Matrix est un objet spécial en mathématiques. Il se présente sous la forme d'un tableau rectangulaire ou carré, composé d'un certain nombre de lignes et de colonnes. En mathématiques, il existe une grande variété de types de matrices, différant par leur taille ou leur contenu. Les numéros de ses lignes et de ses colonnes sont appelés ordres. Ces objets sont utilisés en mathématiques pour organiser l'écriture de systèmes d'équations linéaires et rechercher facilement leurs résultats. Les équations utilisant une matrice sont résolues en utilisant la méthode de Carl Gauss, Gabriel Cramer, les additions mineures et algébriques, et bien d'autres façons. La compétence de base lorsque vous travaillez avec des matrices est de les amener à une forme standard. Cependant, commençons par déterminer quels types de matrices sont distingués par les mathématiciens.
Type nul
Tous les composants de ce type de matrice sont des zéros. Pendant ce temps, le nombre de ses lignes et de ses colonnes est complètement différent.
Type carré
Le nombre de colonnes et de lignes de ce type de matrice est le même. En d'autres termes, il s'agit d'une table de forme "carrée". Le nombre de ses colonnes (ou lignes) s'appelle l'ordre. Les cas particuliers sont l'existence d'une matrice du deuxième ordre (matrice 2x2), du quatrième ordre (4x4), du dixième (10x10), du dix-septième (17x17) et ainsi de suite.
Vecteur colonne
C'est l'un des types de matrices les plus simples, contenant une seule colonne, qui comprend trois valeurs numériques. Il représente une série de termes libres (nombres indépendants des variables) dans des systèmes d'équations linéaires.
Vecteur de ligne
Vue similaire à la précédente. Se compose de trois éléments numériques, à leur tour organisés en une seule ligne.
Type diagonal
Seules les composantes de la diagonale principale (surlignées en vert) prennent des valeurs numériques sous la forme diagonale de la matrice. La diagonale principale commence par l'élément dans le coin supérieur gauche et se termine par l'élément dans le coin inférieur droit, respectivement. Les autres composants sont nuls. Le type diagonal n'est qu'une matrice carrée d'un certain ordre. Parmi les matrices de forme diagonale, on peut en distinguer une scalaire. Tous ses composants prennent les mêmes valeurs.
Matrice d'identité
Une sous-espèce de la matrice diagonale. Toutes ses valeurs numériques sont des unités. À l'aide d'un seul type de tableaux matriciels, effectuez ses transformations de base ou trouvez une matrice inverse de celle d'origine.
Type canonique
La forme canonique d'une matrice est considérée comme l'une des principales; le moulage est souvent nécessaire pour fonctionner. Le nombre de lignes et de colonnes dans la matrice canonique est différent, il n'appartient pas nécessairement au type carré. Elle est quelque peu similaire à la matrice d'identité, cependant, dans son cas, toutes les composantes de la diagonale principale ne prennent pas une valeur égale à un. Il peut y avoir deux ou quatre unités diagonales principales (tout dépend de la longueur et de la largeur de la matrice). Ou il peut n'y avoir aucune unité (elle est alors considérée comme nulle). Les composants restants du type canonique, ainsi que les éléments de la diagonale et de l'identité, sont égaux à zéro.
Type triangulaire
L'un des types de matrice les plus importants, utilisé lors de la recherche de son déterminant et lors de l'exécution d'opérations simples. Le type triangulaire vient du type diagonal, donc la matrice est également carrée. La vue triangulaire de la matrice est divisée en triangulaire supérieur et triangulaire inférieur.
Dans la matrice triangulaire supérieure (Fig. 1), seuls les éléments situés au-dessus de la diagonale principale prennent une valeur égale à zéro. Les composants de la diagonale elle-même et la partie de la matrice en dessous contiennent des valeurs numériques.
Dans la matrice triangulaire inférieure (Fig. 2), au contraire, les éléments situés dans la partie inférieure de la matrice sont égaux à zéro.
Matrice des étapes
La vue est nécessaire pour trouver le rang d'une matrice, ainsi que pour les opérations élémentaires sur celles-ci (avec le type triangulaire). La matrice d'étapes est ainsi nommée car elle contient des "étapes" caractéristiques de zéros (comme indiqué sur la figure). Dans le type étagé, une diagonale de zéros est formée (pas nécessairement la principale), et tous les éléments sous cette diagonale ont également des valeurs égales à zéro. Une condition préalable est la suivante: s'il y a une ligne zéro dans la matrice d'étape, les lignes restantes en dessous ne contiennent pas non plus de valeurs numériques.
Ainsi, nous avons considéré les types de matrices les plus importants nécessaires pour travailler avec eux. Passons maintenant à la tâche de convertir une matrice dans la forme requise.
Réduire à la forme triangulaire
Comment amener la matrice à une forme triangulaire ? Le plus souvent, dans les devoirs, vous devez convertir une matrice en une forme triangulaire afin de trouver son déterminant, autrement appelé le déterminant. Lors de l'exécution de cette procédure, il est extrêmement important de "préserver" la diagonale principale de la matrice, car le déterminant d'une matrice triangulaire est exactement le produit des composants de sa diagonale principale. Permettez-moi également de vous rappeler des méthodes alternatives pour trouver le déterminant. Le déterminant de type carré est trouvé à l'aide de formules spéciales. Par exemple, vous pouvez utiliser la méthode du triangle. Pour les autres matrices, la méthode de décomposition par ligne, colonne ou leurs éléments est utilisée. Vous pouvez également appliquer la méthode des mineurs et des compléments algébriques de la matrice.
DétailsAnalysons le processus d'amener une matrice à une forme triangulaire en utilisant des exemples de certaines tâches.
Tâche 1
Il est nécessaire de trouver le déterminant de la matrice présentée, en utilisant la méthode de l'amener à une forme triangulaire.
La matrice qui nous est donnée est une matrice carrée du troisième ordre. Par conséquent, pour le transformer en une forme triangulaire, nous devons annuler deux composants de la première colonne et un composant de la seconde.
Pour l'amener à une forme triangulaire, commencez la transformation à partir du coin inférieur gauche de la matrice - à partir du nombre 6. Pour le mettre à zéro, multipliez la première ligne par trois et soustrayez-la de la dernière ligne.
Important ! La ligne du haut ne change pas, mais reste la même que dans la matrice d'origine. Vous n'avez pas besoin d'écrire une chaîne quatre fois supérieure à celle d'origine. Mais les valeurs des chaînes dont les composants doivent être annulés changent constamment.
Ensuite, occupons-nous de la valeur suivante - l'élément de la deuxième rangée de la première colonne, numéro 8. Multipliez la première rangée par quatre et soustrayez-la de la deuxième rangée. Nous obtenons zéro.
Seule la dernière valeur reste - l'élément de la troisième ligne de la deuxième colonne. C'est le nombre (-1). Pour le remettre à zéro, soustrayez la seconde de la première ligne.
Vérifions:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Donc la réponse à la tâche est -22.
Tâche 2
Nous devons trouver le déterminant de la matrice en l'amenant à une forme triangulaire.
Matrice représentéeappartient au type carré et est une matrice du quatrième ordre. Cela signifie que trois composants de la première colonne, deux composants de la deuxième colonne et un composant de la troisième colonne doivent être mis à zéro.
Commençons sa réduction à partir de l'élément situé dans le coin inférieur gauche - à partir du nombre 4. Nous devons mettre ce nombre à zéro. La façon la plus simple de le faire est de multiplier la rangée du haut par quatre, puis de la soustraire de la quatrième rangée. Écrivons le résultat de la première étape de la transformation.
Ainsi, la composante de la quatrième ligne est mise à zéro. Passons au premier élément de la troisième ligne, au chiffre 3. Nous effectuons une opération similaire. Multipliez par trois la première ligne, soustrayez-la de la troisième ligne et écrivez le résultat.
Ensuite, nous voyons le chiffre 2 dans la deuxième ligne. Nous répétons l'opération: multipliez la ligne du haut par deux et soustrayez-la de la seconde.
Nous avons réussi à mettre à zéro toutes les composantes de la première colonne de cette matrice carrée, à l'exception du nombre 1, l'élément de la diagonale principale qui ne nécessite pas de transformation. Maintenant, il est important de conserver les zéros résultants, nous allons donc effectuer des transformations avec des lignes et non des colonnes. Passons à la deuxième colonne de la matrice présentée.
Recommençons par le bas - à partir de l'élément de la deuxième colonne de la dernière ligne. C'est le nombre (-7). Cependant, dans ce cas, il est plus pratique de commencer par le nombre (-1) - l'élément de la deuxième colonne de la troisième rangée. Pour le remettre à zéro, soustrayez la deuxième ligne de la troisième ligne. Ensuite, nous multiplions la deuxième ligne par sept et la soustrayons de la quatrième. Nous avons obtenu zéro au lieu de l'élément situé dans la quatrième ligne de la deuxième colonne. Passons maintenant au troisièmecolonne.
Dans cette colonne, nous devons mettre à zéro un seul chiffre - 4. C'est facile à faire: il suffit d'ajouter le troisième à la dernière ligne et de voir le zéro dont nous avons besoin.
Après toutes les transformations, nous avons amené la matrice proposée à une forme triangulaire. Maintenant, pour trouver son déterminant, il suffit de multiplier les éléments résultants de la diagonale principale. On obtient: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Par conséquent, la solution est le nombre 160.
Donc, maintenant la question d'amener la matrice à une forme triangulaire ne vous rendra pas la tâche difficile.
Réduction à la forme étagée
Dans les opérations élémentaires sur les matrices, la forme étagée est moins "demandée" que la forme triangulaire. Il est le plus souvent utilisé pour trouver le rang d'une matrice (c'est-à-dire le nombre de ses lignes non nulles) ou pour déterminer des lignes linéairement dépendantes et indépendantes. Cependant, la vue matricielle étagée est plus polyvalente, car elle convient non seulement au type carré, mais à tous les autres.
Pour réduire une matrice à une forme échelonnée, vous devez d'abord trouver son déterminant. Pour cela, les méthodes ci-dessus conviennent. Le but de trouver le déterminant est de savoir s'il peut être converti en une matrice d'étape. Si le déterminant est supérieur ou inférieur à zéro, vous pouvez passer à la tâche en toute sécurité. S'il est égal à zéro, cela ne fonctionnera pas pour réduire la matrice à une forme étagée. Dans ce cas, vous devez vérifier s'il y a des erreurs dans l'enregistrement ou dans les transformations matricielles. S'il n'y a pas de telles inexactitudes, la tâche ne peut pas être résolue.
Voyons commentamenez la matrice à une forme étagée en utilisant des exemples de plusieurs tâches.
Tâche 1. Trouver le rang de la table matricielle donnée.
Devant nous se trouve une matrice carrée du troisième ordre (3x3). Nous savons que pour trouver le rang, il est nécessaire de le réduire à une forme étagée. Par conséquent, nous devons d'abord trouver le déterminant de la matrice. En utilisant la méthode du triangle: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Determinant=12. Il est supérieur à zéro, ce qui signifie que la matrice peut être réduite à une forme échelonnée. Commençons ses transformations.
Commençons par l'élément de la colonne de gauche de la troisième ligne - le chiffre 2. Multipliez la ligne du haut par deux et soustrayez-la de la troisième. Grâce à cette opération, l'élément dont nous avons besoin et le nombre 4 - l'élément de la deuxième colonne de la troisième ligne - sont devenus zéro.
Ensuite, mettez à zéro l'élément de la deuxième ligne de la première colonne - le chiffre 3. Pour ce faire, multipliez la ligne du haut par trois et soustrayez-la de la seconde.
Nous voyons que la réduction a donné une matrice triangulaire. Dans notre cas, la transformation ne peut pas être poursuivie, car les composants restants ne peuvent pas être ramenés à zéro.
Donc, nous concluons que le nombre de lignes contenant des valeurs numériques dans cette matrice (ou son rang) est 3. Réponse à la tâche: 3.
Tâche 2. Déterminer le nombre de lignes linéairement indépendantes de cette matrice.
Nous devons trouver des chaînes qui ne peuvent être inversées par aucune transformationà zéro. En fait, nous devons trouver le nombre de lignes non nulles, ou le rang de la matrice représentée. Pour ce faire, simplifions-le.
Nous voyons une matrice qui n'appartient pas au type carré. Il a des dimensions 3x4. Commençons également le casting à partir de l'élément du coin inférieur gauche - le nombre (-1).
Ajouter la première ligne à la troisième. Ensuite, soustrayez-en la seconde pour transformer le chiffre 5 en zéro.
D'autres transformations sont impossibles. Donc, nous concluons que le nombre de lignes linéairement indépendantes et la réponse à la tâche est 3.
Maintenant, amener la matrice à une forme étagée n'est pas une tâche impossible pour vous.
Sur les exemples de ces tâches, nous avons analysé la réduction d'une matrice à une forme triangulaire et une forme étagée. Afin d'annuler les valeurs souhaitées des tableaux matriciels, dans certains cas, il est nécessaire de faire preuve d'imagination et de transformer correctement leurs colonnes ou lignes. Bonne chance en maths et travail avec les matrices !
