Dans cet article, la méthode est considérée comme un moyen de résoudre des systèmes d'équations linéaires (SLAE). La méthode est analytique, c'est-à-dire qu'elle vous permet d'écrire un algorithme de solution général, puis d'y substituer des valeurs d'exemples spécifiques. Contrairement à la méthode matricielle ou aux formules de Cramer, lors de la résolution d'un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode de Gauss, vous pouvez également travailler avec celles qui ont une infinité de solutions. Ou ne l'avez pas du tout.
Qu'est-ce que cela signifie de résoudre par la méthode de Gauss ?
Premièrement, nous devons écrire notre système d'équations sous forme de matrice. Cela ressemble à ceci. Le système est pris:
Les coefficients sont écrits sous la forme d'un tableau et à droite dans une colonne séparée - membres libres. La colonne à membres libres est séparée par commodité par une barre verticale. Une matrice qui inclut cette colonne est appelée étendue.
Ensuite, la matrice principale avec les coefficients doit être réduite à la forme triangulaire supérieure. C'est le point principal de la résolution du système par la méthode de Gauss. En termes simples, après certaines manipulations, la matrice devrait ressembler à ceci, de sorte qu'il n'y ait que des zéros dans sa partie inférieure gauche:
Ensuite, si vous écrivez à nouveau la nouvelle matrice sous la forme d'un système d'équations, vous remarquerez que la dernière ligne contient déjà la valeur d'une des racines, qui est ensuite substituée dans l'équation ci-dessus, une autre racine est trouvée, et ainsi de suite.
Ceci est une description de la solution gaussienne dans les termes les plus généraux. Et que se passe-t-il si tout à coup le système n'a pas de solution ? Ou y en a-t-il une infinité ? Pour répondre à ces questions et à bien d'autres, il est nécessaire de considérer séparément tous les éléments utilisés dans la solution par la méthode de Gauss.
Matrices, leurs propriétés
Il n'y a pas de sens caché dans la matrice. C'est juste un moyen pratique d'enregistrer des données pour des opérations ultérieures. Même les écoliers ne devraient pas en avoir peur.
La matrice est toujours rectangulaire car c'est plus pratique. Même dans la méthode de Gauss, où tout se résume à construire une matrice triangulaire, un rectangle apparaît dans l'entrée, uniquement avec des zéros à l'endroit où il n'y a pas de nombres. Les zéros peuvent être omis, mais ils sont implicites.
La matrice a une taille. Sa "largeur" est le nombre de lignes (m), sa "longueur" est le nombre de colonnes (n). Ensuite, la taille de la matrice A (les lettres latines majuscules sont généralement utilisées pour leur désignation) sera notée Am×n. Si m=n, alors cette matrice est carrée, etm=n - son ordre. Ainsi, tout élément de la matrice A peut être désigné par le numéro de sa ligne et de sa colonne: axy; x - numéro de ligne, modifier [1, m], y - numéro de colonne, modifier [1, n].
Dans la méthode gaussienne, les matrices ne sont pas le point principal de la solution. En principe, toutes les opérations peuvent être effectuées directement avec les équations elles-mêmes, cependant, la notation sera beaucoup plus lourde et il sera beaucoup plus facile de s'y perdre.
Qualificatif
La matrice a aussi un déterminant. C'est une caractéristique très importante. Découvrir sa signification maintenant n'en vaut pas la peine, vous pouvez simplement montrer comment il est calculé, puis dire quelles propriétés de la matrice il détermine. La façon la plus simple de trouver le déterminant est d'utiliser les diagonales. Des diagonales imaginaires sont dessinées dans la matrice; les éléments situés sur chacun d'eux sont multipliés, puis les produits résultants sont ajoutés: diagonales avec une pente vers la droite - avec un signe "plus", avec une pente vers la gauche - avec un signe "moins".
Il est extrêmement important de noter que le déterminant ne peut être calculé que pour une matrice carrée. Pour une matrice rectangulaire, vous pouvez procéder comme suit: choisissez le plus petit du nombre de lignes et du nombre de colonnes (que ce soit k), puis marquez au hasard k colonnes et k lignes dans la matrice. Les éléments situés à l'intersection des colonnes et des lignes sélectionnées formeront une nouvelle matrice carrée. Si le déterminant d'une telle matrice est un nombre autre que zéro, alors on l'appellera le mineur de base de la matrice rectangulaire d'origine.
Avantcomment commencer à résoudre un système d'équations par la méthode de Gauss, cela ne fait pas de mal de calculer le déterminant. S'il s'avère être nul, alors nous pouvons immédiatement dire que la matrice a soit un nombre infini de solutions, soit qu'il n'y en a pas du tout. Dans un cas aussi triste, vous devez aller plus loin et vous renseigner sur le rang de la matrice.
Classification des systèmes
Le rang d'une matrice existe. C'est l'ordre maximum de son déterminant non nul (en se souvenant de la base mineure, on peut dire que le rang d'une matrice est l'ordre de la base mineure).
La façon dont les choses sont avec le rang, SLOW peut être divisé en:
- Joint. Pour les systèmes conjoints, le rang de la matrice principale (constituée uniquement de coefficients) coïncide avec le rang de la matrice étendue (avec une colonne de termes libres). De tels systèmes ont une solution, mais pas nécessairement une, par conséquent, les systèmes conjoints sont en outre divisés en:
- - défini - ayant une solution unique. Dans certains systèmes, le rang de la matrice et le nombre d'inconnues sont égaux (ou le nombre de colonnes, ce qui revient au même);
- - indéfini - avec un nombre infini de solutions. Le rang des matrices dans de tels systèmes est inférieur au nombre d'inconnues.
- Incompatible. Pour de tels systèmes, les rangs des matrices principale et étendue ne correspondent pas. Les systèmes incompatibles n'ont pas de solution.
La méthode de Gauss est bonne car elle permet d'obtenir soit une preuve non ambiguë de l'incohérence du système (sans calculer les déterminants de grandes matrices) soit une solution générale pour un système avec un nombre infini de solutions.
Transformations élémentaires
Avantcomment procéder directement à la solution du système, vous pouvez le rendre moins lourd et plus pratique pour les calculs. Ceci est réalisé par des transformations élémentaires - de sorte que leur mise en œuvre ne change en rien la réponse finale. Il convient de noter que certaines des transformations élémentaires ci-dessus ne sont valables que pour des matrices dont la source était précisément le SLAE. Voici une liste de ces transformations:
- Modifier les chaînes. Il est évident que si nous modifions l'ordre des équations dans l'enregistrement système, cela n'affectera en rien la solution. Par conséquent, il est également possible d'échanger des lignes dans la matrice de ce système, sans oublier, bien sûr, la colonne des membres libres.
- Multiplier tous les éléments d'une chaîne par un certain facteur. Très utile! Avec lui, vous pouvez réduire les grands nombres dans la matrice ou supprimer les zéros. L'ensemble de solutions, comme d'habitude, ne changera pas et il deviendra plus pratique d'effectuer d'autres opérations. L'essentiel est que le coefficient ne soit pas égal à zéro.
- Supprimer les lignes avec des coefficients proportionnels. Cela découle en partie du paragraphe précédent. Si deux lignes ou plus de la matrice ont des coefficients proportionnels, alors en multipliant / divisant l'une des lignes par le coefficient de proportionnalité, deux (ou, encore une fois, plus) lignes absolument identiques sont obtenues, et vous pouvez supprimer les lignes supplémentaires, ne laissant que un.
- Supprimez la ligne nulle. Si, au cours des transformations, une chaîne est obtenue quelque part dans laquelle tous les éléments, y compris le membre libre, sont nuls, alors une telle chaîne peut être appelée zéro et rejetée de la matrice.
- Ajout aux éléments d'une rangée d'éléments d'une autre (seloncolonnes correspondantes) multiplié par un certain coefficient. La transformation la plus obscure et la plus importante de toutes. Cela vaut la peine de s'y attarder plus en détail.
Ajouter une chaîne multipliée par un facteur
Pour faciliter la compréhension, il vaut la peine de démonter ce processus étape par étape. Deux lignes sont extraites de la matrice:
a11 a12 … a1n | b1
a21 a22 … a2n | b2
Disons que vous devez ajouter le premier multiplié par le coefficient "-2" au second.
a'21 =a21 + -2×a11
a'22 =a22 + -2×a12
a'2n =a2n + -2×a1n
Ensuite, la deuxième ligne de la matrice est remplacée par une nouvelle, tandis que la première reste inchangée.
a11 a12 … a1n | b1
a'21 a'22 … a'2n | b2
Il convient de noter que le facteur de multiplication peut être choisi de manière à ce que, suite à l'ajout de deux chaînes, l'un des éléments de la nouvelle chaîne soit égal à zéro. Par conséquent, il est possible d'obtenir une équation dans le système, où il y aura une inconnue de moins. Et si vous obtenez deux de ces équations, alors l'opération peut être refaite et obtenir une équation qui contiendra déjà deux inconnues de moins. Et si à chaque fois nous nous tournons vers zéro un coefficient pour toutes les lignes inférieures à celle d'origine, alors nous pouvons, comme les étapes, descendre tout en bas de la matrice et obtenir une équation avec une inconnue. C'est appelérésoudre le système en utilisant la méthode de Gauss.
Généralement
Qu'il y ait un système. Il a m équations et n racines inconnues. Vous pouvez l'écrire comme ceci:
La matrice principale est compilée à partir des coefficients du système. Une colonne de membres libres est ajoutée à la matrice développée et séparée par une barre pour plus de commodité.
Suivant:
- la première ligne de la matrice est multipliée par le coefficient k=(-a21/a11);
- la première ligne modifiée et la deuxième ligne de la matrice sont ajoutées;
- au lieu de la deuxième ligne, le résultat de l'addition du paragraphe précédent est inséré dans la matrice;
- maintenant le premier coefficient de la nouvelle seconde ligne est a11 × (-a21/a11) + a21 =-a21 + a21=0.
Maintenant, la même série de transformations est effectuée, seules les première et troisième lignes sont impliquées. Ainsi, à chaque étape de l'algorithme, l'élément a21 est remplacé par a31. Ensuite, tout se répète pour a41, … am1. Le résultat est une matrice où le premier élément des lignes [2, m] est égal à zéro. Maintenant, vous devez oublier la ligne numéro un et effectuer le même algorithme à partir de la deuxième ligne:
- k coefficient=(-a32/a22);
- la deuxième ligne modifiée est ajoutée à la ligne "courante";
- le résultat de l'addition est substitué dans les troisième, quatrième et ainsi de suite, tandis que la première et la deuxième restent inchangées;
- dans les lignes [3, m] de la matrice, les deux premiers éléments sont déjà égaux à zéro.
L'algorithme doit être répété jusqu'à ce que le coefficient k=(-am, m-1/amm apparaisse). Cela signifie que l'algorithme a été exécuté pour la dernière fois uniquement pour l'équation inférieure. Maintenant, la matrice ressemble à un triangle ou a une forme étagée. La ligne du bas contient l'équation amn × x =bm. Le coefficient et le terme libre sont connus, et la racine s'exprime par eux: x =bm/amn. La racine résultante est remplacée dans la ligne du haut pour trouver xn-1=(bm-1 - am-1, n×(bm/amn))÷am-1, n-1. Et ainsi de suite par analogie: à chaque ligne suivante, il y a une nouvelle racine, et, ayant atteint le "sommet" du système, on peut trouver un ensemble de solutions [x1, … x ]. Ce sera le seul.
Quand il n'y a pas de solutions
Si dans l'une des lignes de la matrice, tous les éléments, à l'exception du terme libre, sont égaux à zéro, alors l'équation correspondant à cette ligne ressemble à 0=b. Il n'a pas de solution. Et puisqu'une telle équation est incluse dans le système, alors l'ensemble des solutions du système entier est vide, c'est-à-dire qu'il est dégénéré.
Quand il y a un nombre infini de solutions
Il peut s'avérer que dans la matrice triangulaire réduite, il n'y a pas de lignes avec un élément - le coefficient de l'équation, et un - un membre libre. Il n'y a que des chaînes qui, une fois réécrites, ressembleraient à une équation à deux variables ou plus. Cela signifie que le système a un nombre infini de solutions. Dans ce cas, la réponse peut être donnée sous la forme d'une solution générale. Comment faire ?
Tousles variables de la matrice sont divisées en basic et free. De base - ce sont ceux qui se tiennent "sur le bord" des lignes de la matrice étagée. Le reste est gratuit. Dans la solution générale, les variables de base sont écrites en fonction des variables libres.
Pour plus de commodité, la matrice est d'abord réécrite dans un système d'équations. Ensuite, dans le dernier d'entre eux, où il ne restait exactement qu'une seule variable de base, elle reste d'un côté et tout le reste est transféré de l'autre. Ceci est fait pour chaque équation avec une variable de base. Ensuite, dans le reste des équations, si possible, au lieu de la variable de base, l'expression obtenue pour celle-ci est substituée. Si le résultat est à nouveau une expression ne contenant qu'une seule variable de base, elle est à nouveau exprimée à partir de là, et ainsi de suite, jusqu'à ce que chaque variable de base soit écrite sous la forme d'une expression à variables libres. C'est la solution générale de SLAE.
Vous pouvez également trouver la solution de base du système - donnez aux variables libres n'importe quelle valeur, puis calculez les valeurs des variables de base pour ce cas particulier. Il existe une infinité de solutions particulières.
Solution avec des exemples spécifiques
Voici un système d'équations.
Pour plus de commodité, mieux vaut faire sa matrice tout de suite
On sait que lors d'une résolution par la méthode de Gauss, l'équation correspondant à la première ligne restera inchangée à la fin des transformations. Par conséquent, il sera plus rentable si l'élément supérieur gauche de la matrice est le plus petit - puis les premiers élémentsle reste des lignes après les opérations deviendra zéro. Cela signifie que dans la matrice compilée, il sera avantageux de mettre la deuxième ligne à la place de la première.
Ensuite, vous devez modifier les deuxième et troisième lignes pour que les premiers éléments deviennent zéro. Pour cela, additionnez-les au premier, multiplié par un coefficient:
deuxième ligne: k=(-a21/a11)=(-3/1)=-3
a'21 =a21 + k×a11=3 + (-3)×1=0
a'22 =a22 + k×a12 =-1 + (- 3)×2=-7
a'23 =a23 + k×a13 =1 + (-3)×4=-11
b'2 =b2 + k×b1=12 + (-3)×12=-24
troisième ligne: k=(-a31/a11)=(- 5/1)=-5
a'31 =un31+ k×a11=5 + (-5)×1=0
a'32 =a32+ k×a12 =1 + (-5)×2=-9
a'33 =a33 + k×a13 =2 + (-5)×4=-18
b'3=b3 + k×b1=3 + (-5)×12=-57
Maintenant, pour ne pas vous tromper, vous devez écrire une matrice avec les résultats intermédiaires des transformations.
De toute évidence, une telle matrice peut être rendue plus lisible à l'aide de certaines opérations. Par exemple, vous pouvez supprimer tous les "moins" de la deuxième ligne en multipliant chaque élément par "-1".
Il convient également de noter que dans la troisième ligne, tous les éléments sont des multiples de trois. Ensuite vous pouvezcouper la chaîne par ce nombre, en multipliant chaque élément par "-1/3" (moins - en même temps pour supprimer les valeurs négatives).
C'est beaucoup plus joli. Maintenant, nous devons laisser la première ligne et travailler avec la deuxième et la troisième. La tâche consiste à ajouter la deuxième ligne à la troisième ligne, multipliée par un facteur tel que l'élément a32 devient zéro.
k=(-a32/a22)=(-3/7)=-3/7 (si lors de certaines transformations dans la réponse qui s'est avérée ne pas être un nombre entier, il est recommandé de la laisser «telle quelle», sous la forme d'une fraction ordinaire, et alors seulement, lorsque les réponses sont reçues, décidez d'arrondir et de convertir en une autre forme de notation)
a'32=a32 + k×a22=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0
a'33=a33 + k×a23=6 + (-3 /7)×11=-9/7
b'3 =b3 + k×b2=19 + (-3 /7)×24=-61/7
La matrice est réécrite avec de nouvelles valeurs.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Comme vous pouvez le voir, la matrice résultante a déjà une forme étagée. Par conséquent, d'autres transformations du système par la méthode de Gauss ne sont pas nécessaires. Ce qui peut être fait ici est de supprimer le coefficient global "-1/7" de la troisième ligne.
Maintenant tout le mondejoli. Le point est petit - écrivez à nouveau la matrice sous la forme d'un système d'équations et calculez les racines
x + 2y + 4z=12 (1)
7y + 11z=24 (2)
9z=61 (3)
L'algorithme par lequel les racines seront maintenant trouvées est appelé le mouvement inverse dans la méthode de Gauss. L'équation (3) contient la valeur z:
z=61/9
Ensuite, revenez à la deuxième équation:
y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9
Et la première équation permet de trouver x:
x=(12 - 4z - 2y)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3
Nous avons le droit d'appeler un tel système conjoint, et même défini, c'est-à-dire ayant une solution unique. La réponse s'écrit sous la forme suivante:
x1=-2/3, y=-65/9, z=61/9.
Exemple de système indéfini
La variante de résolution d'un certain système par la méthode de Gauss a été analysée, il faut maintenant considérer le cas si le système est indéfini, c'est-à-dire qu'une infinité de solutions peuvent être trouvées pour celui-ci.
x1 + x2 + x3 + x 4+ x5=7 (1)
3x1 + 2x2 + x3 + x 4 - 3x5=-2 (2)
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x 5 =23 (3)
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x 4 - x5=12 (4)
La forme même du système est déjà alarmante, car le nombre d'inconnues est n=5, et le rang de la matrice du système est déjà exactement inférieur à ce nombre, car le nombre de lignes est m=4, c'est-à-dire que le plus grand ordre du déterminant carré est 4. Ainsi,Il existe une infinité de solutions, et il faut chercher sa forme générale. La méthode de Gauss pour les équations linéaires vous permet de le faire.
D'abord, comme d'habitude, la matrice augmentée est compilée.
Deuxième ligne: coefficient k=(-a21/a11)=-3. Dans la troisième ligne, le premier élément est avant les transformations, vous n'avez donc pas besoin de toucher à quoi que ce soit, vous devez le laisser tel quel. Quatrième ligne: k=(-a41/a11)=-5
En multipliant les éléments de la première ligne par chacun de leurs coefficients tour à tour et en les ajoutant aux lignes requises, on obtient une matrice de la forme suivante:
Comme vous pouvez le voir, les deuxième, troisième et quatrième lignes sont constituées d'éléments proportionnels les uns aux autres. Le deuxième et le quatrième sont généralement les mêmes, donc l'un d'eux peut être supprimé immédiatement, et le reste multiplié par le coefficient "-1" et obtenir le numéro de ligne 3. Et encore une fois, laissez l'une des deux lignes identiques.
Le résultat est une telle matrice. Le système n'a pas encore été écrit, il est nécessaire ici de déterminer les variables de base - se tenant aux coefficients a11=1 et a22=1, et gratuit - tout le reste.
Il n'y a qu'une seule variable de base dans la deuxième équation - x2. Par conséquent, il peut être exprimé à partir de là, en écrivant à travers les variables x3, x4, x5, qui sont gratuits.
Remplacer l'expression résultante dans la première équation.
Il s'est avéré une équation dans laquellela seule variable de base est x1. Faisons-en la même chose qu'avec x2.
Toutes les variables de base, dont il y en a deux, sont exprimées en termes de trois variables libres, maintenant vous pouvez écrire la réponse sous une forme générale.
Vous pouvez également spécifier l'une des solutions particulières du système. Dans de tels cas, en règle générale, les zéros sont choisis comme valeurs pour les variables libres. Alors la réponse sera:
-16, 23, 0, 0, 0.
Un exemple de système incohérent
La résolution de systèmes d'équations incohérents par la méthode de Gauss est la plus rapide. Elle se termine dès qu'à l'une des étapes on obtient une équation qui n'a pas de solution. C'est-à-dire que l'étape avec le calcul des racines, qui est assez longue et morne, disparaît. Le système suivant est envisagé:
x + y - z=0 (1)
2x - y - z=-2 (2)
4x + y - 3z=5 (3)
Comme d'habitude, la matrice est compilée:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Et réduit à une forme étagée:
k1 =-2k2 =-4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Après la première transformation, la troisième ligne contient une équation de la forme
0=7, aucune solution. Par conséquent, le systèmeest incohérent, et la réponse est l'ensemble vide.
Avantages et inconvénients de la méthode
Si vous choisissez la méthode pour résoudre SLAE sur papier avec un stylo, la méthode considérée dans cet article semble la plus attrayante. Dans les transformations élémentaires, il est beaucoup plus difficile de s'embrouiller que si vous devez rechercher manuellement le déterminant ou une matrice inverse délicate. Cependant, si vous utilisez des programmes pour travailler avec des données de ce type, par exemple des feuilles de calcul, il s'avère que ces programmes contiennent déjà des algorithmes pour calculer les principaux paramètres des matrices - le déterminant, les mineurs, les matrices inverses et transposées, etc.. Et si vous êtes sûr que la machine calculera ces valeurs elle-même et ne se trompera pas, il est plus judicieux d'utiliser la méthode matricielle ou les formules de Cramer, car leur application commence et se termine par le calcul des déterminants et des matrices inverses.
Demande
Étant donné que la solution gaussienne est un algorithme et que la matrice est, en fait, un tableau à deux dimensions, elle peut être utilisée en programmation. Mais puisque l'article se positionne comme un guide "pour les nuls", il faut dire que l'endroit le plus simple pour mettre la méthode, ce sont les tableurs, par exemple Excel. Là encore, tout SLAE saisi dans un tableau sous forme de matrice sera considéré par Excel comme un tableau à deux dimensions. Et pour les opérations avec eux, il existe de nombreuses commandes intéressantes: addition (vous ne pouvez ajouter que des matrices de même taille !), Multiplication par un nombre, multiplication de matrices (également aveccertaines restrictions), trouver les matrices inverses et transposées et, surtout, calculer le déterminant. Si cette tâche chronophage est remplacée par une seule commande, il est beaucoup plus rapide de déterminer le rang d'une matrice et donc d'établir sa compatibilité ou son incohérence.
