La géométrie est belle car, contrairement à l'algèbre, où l'on ne sait pas toujours ce que l'on pense et pourquoi, elle donne de la visibilité à l'objet. Ce monde merveilleux aux corps variés est décoré de polyèdres réguliers.
Informations générales sur les polyèdres réguliers
Selon beaucoup, les polyèdres réguliers, ou comme on les appelle aussi solides de Platon, ont des propriétés uniques. Plusieurs hypothèses scientifiques sont associées à ces objets. Lorsque vous commencez à étudier ces corps géométriques, vous comprenez que vous ne savez pratiquement rien d'un concept tel que les polyèdres réguliers. La présentation de ces objets à l'école n'est pas toujours intéressante, c'est pourquoi beaucoup ne se souviennent même pas de leur nom. La plupart des gens ne se souviennent que du cube. Aucun des corps en géométrie n'est aussi parfait que les polyèdres réguliers. Tous les noms de ces corps géométriques proviennent de la Grèce antique. Ils signifient le nombre de faces: tétraèdre - à quatre côtés, hexaèdre - à six côtés, octaèdre - octaèdre, dodécaèdre - à douze côtés, icosaèdre - à vingt côtés. Tous ces corps géométriquesoccupe une place importante dans la conception platonicienne de l'univers. Quatre d'entre eux personnifiaient les éléments ou entités: le tétraèdre - feu, l'icosaèdre - eau, le cube - terre, l'octaèdre - air. Le dodécaèdre incarnait tout ce qui existe. Il était considéré comme le principal, car c'était un symbole de l'univers.
Généralisation du concept de polyèdre
Un polyèdre est un ensemble d'un nombre fini de polygones tel que:
- chacun des côtés de l'un des polygones est en même temps le côté d'un seul autre polygone du même côté;
- de chacun des polygones, vous pouvez accéder aux autres en passant par les polygones qui lui sont adjacents.
Les polygones qui composent un polyèdre sont ses faces et leurs côtés sont des arêtes. Les sommets des polyèdres sont les sommets des polygones. Si le concept de polygone est compris comme des lignes brisées fermées plates, alors on arrive à une définition d'un polyèdre. Dans le cas où cette notion désigne une partie du plan limitée par des lignes brisées, il faut alors comprendre une surface constituée de pièces polygonales. Un polyèdre convexe est un corps situé sur un côté d'un plan adjacent à sa face.
Une autre définition d'un polyèdre et de ses éléments
Un polyèdre est une surface composée de polygones qui délimite un corps géométrique. Ce sont:
- non convexe;
- convexe (correct et incorrect).
Un polyèdre régulier est un polyèdre convexe à symétrie maximale. Éléments de polyèdres réguliers:
- tétraèdre: 6 arêtes, 4 faces, 5 sommets;
- hexaèdre (cube): 12, 6, 8;
- dodécaèdre: 30, 12, 20;
- octaèdre: 12, 8, 6;
- icosaèdre: 30, 20, 12.
Théorème d'Euler
Il établit une relation entre le nombre d'arêtes, de sommets et de faces topologiquement équivalentes à une sphère. En additionnant le nombre de sommets et de faces (B + D) de divers polyèdres réguliers et en les comparant au nombre d'arêtes, un modèle peut être établi: la somme du nombre de faces et de sommets est égale au nombre d'arêtes (P) augmenté par 2. Vous pouvez dériver une formule simple:
B + D=R + 2
Cette formule est vraie pour tous les polyèdres convexes.
Définitions de base
Le concept de polyèdre régulier ne peut pas être décrit en une phrase. Il est plus significatif et volumineux. Pour qu'un organisme soit reconnu comme tel, il doit répondre à un certain nombre de définitions. Ainsi, un corps géométrique sera un polyèdre régulier si les conditions suivantes sont remplies:
- c'est convexe;
- le même nombre d'arêtes convergent à chacun de ses sommets;
- toutes ses faces sont des polygones réguliers, égaux entre eux;
- tous ses angles dièdres sont égaux.
Propriétés des polyèdres réguliers
Il existe 5 types différents de polyèdres réguliers:
- Cube (hexaèdre) - il a un angle plat au sommet de 90°. Il a un angle à 3 côtés. La somme des angles plats au sommet est de 270°.
- Tétraèdre - angle plat en haut - 60°. Il a un angle à 3 côtés. La somme des angles plats au sommet est de 180°.
- Octaèdre - angle de sommet plat - 60°. Il a un coin à 4 côtés. La somme des angles plats au sommet est de 240°.
- Dodécaèdre - angle plat au sommet 108°. Il a un angle à 3 côtés. La somme des angles plats au sommet est de 324°.
- Icosaèdre - il a un angle plat au sommet - 60°. Il a un angle à 5 côtés. La somme des angles plats au sommet est de 300°.
Aire de polyèdres réguliers
La surface de ces corps géométriques (S) est calculée comme la surface d'un polygone régulier multipliée par le nombre de ses faces (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
Le volume d'un polyèdre régulier
Cette valeur est calculée en multipliant le volume d'une pyramide régulière, à la base de laquelle se trouve un polygone régulier, par le nombre de faces, et sa hauteur est le rayon de la sphère inscrite (r):
V=1: 3rS
Volumes de polyèdres réguliers
Comme tout autre corps géométrique, les polyèdres réguliers ont des volumes différents. Vous trouverez ci-dessous les formules par lesquelles vous pouvez les calculer:
- tétraèdre: α x 3√2: 12;
- octaèdre: α x 3√2: 3;
- icosaèdre; α x 3;
- hexaèdre (cube): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- dodécaèdre: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Éléments de polyèdres réguliers
L'hexaèdre et l'octaèdre sont des corps géométriques duaux. En d'autres termes, ils peuvent être obtenus les uns des autres si le centre de gravité de la face de l'un est pris comme sommet de l'autre, et vice versa. L'icosaèdre et le dodécaèdre sont également duels. Seul le tétraèdre est double à lui-même. Selon la méthode d'Euclide, vous pouvez obtenir un dodécaèdre à partir d'un hexaèdre en construisant des "toits" sur les faces d'un cube. Les sommets d'un tétraèdre seront 4 sommets d'un cube qui ne sont pas adjacents par paires le long d'une arête. À partir de l'hexaèdre (cube), vous pouvez obtenir d'autres polyèdres réguliers. Malgré le fait qu'il existe d'innombrables polygones réguliers, il n'y a que 5 polyèdres réguliers.
Rayon des polygones réguliers
Il y a 3 sphères concentriques associées à chacun de ces corps géométriques:
- décrit, en passant par ses sommets;
- inscrit, touchant chacune de ses faces en son centre;
- médiane, touchant tous les bords au milieu.
Le rayon de la sphère décrite est calculé par la formule suivante:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
Le rayon d'une sphère inscrite est calculé par la formule:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
où θ est l'angle dièdre entre les faces adjacentes.
Le rayon de la sphère médiane peut être calculé à l'aide de la formule suivante:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/h,
où h valeur=4, 6, 6, 10 ou 10. Le rapport des rayons circonscrits et inscrits est symétrique par rapport à p et q. Cecalculé par la formule:
R/r=tg π/p x tg π/q
Symétrie des polyèdres
La symétrie des polyèdres réguliers suscite l'intérêt principal de ces corps géométriques. On entend par là un mouvement du corps dans l'espace, qui laisse le même nombre de sommets, de faces et d'arêtes. Autrement dit, sous l'effet d'une transformation de symétrie, une arête, un sommet, une face soit conserve sa position d'origine, soit se déplace vers la position d'origine d'une autre arête, sommet ou face.
Les éléments de symétrie des polyèdres réguliers sont caractéristiques de tous les types de tels corps géométriques. On parle ici d'une transformation identique qui laisse n'importe lequel des points dans sa position d'origine. Ainsi, lorsque vous faites pivoter un prisme polygonal, vous pouvez obtenir plusieurs symétries. N'importe lequel d'entre eux peut être représenté comme un produit de réflexions. Une symétrie qui est le produit d'un nombre pair de réflexions est appelée une droite. S'il est le produit d'un nombre impair de réflexions, il est dit inverse. Ainsi, toutes les rotations autour d'une ligne sont une symétrie directe. Toute réflexion d'un polyèdre est une symétrie inverse.
Pour mieux comprendre les éléments de symétrie des polyèdres réguliers, on peut prendre l'exemple d'un tétraèdre. Toute droite qui passera par l'un des sommets et le centre de cette figure géométrique passera également par le centre de la face qui lui est opposée. Chacun des virages à 120° et 240° autour de la ligne est pluriel.symétrie du tétraèdre. Comme il a 4 sommets et 4 faces, il n'y a que huit symétries directes. L'une quelconque des lignes passant par le milieu du bord et le centre de ce corps passe par le milieu de son bord opposé. Toute rotation de 180°, appelée demi-tour, autour d'une droite est une symétrie. Puisque le tétraèdre a trois paires d'arêtes, il existe trois autres symétries directes. Sur la base de ce qui précède, nous pouvons conclure que le nombre total de symétries directes, y compris la transformation identique, atteindra douze. Le tétraèdre n'a pas d'autres symétries directes, mais il a 12 symétries inverses. Par conséquent, le tétraèdre est caractérisé par un total de 24 symétries. Pour plus de clarté, vous pouvez construire un modèle de tétraèdre régulier à partir de carton et vous assurer que ce corps géométrique n'a vraiment que 24 symétries.
Le dodécaèdre et l'icosaèdre sont les plus proches de la sphère du corps. L'icosaèdre a le plus grand nombre de faces, le plus grand angle dièdre et peut être le plus étroitement pressé contre une sphère inscrite. Le dodécaèdre a le plus petit défaut angulaire, le plus grand angle solide au sommet. Il peut remplir sa sphère décrite au maximum.
Balayages de polyèdres
Les polyèdres réguliers non emballés, que nous avons tous collés ensemble dans l'enfance, ont de nombreux concepts. S'il existe une collection de polygones dont chaque côté est identifié avec un seul côté du polyèdre, alors l'identification des côtés doit répondre à deux conditions:
- de chaque polygone, vous pouvez parcourir les polygones qui ontcôté identifié;
- les côtés identifiés doivent avoir la même longueur.
C'est l'ensemble des polygones qui satisfont ces conditions qu'on appelle le développement du polyèdre. Chacun de ces corps en possède plusieurs. Ainsi, par exemple, un cube en a 11.
