Le paradoxe de la théorie des choix publics a été décrit pour la première fois par le marquis Condorcet en 1785, qui a été généralisé avec succès dans les années 50 du siècle dernier par l'économiste américain K. Arrow. Le théorème d'Arrow répond à une question très simple de la théorie de la décision collective. Disons qu'il y a plusieurs choix en politique, dans les projets publics ou dans la répartition des revenus, et qu'il y a des gens dont les préférences déterminent ces choix.
La question est de savoir quelles procédures existent pour déterminer qualitativement le choix. Et comment apprendre les préférences, l'ordonnancement collectif ou social des alternatives, du meilleur au pire. La réponse d'Arrow à cette question en a surpris plus d'un.
Le théorème d'Arrow dit qu'il n'y a pas du tout de telles procédures - en tout cas, elles ne correspondent pas à des préférences certaines et tout à fait raisonnables des gens. Le cadre technique d'Arrow, dans lequel il a donné un sens clair au problème du contrat social, et sa réponse rigoureuse sont maintenant largement utilisés pour étudier les problèmes d'économie sociale. Le théorème lui-même a formé la base de la théorie moderne des choix publics.
Théorie du choix public
Le théorème d'Arrow montre que si les électeurs ont au moins trois alternatives, alors il n'y a pas de système électoral qui pourrait transformer le choix des individus en opinion publique.
La déclaration choquante est venue de l'économiste et lauréat du prix Nobel Kenneth Joseph Arrow, qui a démontré ce paradoxe dans sa thèse de doctorat et l'a popularisé dans son livre de 1951 Choix social et valeurs individuelles. Le titre de l'article original est "Difficultés du concept de sécurité sociale".
Le théorème d'Arrow stipule qu'il est impossible de concevoir un système électoral ordonné qui réponde toujours à des critères équitables:
- Lorsqu'un électeur choisit l' alternative X plutôt que Y, alors la communauté des électeurs préférera X à Y. Si les choix de chacun des électeurs X et Y restent inchangés, alors le choix de la société X et Y sera le même si les électeurs choisissent d'autres paires de X et Z, Y et Z, ou Z et W.
- Il n'y a pas de "dictateur de choix" car un électeur ne peut pas influencer le choix d'un groupe.
- Les systèmes électoraux existants ne couvrent pas les exigences requises car ils fournissent plus d'informations que le rang ordinal.
Systèmes étatiques de gestion sociale
Bien que l'économiste américain Kenneth Arrow ait reçu le prix Nobel d'économie, le travail a été plus utile pour le développement des sciences sociales, puisque le "théorème d'impossibilité" d'Arrow a marqué le début d'une toute nouvelle direction en économie - le choix social. Cette industrie tente d'analyser mathématiquement l'adoption de décisions communes, notamment dans le domaine des systèmes publics de gestion sociale.
Le choix, c'est la démocratie en action. Les gens vont aux urnes et expriment leurs préférences, et en fin de compte, les préférences de nombreuses personnes doivent se rejoindre pour prendre une décision commune. C'est pourquoi le choix du mode de scrutin est très important. Mais y a-t-il vraiment un vote parfait ? D'après les résultats de la théorie d'Arrow, obtenus en 1950, la réponse est non. Si « idéal » signifie une méthode de vote préférentielle qui répond aux critères définis par les méthodes de vote raisonnables.
La méthode de vote préférée est le classement, où les électeurs évaluent tous les candidats en fonction de leurs préférences, et sur la base de ces évaluations, le résultat est: une autre liste de tous les candidats à soumettre par la volonté commune du peuple. Selon le théorème d'impossibilité d'Arrow, une méthode de vote raisonnable peut être spécifiée:
- Pas de dictateurs (ND) - le résultat ne doit pas toujours correspondre à l'évaluation d'une personne en particulier.
- Efficacité de Pareto (PE) - si chaque électeur préfère le candidat A au candidat B, alors le résultat doit indiquercandidat A plutôt que candidat B.
- L'indépendance des alternatives incompatibles (IIA) est le score relatif des candidats A, B et ne devrait pas changer si les électeurs modifient le score des autres candidats, mais ne changent pas leurs scores relatifs de A et B.
Selon le théorème d'Arrow, il s'avère que dans le cas d'élections à trois critères ou plus, il n'y a pas de fonctions de choix social qui conviendraient simultanément à ND, PE et IIA.
Système de sélection rationnelle
Le besoin d'agrégation des préférences se manifeste dans de nombreux domaines de la vie humaine:
- L'économie du bien-être utilise des méthodes microéconomiques pour mesurer le bien-être au niveau économique global. Une méthodologie typique commence par dériver ou déduire une fonction de bien-être, qui peut ensuite être utilisée pour classer des allocations de ressources économiquement saines en termes de bien-être. Dans ce cas, les États essaient de trouver un résultat économiquement viable et durable.
- En théorie de la décision, lorsqu'une personne doit faire un choix rationnel basé sur plusieurs critères.
- Dans les systèmes électoraux, qui sont des mécanismes pour trouver une solution unique à partir des préférences de nombreux électeurs.
Sous les conditions du théorème d'Arrow, l'ordre des préférences pour un ensemble donné de paramètres (résultats) est distingué. Chaque unité de la société, ou chaque critère de décision, attribue un certain ordre de préférence par rapport à un ensemble de résultats. La société est à la recherche d'un systèmevote basé sur le classement, appelé la fonction de bien-être.
Cette règle d'agrégation des préférences transforme un ensemble de profils de préférences en un ordre public mondial. La déclaration d'Arrow stipule que si un organe directeur a au moins deux électeurs et trois critères de sélection, il est impossible de créer une fonction de bien-être qui satisfasse à toutes ces conditions à la fois.
Pour chaque ensemble de préférences individuelles des électeurs, la fonction de bien-être doit effectuer une évaluation de sélection publique unique et complète:
- Cela doit être fait de manière à ce que le résultat soit une évaluation complète des préférences du public.
- Devrait donner le même score de manière déterministe lorsque les préférences des électeurs semblent être les mêmes.
Indépendance vis-à-vis des alternatives non pertinentes (IIA)
Le choix entre X et Y est uniquement lié aux préférences de l'individu entre X et Y - c'est l'indépendance par paires (indépendance par paires), selon le théorème "Impossibility of Democracy" d'Arrow. Dans le même temps, un changement dans l'évaluation par une personne d' alternatives non pertinentes situées en dehors de ces groupes n'affecte pas l'évaluation sociale de ce sous-ensemble. Par exemple, la présentation d'un troisième candidat lors d'une élection à deux candidats n'a aucun effet sur le résultat de l'élection à moins que le troisième candidat ne gagne.
La société se caractérise par la monotonie et une combinaison positive de valeurs sociales et individuelles. Si une personne change son ordre de préférence en faisant la promotion d'une certaine option, alors l'ordreles préférences de la société doivent correspondre à la même option sans changement. Une personne ne devrait pas pouvoir nuire à une option en la fixant à un prix plus élevé.
Dans le théorème d'impossibilité, l'efficacité et la justice dans la société sont assurées par la souveraineté du citoyen. Chaque ordre social de préférence possible doit être réalisable avec un ensemble d'ordres de préférence individuels. Cela signifie que la fonction de bien-être est surjective - elle a un espace cible illimité. Une version ultérieure (1963) du théorème d'Arrow a remplacé les critères de monotonie et de non-chevauchement.
Pareto. Efficacité ou unanimité ?
Si chaque personne préfère une option particulière à une autre, alors l'ordre de préférence sociale devrait également le faire. Il est essentiel que la fonction de bien-être soit minimalement sensible au profil de préférence. Cette dernière version est plus générale et a des conditions un peu plus faibles. Les axiomes d'uniformité, pas de chevauchement, ainsi que IIA, dénotent l'efficacité de Pareto. En même temps, cela n'implique pas de chevauchement d'IIA ni de monotonie.
IIA a trois objectifs:
- Standard. Les alternatives non pertinentes ne devraient pas avoir d'importance.
- Pratique. Utilisation d'informations minimales.
- Stratégique. Fournir les bonnes incitations pour vraiment identifier les préférences individuelles. Bien que l'objectif stratégique soit conceptuellement différent de l'IIA, ils sont étroitement liés.
L'efficacité de Pareto, du nom de l'économiste et politologue italien Vilfredo Pareto (1848-1923), est utilisée dans l'économie néoclassique avec le concept théorique de concurrence parfaite comme référence pour évaluer l'efficacité des marchés réels. Il convient de noter qu'aucun des résultats n'est atteint en dehors de la théorie économique. Hypothétiquement, si une concurrence parfaite existait et que les ressources étaient utilisées aussi efficacement que possible, alors tout le monde aurait le niveau de vie le plus élevé, ou l'efficacité de Pareto.
En pratique, il est impossible d'entreprendre une action sociale, telle qu'un changement de politique économique, sans aggraver la situation d'au moins une personne, de sorte que le concept d'amélioration de Pareto a trouvé une application plus large en économie. Une amélioration de Pareto se produit lorsqu'un changement dans la distribution ne nuit à personne et aide au moins une personne, compte tenu de la distribution initiale de biens à un groupe de personnes. La théorie suggère que les améliorations de Pareto continueront d'ajouter de la valeur à l'économie jusqu'à ce qu'un équilibre de Pareto soit atteint, lorsqu'aucune amélioration ne pourra plus être apportée.
Énoncé formel du théorème
Soit A l'ensemble de résultats, N le nombre de votants ou les critères de décision. Dénotons l'ensemble de tous les ordres linéaires complets de A à L (A). La fonction de sécurité sociale stricte (règle d'agrégation des préférences) est une fonction qui agrège les préférences des électeurs dans un ordre de préférence unique enA.
N - un tuple (R 1, …, R N) ∈ L (A) N des préférences des électeurs est appelé un profil de préférences. Dans sa forme la plus forte et la plus simple, le théorème d'impossibilité d'Arrow stipule que chaque fois que l'ensemble des alternatives possibles A a plus de 2 éléments, les trois conditions suivantes deviennent incohérentes:
- Unanimité, ou faible efficacité de Pareto. Si l' alternative A se classe strictement au-dessus de B pour tous les ordres R 1, …, R N, alors A se classe strictement au-dessus de B sur F (R 1, R 2, …, R N). En même temps, l'unanimité implique l'absence d'imposition.
- Non-dictature. Il n'y a pas de « je » individuel dont les préférences strictes prévalent toujours. Autrement dit, il n'y a pas de I ∈ {1, …, N }, qui pour tout (R 1, …, R N) ∈ L (A) N, est strictement supérieur à B à partir de R. "I" est strictement supérieur à B sur F (R 1, R 2, …, R N), pour tous A et B.
- Indépendance vis-à-vis des alternatives non pertinentes. Pour deux profils de préférence (R 1, …, R N) et (S 1, …, S N) tels que pour tous les individus I, les alternatives A et B ont le même ordre dans R i que dans S i, les alternatives A et B ont le même ordre en F (R 1, R 2, …, R N) qu'en F (S 1, S2, …, S N).
Interprétation du théorème
Bien que le théorème d'impossibilité soit mathématiquement prouvé, il est souvent exprimé de manière non mathématique avec l'affirmation qu'aucune méthode de vote n'est juste, que chaque méthode de vote classée a des défauts, ou que la seule méthode de vote qui n'est pas fausse est une dictature. Ces déclarations sont une simplificationLe résultat d'Arrow, qui n'est pas toujours considéré comme correct. Le théorème d'Arrow stipule qu'un mécanisme de vote préférentiel déterministe, c'est-à-dire un mécanisme dans lequel l'ordre de préférence est la seule information dans le vote, et tout ensemble possible de votes produit un résultat unique, ne peut pas satisfaire toutes les conditions ci-dessus en même temps.
Divers théoriciens ont suggéré d'assouplir le critère de l'IIA pour sortir du paradoxe. Les partisans des méthodes de notation soutiennent que l'IIA est un critère inutilement fort qui est violé dans la plupart des systèmes électoraux utiles. Les partisans de cette position soulignent que le non-respect du critère standard de l'IIA est trivialement impliqué par la possibilité de préférences cycliques. Si les électeurs votent comme ceci:
- 1 vote pour A> B> C;
- 1 vote pour B> C> A;
- 1 vote pour C> A> B.
Alors la majorité double la préférence de groupe est que A bat B, B bat C et C bat A, et cela se traduit par une préférence ciseaux-roche-ciseaux pour toute comparaison de paires.
Dans ce cas, toute règle d'agrégation qui satisfait à l'exigence de majorité de base selon laquelle le candidat avec le plus de voix doit remporter l'élection échouera au critère IIA si les préférences sociales doivent être transitives ou acycliques. Pour le voir, on suppose qu'une telle règle satisfait l'IIA. Étant donné que les préférences de la majoritésont observées, la société favorise A - B (deux votes pour A> B et un pour B> A), B - C et C - A. Ainsi, un cycle est créé qui contredit l'hypothèse selon laquelle les préférences sociales sont transitives.
Donc, le théorème d'Arrow montre bien que tout système électoral avec le plus de victoires est un jeu non trivial, et que la théorie des jeux devrait être utilisée pour prédire le résultat de la plupart des mécanismes de vote. Cela peut être considéré comme un résultat décourageant car le jeu ne devrait pas avoir d'équilibres efficaces, par exemple, voter pourrait conduire à une alternative que personne ne voulait vraiment mais pour laquelle tout le monde a voté.
Choix social au lieu de préférence
Le choix collectif rationnel du mécanisme de vote selon le théorème d'Arrow n'est pas le but de la prise de décision sociale. Il suffit souvent de trouver une alternative. L'approche alternative centrée sur les choix explore soit les fonctions de choix social qui mappent chaque profil de préférence, soit les règles de choix social, les fonctions qui mappent chaque profil de préférence à un sous-ensemble d' alternatives.
Comme pour les fonctions de choix social, le théorème de Gibbard-Satterthwaite est bien connu, qui stipule que si une fonction de choix social dont la gamme contient au moins trois alternatives est stratégiquement stable, alors elle est dictatoriale. Considérant les règles du choix social, ils croient que les préférences sociales les sous-tendent.
C'est-à-dire qu'ils considèrent la règle comme un choixéléments maximum - les meilleures alternatives à toute préférence sociale. L'ensemble des éléments de préférence sociale maximale est appelé noyau. Les conditions d'existence d'une alternative dans le cœur ont été étudiées selon deux approches. La première approche suppose que les préférences sont au moins acycliques, ce qui est nécessaire et suffisant pour que les préférences aient un élément maximum dans tout sous-ensemble fini.
Pour cette raison, il est étroitement lié à la transitivité relaxante. La deuxième approche abandonne l'hypothèse de préférences acycliques. Kumabe et Mihara ont adopté cette approche. Ils ont fait l'hypothèse la plus cohérente selon laquelle les préférences individuelles comptent le plus.
Aversion relative pour le risque
Il existe plusieurs indicateurs d'aversion au risque exprimés par la fonction d'utilité dans le théorème d'Arrow Pratt. Aversion absolue au risque - plus la courbure u(c) est élevée, plus l'aversion au risque est élevée. Cependant, puisque les fonctions d'utilité attendues ne sont pas définies de manière unique, la mesure nécessaire reste constante par rapport à ces transformations. L'une de ces mesures est la mesure Arrow-Pratt de l'aversion absolue au risque (ARA), après que les économistes Kenneth Arrow et John W. Pratt ont défini le ratio d'aversion absolue au risque comme
A (c)=- {u '' (c)}/ {u '(c)}, où: u '(c) et u '' (c) désignent les dérivées première et seconde par rapport à "c" de "u (c)".
Les données expérimentales et empiriques sont généralement compatibles avec une diminution de l'aversion absolue pour le risque. mesure relativeArrow Pratt Risk Aversion (ACR) ou Relative Risk Aversion Ratio est défini par:
R (c)=cA (c)={-cu '' (c)} /{u '(c) R (c).
Comme pour l'aversion absolue au risque, les termes respectifs utilisés sont l'aversion relative constante au risque (CRRA) et l'aversion relative au risque décroissante/croissante (DRRA/IRRA). L'avantage de cette quantité est qu'elle reste une mesure valable de l'aversion au risque même si la fonction d'utilité change de la propension au risque, c'est-à-dire que l'utilité n'est pas strictement convexe/concave sur tout "c". Un RRA constant implique une réduction de l'ARA de la théorie d'Arrow Pratt, mais l'inverse n'est pas toujours vrai. Comme exemple spécifique d'aversion relative constante pour le risque, la fonction d'utilité: u(c)=log(c), implique RRA=1.
Graphique de gauche: la fonction d'utilité évitant le risque est concave par le bas, et la fonction d'utilité averse au risque est convexe. Graphique du milieu - dans l'espace des valeurs d'écart type attendues, les courbes d'indifférence au risque ont une pente ascendante. Graphique de droite - avec des probabilités fixes des deux états alternatifs 1 et 2, les courbes d'indifférence averse au risque sur les paires de résultats dépendant de l'état sont convexes.
Système électoral nominal
Initialement, Arrow a rejeté l'utilité cardinale comme un outil important pour exprimer le bien-être social, il a donc concentré ses affirmations sur le classement des préférences, mais plus tarda conclu qu'un système de classement cardinal avec trois ou quatre classes est probablement le meilleur. Selon le théorème d'impossibilité, le choix public suppose que les préférences individuelles et sociales sont ordonnées, c'est-à-dire la satisfaction de la complétude et de la transitivité dans diverses alternatives. Cela signifie que si les préférences sont représentées par une fonction d'utilité, sa valeur est utile dans le sens où elle a du sens, puisqu'une valeur plus élevée signifie une meilleure alternative.
Les applications pratiques du théorème sont utilisées pour évaluer de grandes catégories de systèmes de vote. L'argument principal d'Arrow soutient que les systèmes de vote par ordre doivent toujours violer au moins un des critères d'équité qu'il a définis. L'implication pratique de cela est que les systèmes de vote qui ne sont pas en règle doivent être étudiés. Par exemple, les systèmes de classement dans lesquels les électeurs attribuent des points à chaque candidat peuvent répondre à tous les critères d'Arrow.
En fait, le mécanisme de vote, le choix collectif rationnel du théorème d'Arrow et le dialogue qui s'ensuit, était incroyablement trompeur dans le domaine du vote. Les étudiants et les non-spécialistes pensent souvent qu'aucun système de vote ne peut répondre aux critères d'équité d'Arrow, alors qu'en fait, les systèmes de notation peuvent répondre à tous les critères d'Arrow.
