Secondes, tangentes - tout cela pourrait être entendu des centaines de fois dans les cours de géométrie. Mais la remise des diplômes est terminée, les années passent et toutes ces connaissances sont oubliées. Que faut-il retenir ?
Essence
Le terme "tangente à un cercle" est probablement familier à tout le monde. Mais il est peu probable que chacun puisse formuler rapidement sa définition. Pendant ce temps, une tangente est une telle ligne droite située dans le même plan avec un cercle qui la coupe en un seul point. Il peut y en avoir une grande variété, mais ils ont tous les mêmes propriétés, qui seront discutées ci-dessous. Comme vous pouvez le deviner, le point de contact est l'endroit où le cercle et la ligne se croisent. Dans chaque cas, c'est un, mais s'il y en a plusieurs, alors ce sera une sécante.
Histoire de la découverte et de l'étude
Le concept de tangente est apparu dans l'Antiquité. La construction de ces lignes droites, d'abord en cercle, puis en ellipses, paraboles et hyperboles à l'aide d'une règle et d'un compas, a été réalisée dès les premiers stades du développement de la géométrie. Certes, l'histoire n'a pas conservé le nom du découvreur, maisil est évident que même à cette époque, les gens étaient tout à fait conscients des propriétés de la tangente au cercle.
Dans les temps modernes, l'intérêt pour ce phénomène a de nouveau éclaté - un nouveau cycle d'étude de ce concept a commencé, combiné à la découverte de nouvelles courbes. Ainsi, Galilée a introduit le concept de cycloïde, et Fermat et Descartes lui ont construit une tangente. Quant aux cercles, il semble qu'il n'y ait plus de secrets pour les anciens dans ce domaine.
Propriétés
Le rayon tracé au point d'intersection sera perpendiculaire à la ligne. C'est
la propriété principale, mais pas la seule, d'une tangente à un cercle. Une autre caractéristique importante comprend déjà deux lignes droites. Ainsi, à travers un point situé à l'extérieur du cercle, deux tangentes peuvent être dessinées, tandis que leurs segments seront égaux. Il existe un autre théorème sur ce sujet, mais il est rarement abordé dans le cadre d'un cours scolaire standard, bien qu'il soit extrêmement pratique pour résoudre certains problèmes. Cela ressemble à ceci. A partir d'un point situé à l'extérieur du cercle, une tangente et une sécante lui sont tracées. Les segments AB, AC et AD sont formés. A est l'intersection des lignes, B est le point de contact, C et D sont les intersections. Dans ce cas, l'égalité suivante sera valable: la longueur de la tangente au cercle, au carré, sera égale au produit des segments AC et AD.
De ce qui précède, il y a une conséquence importante. Pour chaque point du cercle, vous pouvez construire une tangente, mais une seule. La preuve en est assez simple: théoriquement en laissant tomber une perpendiculaire du rayon sur celui-ci, nous découvrons que la formele triangle ne peut pas exister. Et cela signifie que la tangente est la seule.
Bâtiment
Parmi les autres problèmes de géométrie, il y a une catégorie spéciale, en règle générale, pas
aimé par les élèves et les étudiants. Pour résoudre les tâches de cette catégorie, vous n'avez besoin que d'un compas et d'une règle. Ce sont des tâches de construction. Il existe également des méthodes pour construire une tangente.
Donc, étant donné un cercle et un point situé à l'extérieur de ses limites. Et il est nécessaire de tracer une tangente à travers eux. Comment faire? Tout d'abord, vous devez tracer un segment entre le centre du cercle O et un point donné. Ensuite, à l'aide d'un compas, divisez-le en deux. Pour ce faire, vous devez définir le rayon - un peu plus de la moitié de la distance entre le centre du cercle d'origine et le point donné. Après cela, vous devez construire deux arcs qui se croisent. De plus, le rayon de la boussole n'a pas besoin d'être modifié et le centre de chaque partie du cercle sera respectivement le point initial et O. Les intersections des arcs doivent être connectées, ce qui divisera le segment en deux. Définissez un rayon sur la boussole égal à cette distance. Ensuite, avec le centre au point d'intersection, tracez un autre cercle. Il y aura à la fois le point initial et O. Dans ce cas, il y aura deux autres intersections avec le cercle donné dans le problème. Ils seront les points de contact pour le point initialement donné.
Intéressant
C'est la construction des tangentes au cercle qui a conduit à la naissance de
calcul différentiel. Les premiers travaux sur ce sujet ont étépublié par le célèbre mathématicien allemand Leibniz. Il a prévu la possibilité de trouver des maxima, des minima et des tangentes, indépendamment des valeurs fractionnaires et irrationnelles. Eh bien, maintenant, il est également utilisé pour de nombreux autres calculs.
De plus, la tangente au cercle est liée à la signification géométrique de la tangente. C'est de là que vient son nom. Traduit du latin, tangens signifie "tangente". Ainsi, ce concept est lié non seulement à la géométrie et au calcul différentiel, mais aussi à la trigonométrie.
Deux cercles
Pas toujours une tangente n'affecte qu'une seule forme. Si un grand nombre de lignes droites peuvent être tracées sur un cercle, alors pourquoi pas l'inverse ? Pouvez. Mais la tâche dans ce cas est sérieusement compliquée, car la tangente à deux cercles ne peut passer par aucun point, et la position relative de toutes ces figures peut être très
différent.
Types et variétés
Quand il s'agit de deux cercles et d'une ou plusieurs lignes, même si l'on sait qu'il s'agit de tangentes, on ne voit pas immédiatement comment toutes ces figures sont situées les unes par rapport aux autres. Sur cette base, il existe plusieurs variétés. Ainsi, les cercles peuvent avoir un ou deux points communs ou ne pas en avoir du tout. Dans le premier cas, ils se croiseront, et dans le second, ils se toucheront. Et ici, il y a deux variétés. Si un cercle est, pour ainsi dire, intégré dans le second, alors le toucher est appelé interne, sinon externe. comprendre mutuellel'emplacement des figures est possible non seulement sur la base du dessin, mais également en ayant des informations sur la somme de leurs rayons et la distance entre leurs centres. Si ces deux quantités sont égales, alors les cercles se touchent. Si le premier est plus grand, ils se coupent, et s'il est plus petit, alors ils n'ont pas de points communs.
Idem avec les lignes droites. Pour deux cercles qui n'ont pas de points communs, vous pouvez
construire quatre tangentes. Deux d'entre eux vont se croiser entre les chiffres, ils sont dits internes. Quelques autres sont externes.
Si nous parlons de cercles qui ont un point commun, alors la tâche est grandement simplifiée. Le fait est que pour tout arrangement mutuel dans ce cas, ils n'auront qu'une seule tangente. Et il passera par le point de leur intersection. Ainsi, la construction de la difficulté ne causera pas.
Si les chiffres ont deux points d'intersection, alors une ligne droite peut être construite pour eux, tangente au cercle, à la fois un et le second, mais seulement celui extérieur. La solution à ce problème est similaire à ce qui sera discuté ci-dessous.
Résolution de problèmes
Les tangentes internes et externes à deux cercles ne sont pas si faciles à construire, bien que ce problème puisse être résolu. Le fait est qu'une figure auxiliaire est utilisée pour cela, alors pensez à cette méthode vous-même
assez problématique. Donc, étant donné deux cercles avec des rayons et des centres différents O1 et O2. Pour eux, vous devez construire deux paires de tangentes.
Tout d'abord, près du centre de la plus grandeles cercles doivent être construits auxiliaires. Dans ce cas, la différence entre les rayons des deux chiffres initiaux doit être établie au compas. Les tangentes au cercle auxiliaire sont construites à partir du centre du plus petit cercle. Après cela, à partir de O1 et O2, des perpendiculaires sont tracées à ces lignes jusqu'à ce qu'elles se croisent avec les figures d'origine. Comme il ressort de la propriété principale de la tangente, les points souhaités sur les deux cercles sont trouvés. Problème résolu, au moins la première partie.
Pour construire des tangentes internes, vous devrez résoudre pratiquement
une tâche similaire. Encore une fois, une figure auxiliaire est nécessaire, mais cette fois son rayon sera égal à la somme de ceux d'origine. Les tangentes y sont construites à partir du centre de l'un des cercles donnés. La suite de la solution peut être comprise à partir de l'exemple précédent.
Tangente à un cercle ou même à deux ou plus n'est pas une tâche si difficile. Bien sûr, les mathématiciens ont depuis longtemps cessé de résoudre ces problèmes manuellement et confient les calculs à des programmes spéciaux. Mais ne pensez pas que maintenant il n'est pas nécessaire de pouvoir le faire vous-même, car pour formuler correctement une tâche pour un ordinateur, vous devez faire et comprendre beaucoup. Malheureusement, on craint qu'après la transition finale vers la forme de test de contrôle des connaissances, les tâches de construction causent de plus en plus de difficultés aux étudiants.
Quant à trouver des tangentes communes pour plusieurs cercles, ce n'est pas toujours possible, même s'ils se trouvent dans le même plan. Mais dans certains cas, vous pouvez trouver une telle ligne droite.
Exemples de vie
Une tangente commune à deux cercles est souvent rencontrée dans la pratique, bien qu'elle ne soit pas toujours perceptible. Convoyeurs, systèmes de blocs, courroies de transmission à poulies, tension de fil dans une machine à coudre et même juste une chaîne de bicyclette - tous ces exemples sont tirés de la vie. Ne pensez donc pas que les problèmes géométriques ne restent qu'en théorie: en ingénierie, en physique, en construction et dans de nombreux autres domaines, ils trouvent des applications pratiques.
