre des jugements.
Ainsi, l'algèbre de la logique peut être utilisée littéralement partout: dans la planification et la rédaction d'instructions, l'analyse d'informations contradictoires sur des événements et la détermination de la séquence d'actions. La chose la plus importante est de comprendre que la façon dont nous déterminons la vérité ou la fausseté de la déclaration n'a aucune importance. Ces "comment" et "pourquoi" doivent être résumés. Seul l'énoncé des faits compte: vrai-faux.
Bien sûr, pour la programmation, les fonctions de l'algèbre de la logique sont importantes, qui sont écrites par les correspondantssignes et symboles. Et les apprendre signifie maîtriser une nouvelle langue étrangère. Rien n'est impossible.
Concepts de base et définitions
Sans entrer dans les détails, abordons la terminologie. Donc l'algèbre booléenne suppose:
- instructions;
- opérations logiques;
- fonctions et lois.
Les déclarations sont des expressions affirmatives qui ne peuvent pas être interprétées de manière ambiguë. Ils sont écrits sous forme de chiffres (5 > 3) ou formulés avec des mots familiers (l'éléphant est le plus grand mammifère). En même temps, l'expression "la girafe n'a pas de cou" a aussi le droit d'exister, seule l'algèbre booléenne la définira comme "fausse".
Toutes les déclarations doivent être sans ambiguïté, mais elles peuvent être élémentaires et composées. Ces derniers utilisent des connecteurs logiques. Autrement dit, dans l'algèbre des jugements, les énoncés composés sont formés en ajoutant des énoncés élémentaires au moyen d'opérations logiques.
Opérations d'algèbre booléenne
Nous nous souvenons déjà que les opérations dans l'algèbre des jugements sont logiques. Tout comme l'algèbre des nombres utilise l'arithmétique pour additionner, soustraire ou comparer des nombres, des éléments de logique mathématique vous permettent de faire des déclarations complexes, d'annuler ou de calculer le résultat final.
Les opérations logiques de formalisation et de simplicité sont écrites par des formules qui nous sont familières en arithmétique. Les propriétés de l'algèbre booléenne permettent d'écrire des équations et de calculer des inconnues. Les opérations logiques sont généralement écrites à l'aide d'une table de vérité. Ses colonnesdéfinir les éléments du calcul et l'opération qui est effectuée sur eux, et les lignes montrent le résultat du calcul.
Actions logiques de base
Les opérations les plus courantes en algèbre booléenne sont la négation (NOT) et les ET et OU logiques. Presque toutes les actions de l'algèbre des jugements peuvent être décrites de cette manière. Étudions chacune des trois opérations plus en détail.
La négation (non) s'applique à un seul élément (opérande). Par conséquent, l'opération de négation est dite unaire. Pour écrire le concept de « non A », utilisez les symboles suivants: ¬A, A¯¯¯ ou !A. Sous forme de tableau, cela ressemble à ceci:
La fonction de négation est caractérisée par l'énoncé suivant: si A est vrai, alors B est faux. Par exemple, la Lune tourne autour de la Terre - vrai; La terre tourne autour de la lune - faux.
Multiplication et addition logiques
Le ET logique est appelé l'opération de conjonction. Qu'est-ce que ça veut dire? Premièrement, qu'il peut être appliqué à deux opérandes, c'est-à-dire Et est une opération binaire. Deuxièmement, ce n'est que dans le cas de la vérité des deux opérandes (à la fois A et B) que l'expression elle-même est vraie. Le proverbe "La patience et le travail vont tout broyer" suggère que seuls les deux facteurs aideront une personne à faire face aux difficultés.
Symboles utilisés pour l'écriture: A∧B, A⋅B ou A&&B.
La conjonction est similaire à la multiplication en arithmétique. Parfois, ils disent que - multiplication logique. Si nous multiplions les éléments du tableau ligne par ligne, nous obtenons un résultat similaire à un raisonnement logique.
La disjonction est une opération OU logique. Il prend la valeur de la véritélorsqu'au moins une des affirmations est vraie (soit A, soit B). Il s'écrit ainsi: A∨B, A+B ou A||B. Les tables de vérité pour ces opérations sont:
La disjonction est comme une addition arithmétique. L'opération d'addition logique n'a qu'une seule limitation: 1+1=1. Mais rappelons qu'en format numérique, la logique mathématique est limitée à 0 et 1 (où 1 est vrai, 0 est faux). Par exemple, l'énoncé « dans un musée, vous pouvez voir un chef-d'œuvre ou rencontrer un interlocuteur intéressant » signifie que vous pouvez voir des œuvres d'art ou rencontrer une personne intéressante. Dans le même temps, la possibilité que les deux événements se produisent simultanément n'est pas exclue.
Fonctions et lois
Donc, nous savons déjà quelles opérations logiques l'algèbre booléenne utilise. Les fonctions décrivent toutes les propriétés des éléments de la logique mathématique et vous permettent de simplifier les conditions composées complexes des problèmes. La propriété la plus compréhensible et la plus simple semble être le rejet des opérations dérivées. Les dérivés sont le OU exclusif, l'implication et l'équivalence. Puisque nous n'avons étudié que les opérations de base, nous ne considérerons également que leurs propriétés.
Associativité signifie que dans des instructions telles que "et A, et B, et C", l'ordre des opérandes n'a pas d'importance. La formule s'écrit ainsi:
(A∧B)∧V=A∧(B∧V)=A∧B∧V, (A∨B)∨C=A∨(B∨C)=A∨B∨C.
Comme vous pouvez le voir, ceci est caractéristique non seulement de la conjonction, mais aussi de la disjonction.
Commutativité indique que le résultatla conjonction ou la disjonction ne dépend pas de l'élément considéré en premier:
A∧B=B∧A; A∨B=B∨A.
La distributivité permet d'étendre les parenthèses dans les expressions logiques complexes. Les règles sont similaires aux parenthèses ouvrantes dans la multiplication et l'addition en algèbre:
A∧(B∨C)=A∧B∨A∧B; A∨B∧B=(A∨B)∧(A∨B).
Les propriétés de un et zéro, qui peuvent être l'un des opérandes, sont également similaires à la multiplication algébrique par zéro ou un et à l'addition avec un:
A∧0=0, A∧1=A; A∨0=A, A∨1=1.
Idempotency nous dit que si, par rapport à deux opérandes égaux, le résultat d'une opération s'avère être similaire, alors nous pouvons "jeter" les opérandes supplémentaires qui compliquent le cours du raisonnement. La conjonction et la disjonction sont des opérations idempotentes.
B∧B=B; B∨B=B.
L'absorption nous permet également de simplifier les équations. L'absorption indique que lorsqu'une autre opération avec le même élément est appliquée à une expression avec un opérande, le résultat est l'opérande de l'opération d'absorption.
A∧B∨B=B; (A∨B)∧B=B.
Séquence des opérations
La séquence des opérations n'est pas sans importance. En fait, comme pour l'algèbre, il y a une priorité des fonctions que l'algèbre booléenne utilise. Les formules ne peuvent être simplifiées que si la signification des opérations est respectée. En classant du plus significatif au moins significatif, on obtient la séquence suivante:
1. Déni.
2. Conjonction.
3. Disjonction, exclusiveOU.
4. Implication, équivalence.
Comme vous pouvez le voir, seules la négation et la conjonction n'ont pas la même priorité. Et la priorité de disjonction et XOR sont égales, ainsi que les priorités d'implication et d'équivalence.
Fonctions d'implication et d'équivalence
Comme nous l'avons déjà dit, en plus des opérations logiques de base, la logique mathématique et la théorie des algorithmes utilisent des dérivées. Les plus couramment utilisés sont l'implication et l'équivalence.
Implication, ou conséquence logique, est une déclaration dans laquelle une action est une condition, et l'autre est une conséquence de sa mise en œuvre. En d'autres termes, il s'agit d'une phrase avec des prépositions "si … alors". "Si vous aimez monter à cheval, aimez porter des traîneaux." Autrement dit, pour le ski, vous devez serrer le traîneau en haut de la colline. S'il n'y a pas envie de descendre la montagne, vous n'avez pas à porter le traîneau. Il s'écrit ainsi: A→B ou A⇒B.
Equivalence suppose que l'action résultante ne se produit que lorsque les deux opérandes sont vrais. Par exemple, la nuit se transforme en jour quand (et seulement quand) le soleil se lève à l'horizon. Dans le langage de la logique mathématique, cette affirmation s'écrit comme suit: A≡B, A⇔B, A==B.
Autres lois de l'algèbre booléenne
L'algèbre des jugements se développe et de nombreux scientifiques intéressés ont formulé de nouvelles lois. Les postulats du mathématicien écossais O. de Morgan sont considérés comme les plus célèbres. Il a remarqué et défini des propriétés telles que la négation proche, le complément et la double négation.
La négation fermée signifie qu'il n'y a pas de négation avant la parenthèse:pas (A ou B)=pas A ou PAS B.
Quand un opérande est nié, quelle que soit sa valeur, on parle de complément:
B∧¬B=0; B∨¬B=1.
Et enfin, la double négation se compense. Ceux. soit la négation disparaît avant l'opérande, soit il n'en reste qu'un.
Comment résoudre les tests
La logique mathématique implique la simplification d'équations données. Tout comme en algèbre, vous devez d'abord rendre la condition aussi simple que possible (débarrassez-vous des entrées complexes et des opérations avec elles), puis commencez à chercher la bonne réponse.
Que peut-on faire pour simplifier ? Convertissez toutes les opérations dérivées en opérations simples. Ouvrez ensuite tous les crochets (ou inversement, sortez-le des crochets pour raccourcir cet élément). La prochaine étape devrait être d'appliquer les propriétés de l'algèbre booléenne dans la pratique (absorption, propriétés de zéro et un, etc.).
En fin de compte, l'équation doit être constituée du nombre minimum d'inconnues combinées par des opérations simples. Le moyen le plus simple de trouver une solution est d'obtenir un grand nombre de négatifs proches. Ensuite, la réponse apparaîtra comme si elle était toute seule.
