Le progrès de l'humanité est en grande partie dû aux découvertes faites par des génies. L'un d'eux est Blaise Pascal. Sa biographie créative confirme une fois de plus la vérité de l'expression de Lion Feuchtwanger "Une personne talentueuse, talentueuse en tout". Toutes les réalisations scientifiques de ce grand scientifique sont difficiles à compter. Parmi eux se trouve l'une des inventions les plus élégantes du monde des mathématiques - le triangle de Pascal.
Quelques mots sur le génie
Blaise Pascal est décédé prématurément selon les normes modernes, à l'âge de 39 ans. Cependant, dans sa courte vie, il s'est distingué comme un physicien, mathématicien, philosophe et écrivain exceptionnel. Des descendants reconnaissants ont nommé l'unité de pression et le langage de programmation populaire Pascal en son honneur. Il est utilisé depuis près de 60 ans pour apprendre à écrire divers codes. Par exemple, avec son aide, chaque élève peut écrire un programme pour calculer l'aire d'un triangle en Pascal, ainsi qu'explorer les propriétés du circuit, à propos dequi sera discuté ci-dessous.
L'activité de ce scientifique à la pensée extraordinaire couvre une grande variété de domaines scientifiques. En particulier, Blaise Pascal est l'un des fondateurs de l'hydrostatique, de l'analyse mathématique, de certains domaines de la géométrie et de la théorie des probabilités. Aussi, il:
- créé une calculatrice mécanique connue sous le nom de roue de Pascal;
- a fourni des preuves expérimentales que l'air a de l'élasticité et du poids;
- a établi qu'un baromètre peut être utilisé pour prédire le temps;
- a inventé la brouette;
- a inventé l'omnibus - des calèches à itinéraires fixes, qui sont devenues plus tard le premier type de transport public régulier, etc.
Le triangle arithmétique de Pascal
Comme déjà mentionné, ce grand scientifique français a apporté une énorme contribution à la science mathématique. L'un de ses chefs-d'œuvre scientifiques absolus est le "Traité sur le triangle arithmétique", qui consiste en des coefficients binomiaux disposés dans un certain ordre. Les propriétés de ce schéma frappent par leur diversité, et il confirme lui-même le proverbe "Tout ingénieux est simple!".
Un peu d'histoire
Pour être juste, il faut dire qu'en fait le triangle de Pascal était connu en Europe dès le début du XVIe siècle. En particulier, son image peut être vue sur la couverture d'un manuel d'arithmétique du célèbre astronome Peter Apian de l'Université d'Ingolstadt. Un triangle similaire est également représenté à titre d'illustration.dans un livre du mathématicien chinois Yang Hui, publié en 1303. Le remarquable poète et philosophe persan Omar Khayyam était également conscient de ses propriétés au début du XIIe siècle. De plus, on pense qu'il l'a rencontré à partir des traités de scientifiques arabes et indiens écrits plus tôt.
Description
Avant d'explorer les propriétés les plus intéressantes du triangle de Pascal, beau dans sa perfection et sa simplicité, il vaut la peine de savoir ce que c'est.
Scientifiquement parlant, ce schéma numérique est un tableau triangulaire sans fin formé de coefficients binomiaux disposés dans un certain ordre. En haut et sur les côtés se trouvent les chiffres 1. Les positions restantes sont occupées par des nombres égaux à la somme des deux nombres situés au-dessus d'eux à côté de l'autre. De plus, toutes les droites du triangle de Pascal sont symétriques par rapport à son axe vertical.
Caractéristiques de base
Le triangle de Pascal frappe par sa perfection. Pour toute ligne numérotée n (n=0, 1, 2…) vrai:
- le premier et le dernier chiffre sont 1;
- deuxième et avant-dernière - n;
- le troisième nombre est égal au nombre triangulaire (le nombre de cercles pouvant être disposés en triangle équilatéral, c'est-à-dire 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Le quatrième nombre est tétraédrique, c'est-à-dire qu'il s'agit d'une pyramide avec un triangle à la base.
De plus, relativement récemment, en 1972, une autre propriété du triangle de Pascal a été établie. Pour luipour le savoir, vous devez écrire les éléments de ce schéma sous la forme d'un tableau avec un décalage de ligne de 2 positions. Notez ensuite les nombres divisibles par le numéro de ligne. Il s'avère que le numéro de la colonne dans laquelle tous les nombres sont mis en évidence est un nombre premier.
Le même tour peut être fait d'une autre manière. Pour ce faire, dans le triangle de Pascal, les nombres sont remplacés par les restes de leur division par le numéro de ligne du tableau. Ensuite, les lignes sont disposées dans le triangle résultant de sorte que la suivante commence 2 colonnes à droite du premier élément de la précédente. Ensuite, les colonnes avec des nombres premiers ne seront composées que de zéros, et celles avec des nombres composés contiendront au moins un zéro.
Connexion avec le binôme de Newton
Comme vous le savez, c'est le nom de la formule pour le développement en termes d'une puissance entière non négative de la somme de deux variables, qui ressemble à:
Les coefficients qui y sont présents sont égaux à C m =n ! / (m! (n - m)!), où m est le nombre ordinal de la ligne n du triangle de Pascal. En d'autres termes, ayant ce tableau à portée de main, vous pouvez facilement élever n'importe quel nombre à une puissance, après l'avoir préalablement décomposé en deux termes.
Ainsi, le triangle de Pascal et le binôme de Newton sont étroitement liés.
Math Wonders
Un examen attentif du triangle de Pascal révèle que:
- la somme de tous les nombres de la ligne avecle numéro de série n (à partir de 0) est 2;
- si les lignes sont alignées à gauche, alors les sommes des nombres situés le long des diagonales du triangle de Pascal, de bas en haut et de gauche à droite, sont égales aux nombres de Fibonacci;
- la première "diagonale" est constituée de nombres naturels dans l'ordre;
- tout élément du triangle de Pascal, réduit de un, est égal à la somme de tous les nombres situés à l'intérieur du parallélogramme, qui est limité par les diagonales gauche et droite se coupant sur ce nombre;
- dans chaque ligne du diagramme, la somme des nombres aux endroits pairs est égale à la somme des éléments aux endroits impairs.
Triangle de Sierpinski
Un tel schéma mathématique intéressant, assez prometteur en termes de résolution de problèmes complexes, est obtenu en colorant les nombres pairs de l'image de Pascal d'une couleur et les nombres impairs d'une autre.
Le triangle de Sierpinski peut être construit d'une autre manière:
- dans le schéma Pascal ombré, le triangle du milieu est repeint dans une couleur différente, qui est formée en reliant les points médians des côtés de celui d'origine;
- faites exactement la même chose avec trois non peintes situées dans les coins;
- si la procédure se poursuit indéfiniment, le résultat doit être un chiffre bicolore.
La propriété la plus intéressante du triangle de Sierpinski est son auto-similitude, puisqu'il se compose de 3 de ses copies, qui sont réduites de 2 fois. Cela nous permet d'attribuer ce schéma à des courbes fractales, et elles, comme le montrent les dernièresla recherche est la mieux adaptée à la modélisation mathématique des nuages, des plantes, des deltas des rivières et de l'univers lui-même.
Plusieurs tâches intéressantes
Où est utilisé le triangle de Pascal ? Les exemples de tâches qui peuvent être résolues avec son aide sont assez divers et appartiennent à divers domaines scientifiques. Jetons un coup d'œil à certains des plus intéressants.
Problème 1. Certaines grandes villes entourées d'un mur de forteresse n'ont qu'une seule porte d'entrée. A la première intersection, la route principale se sépare en deux. La même chose se produit sur n'importe quel autre. 210 personnes entrent dans la ville. A chacune des intersections qu'ils rencontrent, ils sont divisés en deux. Combien de personnes se retrouveront à chaque carrefour quand il ne sera plus possible de partager. Sa réponse est la ligne 10 du triangle de Pascal (la formule du coefficient est présentée ci-dessus), où les nombres 210 sont situés de part et d'autre de l'axe vertical.
Tâche 2. Il y a 7 noms de couleurs. Vous devez faire un bouquet de 3 fleurs. Il est nécessaire de savoir de combien de manières différentes cela peut être fait. Ce problème est du domaine de la combinatoire. Pour le résoudre, nous utilisons à nouveau le triangle de Pascal et obtenons sur la 7ème ligne en troisième position (numérotation dans les deux cas à partir de 0) le nombre 35.
Vous savez maintenant ce que le grand philosophe et scientifique français Blaise Pascal a inventé. Son fameux triangle, lorsqu'il est utilisé correctement, peut devenir une véritable bouée de sauvetage pour résoudre de nombreux problèmes, notamment sur le terrain.combinatoire. De plus, il peut être utilisé pour résoudre de nombreux mystères liés aux fractales.
