Avec la division des mathématiques en algèbre et géométrie, le matériel pédagogique devient plus difficile. De nouvelles figures et leurs cas particuliers apparaissent. Afin de bien comprendre le matériau, il est nécessaire d'étudier les concepts, les propriétés des objets et les théorèmes associés.
Concepts généraux
Un quadrilatère signifie une figure géométrique. Il se compose de 4 pointes. De plus, 3 d'entre eux ne sont pas situés sur la même droite. Il y a des segments reliant les points spécifiés en série.
Tous les quadrilatères étudiés dans le cours de géométrie de l'école sont représentés dans le schéma suivant. Conclusion: tout objet de la figure présentée a les propriétés de la figure précédente.
Un quadrilatère peut être des types suivants:
- Parallélogramme. Le parallélisme de ses côtés opposés est démontré par les théorèmes correspondants.
- Trapèze. Un quadrilatère à bases parallèles. Les deux autres partis ne le sont pas.
- Rectangle. Une figure qui a les 4 coins=90º.
- Rhombe. Une figure dont tous les côtés sont égaux.
- Carré. Combine les propriétés des deux dernières figures. Il a tous les côtés égaux et tous les angles sont droits.
La principale définition de ce sujet est un quadrilatère inscrit dans un cercle. Il consiste en ce qui suit. C'est une figure autour de laquelle un cercle est décrit. Il doit passer par tous les sommets. Les angles intérieurs d'un quadrilatère inscrit dans un cercle totalisent 360º.
Tous les quadrilatères ne peuvent pas être inscrits. Cela est dû au fait que les bissectrices perpendiculaires des 4 côtés peuvent ne pas se croiser en un point. Il sera alors impossible de trouver le centre d'un cercle circonscrit à un 4-gone.
Cas particuliers
Il y a des exceptions à chaque règle. Donc, dans ce sujet, il y a aussi des cas particuliers:
- Un parallélogramme, en tant que tel, ne peut pas être inscrit dans un cercle. Seul son cas particulier. C'est un rectangle.
- Si tous les sommets d'un losange sont sur la ligne circonscrite, alors c'est un carré.
- Tous les sommets du trapèze sont sur la limite du cercle. Dans ce cas, on parle de figure isocèle.
Propriétés d'un quadrilatère inscrit dans un cercle
Avant de résoudre des problèmes simples et complexes sur un sujet donné, vous devez vérifier vos connaissances. Sans étudier le matériel pédagogique, il est impossible de résoudre un seul exemple.
Théorème 1
La somme des angles opposés d'un quadrilatère inscrit dans un cercle est 180º.
Preuve
Étant donné: le quadrilatère ABCD est inscrit dans un cercle. Son centre est le point O. Nous devons prouver que <A + <C=180º et < B + <D=180º.
Besoin de considérer les chiffres présentés.
- <A est inscrit dans un cercle centré au point O. Il est mesuré par ½ BCD (demi-arc).
- <C est inscrit dans le même cercle. Il est mesuré sur ½ BAD (demi-arc).
- BAD et BCD forment un cercle entier, c'est-à-dire que leur magnitude est de 360º.
- <A + <C sont égaux à la moitié de la somme des demi-arcs représentés.
- D'où <A + <C=360º / 2=180º.
De la même manière, la preuve pour <B et <D. Cependant, il existe une deuxième solution au problème.
- On sait que la somme des angles intérieurs d'un quadrilatère est de 360º.
- Parce que <A + <C=180º. En conséquence, <B + <D=360º – 180º=180º.
Théorème 2
(On l'appelle souvent inverse) Si dans un quadrilatère <A + <C=180º et <B + <D=180º (s'ils sont opposés), alors un cercle peut être décrit autour d'une telle figure.
Preuve
La somme des angles opposés du quadrilatère ABCD égal à 180º est donnée. <A + <C=180º, <B +<D=180º. Nous devons prouver qu'un cercle peut être circonscrit autour de ABCD.
D'après le cours de géométrie, on sait qu'un cercle peut être tracé à travers 3 points d'un quadrilatère. Par exemple, vous pouvez utiliser les points A, B, C. Où sera situé le point D ? Il y a 3 suppositions:
- Elle se retrouve à l'intérieur du cercle. Dans ce cas, D ne touche pas la ligne.
- En dehors du cercle. Elle va bien au-delà de la ligne tracée.
- Il s'avère sur un cercle.
Il faut supposer que D est à l'intérieur du cercle. La place du sommet indiqué est occupée par D´. Il s'avère que le quadrilatère ABCD´.
Le résultat est:<B + <D´=2d.
Si nous continuons AD´ jusqu'à l'intersection avec le cercle existant centré au point E et connectons E et C, nous obtenons un quadrilatère inscrit ABCE. Du premier théorème découle l'égalité:
Selon les lois de la géométrie, l'expression n'est pas valide car <D´ est le coin extérieur du triangle CD´E. En conséquence, il devrait être supérieur à <E. De cela, nous pouvons conclure que D doit être soit sur le cercle, soit à l'extérieur de celui-ci.
De même, la troisième hypothèse peut s'avérer fausse lorsque D´´ dépasse la limite de la figure décrite.
De deux hypothèses découle la seule correcte. Le sommet D est situé sur la ligne circulaire. En d'autres termes, D coïncide avec E. Il s'ensuit que tous les points du quadrilatère sont situés sur la droite décrite.
À partir de cesdeux théorèmes, les corollaires suivent:
Tout rectangle peut être inscrit dans un cercle. Il y a une autre conséquence. Un cercle peut être circonscrit autour de n'importe quel rectangle
Trapèze avec des hanches égales peut être inscrit dans un cercle. En d'autres termes, cela ressemble à ceci: un cercle peut être décrit autour d'un trapèze avec des arêtes égales
Plusieurs exemples
Problème 1. Le quadrilatère ABCD est inscrit dans un cercle. <ABC=105º, <CAD=35º. Besoin de trouver <ABD. La réponse doit être écrite en degrés.
Décision. Au début, il peut sembler difficile de trouver la réponse.
1. Vous devez vous souvenir des propriétés de cette rubrique. A savoir: la somme des angles opposés=180º.
<ADC=180º – <ABC=180º – 105º=75º
En géométrie, mieux vaut s'en tenir au principe: trouver tout ce que l'on peut. Utile plus tard.
2. Étape suivante: utilisez le théorème de la somme des triangles.
<ACD=180º – <CAD – <ADC=180º – 35º – 75º=70º
<ABD et <ACD sont inscrits. Par condition, ils s'appuient sur un arc. En conséquence, ils ont des valeurs égales:
<ABD=<ACD=70º
Réponse: <ABD=70º.
Problème 2. BCDE est un quadrilatère inscrit dans un cercle. <B=69º, <C=84º. Le centre du cercle est le point E. Find - <E.
Décision.
- Besoin de trouver <E par le théorème 1.
<E=180º – <C=180º – 84º=96º
Réponse: < E=96º.
Problème 3. Soit un quadrilatère inscrit dans un cercle. Les données sont présentées dans la figure. Il faut trouver des valeurs inconnues x, y, z.
Solution:
z=180º – 93º=87º (par le théorème 1)
x=½(58º + 106º)=82º
y=180º – 82º=98º (par le théorème 1)
Réponse: z=87º, x=82º, y=98º.
Problème 4. Il y a un quadrilatère inscrit dans un cercle. Les valeurs sont indiquées sur la figure. Trouver x, y.
Solution:
x=180º – 80º=100º
y=180º – 71º=109º
Réponse: x=100º, y=109º.
Problèmes pour une solution indépendante
Exemple 1. Soit un cercle. Son centre est le point O. AC et BD sont des diamètres. <ACB=38º. Besoin de trouver <AOD. La réponse doit être donnée en degrés.
Exemple 2. Soit un quadrilatère ABCD et un cercle circonscrit autour de lui. <ABC=110º, <ABD=70º. Trouvez <CAD. Écrivez votre réponse en degrés.
Exemple 3. Soit un cercle et un quadrilatère inscrit ABCD. Ses deux angles sont de 82º et58º. Vous devez trouver le plus grand des angles restants et écrire la réponse en degrés.
Exemple 4. Le quadrilatère ABCD est donné. Les angles A, B, C sont donnés dans le rapport 1:2:3. Il faut trouver l'angle D si le quadrilatère spécifié peut s'inscrire dans un cercle. La réponse doit être donnée en degrés.
Exemple 5. Le quadrilatère ABCD est donné. Ses côtés forment des arcs de cercle circonscrit. Les valeurs en degrés AB, BC, CD et AD sont respectivement: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Vous devriez trouver <Dans le quadrilatère donné et écrire la réponse en degrés.
