Matrices : méthode de Gauss. Calcul de la matrice de Gauss : exemples

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Dernière modifié: 2023-12-17 05:26

L'algèbre linéaire, qui est enseignée dans les universités dans diverses spécialités, combine de nombreux sujets complexes. Certaines d'entre elles sont liées aux matrices, ainsi qu'à la résolution de systèmes d'équations linéaires par les méthodes de Gauss et de Gauss-Jordan. Tous les étudiants ne parviennent pas à comprendre ces sujets, algorithmes pour résoudre divers problèmes. Apprenons ensemble les matrices et méthodes de Gauss et Gauss-Jordan.

Concepts de base

Une matrice en algèbre linéaire est un tableau rectangulaire d'éléments (table). Vous trouverez ci-dessous des ensembles d'éléments entre parenthèses. Ce sont des matrices. À partir de l'exemple ci-dessus, on peut voir que les éléments des tableaux rectangulaires ne sont pas seulement des nombres. La matrice peut être constituée de fonctions mathématiques, de symboles algébriques.

Afin de comprendre certains concepts, faisons une matrice A à partir des éléments a_ij. Les index ne sont pas que des lettres: i est le numéro de la ligne dans le tableau, et j est le numéro de la colonne, dans la zone de l'intersection de laquelle se trouve l'élémenta_ij. Ainsi, nous voyons que nous avons une matrice d'éléments tels que a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ et ainsi de suite. La lettre n indique le nombre de colonnes et la lettre m indique le nombre de lignes. Le symbole m × n désigne la dimension de la matrice. C'est le concept qui définit le nombre de lignes et de colonnes dans un tableau rectangulaire d'éléments.

Facultativement, la matrice doit avoir plusieurs colonnes et lignes. Avec une dimension de 1 × n, le tableau d'éléments est à une seule ligne, et avec une dimension de m × 1, c'est un tableau à une seule colonne. Lorsque le nombre de lignes et le nombre de colonnes sont égaux, la matrice est dite carrée. Chaque matrice carrée a un déterminant (det A). Ce terme fait référence au numéro qui est attribué à la matrice A.

Quelques concepts plus importants à retenir pour résoudre avec succès les matrices sont les diagonales principales et secondaires. La diagonale principale d'une matrice est la diagonale qui descend vers le coin droit du tableau depuis le coin supérieur gauche. La diagonale latérale va vers le coin droit en partant du coin gauche à partir du bas.

Vue matricielle étagée

Regardez l'image ci-dessous. Vous y verrez une matrice et un diagramme. Traitons d'abord la matrice. En algèbre linéaire, une matrice de ce type est appelée matrice en escalier. Il a une propriété: si a_ij est le premier élément non nul de la ième ligne, alors tous les autres éléments de la matrice ci-dessous et à gauche de a_ij , sont nuls (c'est-à-dire tous les éléments qui peuvent être désignés par la lettre a_kl, où k>i etl<j).

Considérons maintenant le diagramme. Il reflète la forme étagée de la matrice. Le schéma montre 3 types de cellules. Chaque type désigne certains éléments:

cellules vides - zéro élément de la matrice;
les cellules ombrées sont des éléments arbitraires qui peuvent être à la fois nuls et non nuls;
les carrés noirs sont des éléments non nuls, appelés éléments d'angle, "étapes" (dans la matrice affichée à côté d'eux, ces éléments sont les nombres -1, 5, 3, 8).

Lors de la résolution de matrices, le résultat est parfois que la "longueur" du pas est supérieure à 1. C'est autorisé. Seule la "hauteur" des marches compte. Dans une matrice de pas, ce paramètre doit toujours être égal à un.

Réduction de la matrice en forme d'étape

Toute matrice rectangulaire peut être convertie en une forme étagée. Cela se fait par des transformations élémentaires. Ils incluent:

réorganiser les chaînes;
Ajouter une autre ligne à une ligne, si nécessaire multipliée par un certain nombre (vous pouvez également effectuer une opération de soustraction).

Considérons les transformations élémentaires dans la résolution d'un problème spécifique. La figure ci-dessous montre la matrice A, qui doit être réduite à une forme échelonnée.

Le problème de la réduction d'une matrice à une forme étagée

Afin de résoudre le problème, nous allons suivre l'algorithme:

Il est pratique d'effectuer des transformations sur une matrice avecle premier élément dans le coin supérieur gauche (c'est-à-dire l'élément "principal") est 1 ou -1. Dans notre cas, le premier élément de la rangée du haut est 2, alors échangeons les première et deuxième rangées.
Effectuons des opérations de soustraction, affectant les lignes 2, 3 et 4. Nous devrions obtenir des zéros dans la première colonne sous l'élément "principal". Pour arriver à ce résultat: aux éléments de la ligne n° 2, on soustrait séquentiellement les éléments de la ligne n° 1, multipliés par 2; des éléments de la ligne n ° 3, nous soustrayons séquentiellement les éléments de la ligne n ° 1, multipliés par 4; des éléments de la ligne n ° 4, nous soustrayons séquentiellement les éléments de la ligne n ° 1.
Ensuite, nous allons travailler avec une matrice tronquée (sans colonne 1 et sans ligne 1). Le nouvel élément "principal", situé à l'intersection de la deuxième colonne et de la deuxième ligne, est égal à -1. Il n'est pas nécessaire de réorganiser les lignes, nous réécrivons donc la première colonne et les première et deuxième lignes sans modifications. Effectuons des opérations de soustraction afin d'obtenir des zéros dans la deuxième colonne sous l'élément "en tête": des éléments de la troisième ligne, nous soustrayons séquentiellement les éléments de la deuxième ligne, multipliés par 3; soustrayez les éléments de la deuxième ligne multipliés par 2 des éléments de la quatrième ligne.
Il reste à changer la dernière ligne. De ses éléments on soustrait successivement les éléments de la troisième rangée. Ainsi, nous avons obtenu une matrice étagée.

La réduction de matrices en une forme échelonnée est utilisée dans la résolution de systèmes d'équations linéaires (SLE) par la méthode de Gauss. Avant d'examiner cette méthode, comprenons certains des termes liés à SLN.

Matrices et systèmes d'équations linéaires

Les matrices sont utilisées dans diverses sciences. À l'aide de tables de nombres, vous pouvez, par exemple, résoudre des équations linéaires combinées dans un système en utilisant la méthode de Gauss. Tout d'abord, familiarisons-nous avec quelques termes et leurs définitions, et voyons également comment une matrice est formée à partir d'un système qui combine plusieurs équations linéaires.

SLU – plusieurs équations algébriques combinées avec des inconnues de première puissance et aucun terme de produit.

SLE solution – valeurs trouvées d'inconnues, en substituant lesquelles les équations du système deviennent des identités.

Un SLE conjoint est un système d'équations qui a au moins une solution.

L'ELS incohérent est un système d'équations qui n'a pas de solutions.

Comment se forme une matrice basée sur un système qui combine des équations linéaires ? Il existe des concepts tels que les matrices principales et étendues du système. Afin d'obtenir la matrice principale du système, il est nécessaire de mettre dans le tableau tous les coefficients pour les inconnues. La matrice développée est obtenue en ajoutant une colonne de termes libres à la matrice principale (elle comprend des éléments connus auxquels chaque équation du système est assimilée). Vous pouvez comprendre tout ce processus en étudiant l'image ci-dessous.

La première chose que nous voyons dans l'image est un système qui comprend des équations linéaires. Ses éléments: a_ij – coefficients numériques, x_j – valeurs inconnues, b_i – termes constants (où i=1, 2, …, m et j=1, 2, …, n). Le deuxième élément de l'image est la matrice principale des coefficients. A partir de chaque équation, les coefficients sont écrits sur une ligne. Par conséquent, il y a autant de lignes dans la matrice qu'il y a d'équations dans le système. Le nombre de colonnes est égal au plus grand nombre de coefficients dans une équation. Le troisième élément de l'image est une matrice augmentée avec une colonne de termes libres.

Matrices et système d'équations linéaires

Informations générales sur la méthode de Gauss

En algèbre linéaire, la méthode de Gauss est la manière classique de résoudre l'ELS. Il porte le nom de Carl Friedrich Gauss, qui vécut aux XVIIIe et XIXe siècles. C'est l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps. L'essence de la méthode de Gauss est d'effectuer des transformations élémentaires sur un système d'équations algébriques linéaires. À l'aide de transformations, le SLE est réduit à un système équivalent de forme triangulaire (en escalier), à partir duquel toutes les variables peuvent être trouvées.

Il convient de noter que Carl Friedrich Gauss n'est pas le découvreur de la méthode classique de résolution d'un système d'équations linéaires. La méthode a été inventée beaucoup plus tôt. Sa première description se trouve dans l'encyclopédie des connaissances des anciens mathématiciens chinois, appelée "Mathématiques en 9 livres".

Un exemple de résolution du SLE par la méthode de Gauss

Considérons la résolution de systèmes par la méthode de Gauss sur un exemple précis. Nous travaillerons avec le SLU montré dans l'image.

Algorithme de résolution:

Nous allons réduire le système à une forme d'étape par le mouvement direct de la méthode de Gauss, mais d'abordnous allons composer une matrice élargie de coefficients numériques et de membres libres.
Pour résoudre la matrice en utilisant la méthode gaussienne (c'est-à-dire l'amener à une forme étagée), à partir des éléments des deuxième et troisième lignes, nous soustrayons séquentiellement les éléments de la première ligne. Nous obtenons des zéros dans la première colonne sous l'élément "principal". Ensuite, nous changerons les deuxième et troisième lignes par endroits pour plus de commodité. Aux éléments de la dernière ligne, ajoutez séquentiellement les éléments de la deuxième ligne, multipliés par 3.
À la suite du calcul de la matrice par la méthode de Gauss, nous avons obtenu un tableau étagé d'éléments. Sur cette base, nous allons composer un nouveau système d'équations linéaires. Par le cours inverse de la méthode de Gauss, on trouve les valeurs des termes inconnus. On peut voir à partir de la dernière équation linéaire que x₃ est égal à 1. Nous remplaçons cette valeur dans la deuxième ligne du système. Vous obtenez l'équation x₂ – 4=–4. Il s'ensuit que x₂ est égal à 0. Remplacez x₂ et x₃ dans la première équation du système: x1 _{+ 0 +3=2. Le terme inconnu est -1.}

Réponse: en utilisant la matrice, la méthode gaussienne, nous avons trouvé les valeurs des inconnues; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Méthode Gauss-Jordan

En algèbre linéaire, il existe aussi la méthode de Gauss-Jordan. Elle est considérée comme une modification de la méthode gaussienne et est utilisée pour trouver la matrice inverse, calculer les termes inconnus des systèmes carrés d'équations linéaires algébriques. La méthode de Gauss-Jordan est pratique en ce qu'elle permet de résoudre le SLE en une seule étape (sans l'utilisation de la méthode directe et inversese déplace).

Commençons par le terme "matrice inverse". Supposons que nous ayons une matrice A. Son inverse sera la matrice A^-1, alors que la condition est nécessairement satisfaite: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, c'est-à-dire que le produit de ces matrices est égal à la matrice identité (les éléments de la diagonale principale de la matrice identité sont des uns et les éléments restants sont nuls).}

Une nuance importante: en algèbre linéaire, il existe un théorème sur l'existence d'une matrice inverse. Une condition suffisante et nécessaire pour l'existence de la matrice A^-1 est que la matrice A soit non singulière.

Étapes de base sur lesquelles repose la méthode de Gauss-Jordan:

Regardez la première ligne d'une matrice particulière. La méthode de Gauss-Jordan peut être lancée si la première valeur n'est pas égale à zéro. Si la première place est 0, permutez les lignes de sorte que le premier élément ait une valeur non nulle (il est souhaitable que le nombre soit plus proche de un).
Divise tous les éléments de la première ligne par le premier nombre. Vous vous retrouverez avec une chaîne qui commence par un.
De la deuxième ligne, soustrayez la première ligne multipliée par le premier élément de la deuxième ligne, c'est-à-dire qu'à la fin vous obtiendrez une ligne qui commence à zéro. Faites de même pour le reste des lignes. Divisez chaque ligne par son premier élément non nul pour obtenir des 1 en diagonale.
En conséquence, vous obtiendrez la matrice triangulaire supérieure en utilisant la méthode Gauss - Jordan. Dans celui-ci, la diagonale principale est représentée par des unités. Le coin inférieur est rempli de zéros, etcoin supérieur - diverses valeurs.
De l'avant-dernière ligne, soustrayez la dernière ligne multipliée par le coefficient requis. Vous devriez obtenir une chaîne avec des zéros et un. Pour le reste des lignes, répétez la même action. Après toutes les transformations, la matrice identité sera obtenue.

Un exemple de recherche de la matrice inverse à l'aide de la méthode de Gauss-Jordan

Pour calculer la matrice inverse, vous devez écrire la matrice augmentée A|E et effectuer les transformations nécessaires. Prenons un exemple simple. La figure ci-dessous montre la matrice A.

Solution:

D'abord, trouvons le déterminant de la matrice en utilisant la méthode gaussienne (det A). Si ce paramètre n'est pas égal à zéro, alors la matrice sera considérée comme non singulière. Cela nous permettra de conclure que A a définitivement A^-1. Pour calculer le déterminant, nous transformons la matrice en une forme pas à pas par des transformations élémentaires. Comptons le nombre K égal au nombre de permutations de lignes. Nous avons changé les lignes seulement 1 fois. Calculons le déterminant. Sa valeur sera égale au produit des éléments de la diagonale principale, multiplié par (–1)^K. Résultat du calcul: det A=2.
Composer la matrice augmentée en ajoutant la matrice identité à la matrice d'origine. Le tableau d'éléments résultant sera utilisé pour trouver la matrice inverse par la méthode de Gauss-Jordan.
Le premier élément de la première ligne est égal à un. Cela nous convient, car il n'est pas nécessaire de réorganiser les lignes et de diviser la ligne donnée par un certain nombre. Commençons à travailleravec les deuxième et troisième lignes. Pour transformer le premier élément de la deuxième ligne en 0, soustrayez la première ligne de la deuxième ligne multipliée par 3. Soustrayez la première ligne de la troisième ligne (aucune multiplication requise).
Dans la matrice résultante, le deuxième élément de la deuxième ligne est -4 et le deuxième élément de la troisième ligne est -1. Échangeons les lignes pour plus de commodité. De la troisième rangée, soustrayez la deuxième rangée multipliée par 4. Divisez la deuxième rangée par -1 et la troisième rangée par 2. Nous obtenons la matrice triangulaire supérieure.
Supprimons la dernière ligne multipliée par 4 de la deuxième ligne, et la dernière ligne multipliée par 5 de la première ligne. Ensuite, soustrayons la deuxième ligne multipliée par 2 de la première ligne. Sur le côté gauche, nous avons la matrice d'identité. À droite se trouve la matrice inverse.

Un exemple de résolution de SLE par la méthode de Gauss-Jordan

La figure montre un système d'équations linéaires. Il est nécessaire de trouver les valeurs de variables inconnues à l'aide d'une matrice, la méthode de Gauss-Jordan.

Solution:

Créons une matrice augmentée. Pour ce faire, nous allons mettre les coefficients et les termes libres dans le tableau.
Résolvez la matrice en utilisant la méthode de Gauss-Jordan. De la ligne n° 2, nous soustrayons la ligne n° 1. De la ligne n° 3, nous soustrayons la ligne n° 1, précédemment multipliée par 2.
Intervertir les rangées 2 et 3.
De la ligne 3 soustraire la ligne 2 multipliée par 2. Diviser la troisième ligne résultante par –1.
Soustraire la ligne 3 de la ligne 2.
Soustraire la ligne 1 de la ligne 12 fois -1. Sur le côté, nous avons une colonne composée des chiffres 0, 1 et -1. Nous en concluons que x₁=0, x₂=1 et x₃ =–1.

Si vous le souhaitez, vous pouvez vérifier l'exactitude de la solution en substituant les valeurs calculées dans les équations:

0 – 1=–1, la première identité du système est correcte;
0 + 1 + (–1)=0, la deuxième identité du système est correcte;
0 – 1 + (–1)=–2, la troisième identité du système est correcte.

Conclusion: en utilisant la méthode de Gauss-Jordan, nous avons trouvé la bonne solution à un système quadratique qui combine des équations algébriques linéaires.

Calculatrices en ligne

La vie des jeunes d'aujourd'hui qui étudient dans les universités et étudient l'algèbre linéaire a été grandement simplifiée. Il y a quelques années, nous avons dû trouver par nous-mêmes des solutions aux systèmes utilisant la méthode Gauss et Gauss-Jordan. Certains élèves ont réussi à faire face aux tâches, tandis que d'autres se sont embrouillés dans la solution, ont fait des erreurs, ont demandé de l'aide à leurs camarades de classe. Aujourd'hui, vous pouvez utiliser des calculatrices en ligne lorsque vous faites vos devoirs. Pour résoudre des systèmes d'équations linéaires, rechercher des matrices inverses, des programmes ont été écrits qui démontrent non seulement les bonnes réponses, mais montrent également la progression de la résolution d'un problème particulier.

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