La planimétrie est une branche de la géométrie qui étudie les propriétés des figures planes. Ceux-ci incluent non seulement des triangles, des carrés, des rectangles bien connus, mais aussi des lignes droites et des angles. En planimétrie, il existe également des concepts tels que les angles dans un cercle: central et inscrit. Mais qu'est-ce qu'ils veulent dire ?
Quel est l'angle au centre ?
Pour comprendre ce qu'est un angle central, vous devez définir un cercle. Un cercle est une collection de tous les points équidistants d'un point donné (le centre du cercle).
Il est très important de le distinguer d'un cercle. Il faut se rappeler qu'un cercle est une ligne fermée et qu'un cercle est une partie d'un plan délimité par celle-ci. Un polygone ou un angle peut être inscrit dans un cercle.
Un angle au centre est un angle dont le sommet coïncide avec le centre du cercle et dont les côtés coupent le cercle en deux points. L'arc, que l'angle limite par des points d'intersection, est appelé l'arc sur lequel repose l'angle donné.
Prenons l'exemple 1.
Sur l'image, l'angle AOB est central, car le sommet de l'angle et le centre du cercle sont un point O. Il repose sur l'arc AB, qui ne contient pas le point C.
En quoi un angle inscrit diffère-t-il d'un angle central ?
Cependant, outre les angles centraux, il existe également des angles inscrits. Quelle est leur différence ? Tout comme celui du centre, l'angle inscrit dans un cercle repose sur un certain arc. Mais son sommet ne coïncide pas avec le centre du cercle, mais repose dessus.
Prenons l'exemple suivant.
Angle ACB est appelé un angle inscrit dans un cercle centré au point O. Le point C appartient au cercle, c'est-à-dire qu'il repose dessus. L'angle repose sur l'arc AB.
Quel est l'angle au centre
Pour résoudre avec succès les problèmes de géométrie, il ne suffit pas de pouvoir distinguer les angles inscrits des angles au centre. En règle générale, pour les résoudre, vous devez savoir exactement comment trouver l'angle au centre d'un cercle et pouvoir calculer sa valeur en degrés.
Ainsi, l'angle central est égal à la mesure en degrés de l'arc sur lequel il repose.
Sur l'image, l'angle AOB repose sur l'arc AB égal à 66°. Donc l'angle AOB est aussi égal à 66°.
Ainsi, les angles au centre basés sur des arcs égaux sont égaux.
Sur la figure, l'arc DC est égal à l'arc AB. Donc l'angle AOB est égal à l'angle DOC.
Comment trouver un angle inscrit
Il peut sembler que l'angle inscrit dans le cercle est égal à l'angle au centre,qui repose sur le même arc. Cependant, c'est une grossière erreur. En fait, même en regardant simplement le dessin et en comparant ces angles les uns avec les autres, vous pouvez voir que leurs mesures en degrés auront des valeurs différentes. Quel est donc l'angle inscrit dans le cercle ?
La mesure en degrés d'un angle inscrit est la moitié de l'arc sur lequel il repose, ou la moitié de l'angle central s'ils reposent sur le même arc.
Prenons un exemple. L'angle ACB est basé sur un arc égal à 66°.
Donc l'angle DIA=66°: 2=33°
Considérons quelques conséquences de ce théorème.
- Les angles inscrits, s'ils sont basés sur le même arc, corde ou arcs égaux, sont égaux.
- Si les angles inscrits sont basés sur la même corde, mais que leurs sommets se trouvent sur des côtés opposés de celle-ci, la somme des mesures en degrés de ces angles est de 180°, puisque dans ce cas les deux angles sont basés sur des arcs, dont la mesure totale en degrés est de 360° (cercle entier), 360°: 2=180°
- Si l'angle inscrit est basé sur le diamètre du cercle donné, sa mesure en degrés est de 90°, puisque le diamètre sous-tend un arc égal à 180°, 180°: 2=90°
- Si les angles central et inscrit dans un cercle sont basés sur le même arc ou corde, alors l'angle inscrit est égal à la moitié de l'angle central.
Où peut-on trouver des problèmes sur ce sujet ? Leurs types et solutions
Étant donné que le cercle et ses propriétés sont l'une des sections les plus importantes de la géométrie, de la planimétrie en particulier, les angles inscrits et centraux dans le cercle sont un sujet largement et en détailétudiés dans le programme scolaire. Les tâches consacrées à leurs propriétés se trouvent dans l'examen d'État principal (OGE) et l'examen d'État unifié (USE). En règle générale, pour résoudre ces problèmes, vous devez trouver les angles sur le cercle en degrés.
Angles basés sur le même arc
Ce type de problème est peut-être l'un des plus faciles, car pour le résoudre, il suffit de connaître deux propriétés simples: si les deux angles sont inscrits et s'appuient sur la même corde, ils sont égaux, si l'un d'eux est central, alors l'angle inscrit correspondant est égal à la moitié de celui-ci. Cependant, lors de leur résolution, il faut être extrêmement prudent: il est parfois difficile de remarquer cette propriété et les étudiants, lors de la résolution de problèmes aussi simples, se retrouvent dans une impasse. Prenons un exemple.
Problème 1
Étant donné un cercle centré au point O. L'angle AOB est de 54°. Trouvez la mesure en degrés de l'angle DIA.
Cette tâche est résolue en une seule étape. La seule chose dont vous avez besoin pour trouver rapidement la réponse est de remarquer que l'arc sur lequel reposent les deux coins est commun. En voyant cela, vous pouvez appliquer la propriété déjà familière. L'angle ACB est la moitié de l'angle AOB. Alors
1) AOB=54°: 2=27°.
Réponse: 54°.
Angles basés sur différents arcs du même cercle
Parfois, la taille de l'arc sur lequel repose l'angle requis n'est pas directement spécifiée dans les conditions du problème. Pour le calculer, vous devez analyser la magnitude de ces angles et les comparer avec les propriétés connues du cercle.
Problème 2
Dans un cercle de centre O, angle AOCest de 120° et l'angle AOB est de 30°. Trouvez le coin VOUS.
Pour commencer, il convient de dire qu'il est possible de résoudre ce problème en utilisant les propriétés des triangles isocèles, mais cela nécessitera plus d'opérations mathématiques. Par conséquent, nous allons ici analyser la solution en utilisant les propriétés des angles au centre et inscrits dans un cercle.
Ainsi, l'angle AOC repose sur l'arc AC et est central, ce qui signifie que l'arc AC est égal à l'angle AOC.
AC=120°
De même, l'angle AOB repose sur l'arc AB.
AB=30°.
Sachant cela et la mesure en degrés du cercle entier (360°), vous pouvez facilement trouver la magnitude de l'arc BC.
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
Le sommet de l'angle CAB, point A, se trouve sur le cercle. L'angle CAB est donc inscrit et égal à la moitié de l'arc CB.
Angle cabine=210°: 2=110°
Réponse: 110°
Problèmes basés sur les rapports d'arc
Certains problèmes ne contiennent pas du tout de données sur les angles, ils doivent donc être recherchés uniquement sur la base de théorèmes connus et de propriétés d'un cercle.
Problème 1
Trouver l'angle inscrit dans un cercle supporté par une corde égale au rayon du cercle donné.
Si vous tracez mentalement des lignes reliant les extrémités du segment au centre du cercle, vous obtenez un triangle. Après l'avoir examiné, vous pouvez voir que ces lignes sont les rayons du cercle, ce qui signifie que tous les côtés du triangle sont égaux. On sait que tous les angles d'un triangle équilatéralsont égaux à 60°. Ainsi, l'arc AB contenant le sommet du triangle est égal à 60°. De là, nous trouvons l'arc AB, sur lequel l'angle souhaité est basé.
AB=360° - 60°=300°
Angle ABC=300°: 2=150°
Réponse: 150°
Problème 2
Dans un cercle centré au point O, les arcs sont liés par 3:7. Trouvez le plus petit angle inscrit.
Pour la solution, nous désignons une partie par X, puis un arc est égal à 3X, et le second, respectivement, à 7X. Sachant que la mesure en degrés d'un cercle est de 360°, nous pouvons écrire une équation.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Selon la condition, vous devez trouver un angle plus petit. Évidemment, si la valeur de l'angle est directement proportionnelle à l'arc sur lequel il repose, alors l'angle (plus petit) requis correspond à un arc égal à 3X.
Donc le plus petit angle est (36°3): 2=108°: 2=54°
Réponse: 54°
Problème 3
Dans un cercle centré au point O, l'angle AOB est de 60° et la longueur du plus petit arc est de 50. Calculer la longueur du plus grand arc.
Afin de calculer la longueur d'un arc plus grand, vous devez faire une proportion - comment le plus petit arc se rapporte au plus grand. Pour ce faire, nous calculons la magnitude des deux arcs en degrés. Le plus petit arc est égal à l'angle qui repose dessus. Sa mesure en degrés est de 60°. Le plus grand arc est égal à la différence entre la mesure en degrés du cercle (il est égal à 360° quelles que soient les autres données) et le plus petit arc.
Le grand arc est 360° - 60°=300°.
Puisque 300°: 60°=5, le plus grand arc est 5 fois le plus petit.
Grand arc=505=250
Réponse: 250
Donc, bien sûr, il y en a d'autresapproches pour résoudre des problèmes similaires, mais toutes sont en quelque sorte basées sur les propriétés des angles centraux et inscrits, des triangles et des cercles. Afin de les résoudre avec succès, vous devez étudier attentivement le dessin et le comparer avec les données du problème, ainsi que pouvoir appliquer vos connaissances théoriques dans la pratique.
