Les problèmes mathématiques sont utilisés dans de nombreuses sciences. Il s'agit non seulement de la physique, de la chimie, de l'ingénierie et de l'économie, mais aussi de la médecine, de l'écologie et d'autres disciplines. Un concept important à maîtriser pour trouver des solutions à des dilemmes importants est la dérivée d'une fonction. La signification physique de celui-ci n'est pas du tout aussi difficile à expliquer que cela puisse paraître aux non-initiés dans l'essence du problème. Il suffit de trouver des exemples appropriés de cela dans la vie réelle et dans des situations quotidiennes ordinaires. En fait, tout automobiliste fait face à une tâche similaire tous les jours lorsqu'il regarde le compteur de vitesse, déterminant la vitesse de sa voiture à un instant particulier d'une heure fixe. Après tout, c'est dans ce paramètre que réside l'essence de la signification physique de la dérivée.
Comment trouver la vitesse
Déterminer la vitesse d'une personne sur la route, en connaissant la distance parcourue et le temps de trajet, n'importe quel élève de cinquième année peut facilement. Pour ce faire, la première des valeurs données est divisée par la seconde. Maistous les jeunes mathématiciens ne savent pas qu'ils sont actuellement en train de trouver le rapport des incréments d'une fonction et d'un argument. En effet, si nous imaginons le mouvement sous la forme d'un graphique, traçant le chemin le long de l'axe des ordonnées, et le temps le long de l'abscisse, ce sera exactement comme ça.
Cependant, la vitesse d'un piéton ou de tout autre objet que nous déterminons sur une grande partie du chemin, en considérant le mouvement comme uniforme, peut très bien changer. Il existe de nombreuses formes de mouvement en physique. Il peut être effectué non seulement avec une accélération constante, mais ralentir et augmenter de manière arbitraire. Il est à noter que dans ce cas la ligne décrivant le mouvement ne sera plus une ligne droite. Graphiquement, il peut prendre les configurations les plus complexes. Mais pour n'importe lequel des points du graphique, nous pouvons toujours tracer une tangente représentée par une fonction linéaire.
Pour clarifier le paramètre de changement de déplacement en fonction du temps, il est nécessaire de raccourcir les segments mesurés. Lorsqu'elles deviendront infiniment petites, la vitesse calculée sera instantanée. Cette expérience nous aide à définir la dérivée. Sa signification physique découle également logiquement d'un tel raisonnement.
En termes de géométrie
On sait que plus la vitesse du corps est grande, plus le graphique de la dépendance du déplacement au temps est raide, et donc l'angle d'inclinaison de la tangente au graphique en un certain point. Un indicateur de tels changements peut être la tangente de l'angle entre l'axe des x et la ligne tangente. Il détermine simplement la valeur de la dérivée et est calculé par le rapport des longueursopposé à la jambe adjacente dans un triangle rectangle formé par une perpendiculaire tombant d'un point à l'axe des x.
C'est la signification géométrique de la première dérivée. Le physique se révèle dans le fait que la valeur de la jambe opposée dans notre cas est la distance parcourue, et celle adjacente est le temps. Leur rapport est la vitesse. Et encore une fois, nous arrivons à la conclusion que la vitesse instantanée, déterminée lorsque les deux écarts tendent vers l'infiniment petit, est l'essence du concept de dérivée, indiquant sa signification physique. La dérivée seconde dans cet exemple sera l'accélération du corps, qui à son tour démontre le taux de changement de vitesse.
Exemples de recherche de dérivées en physique
La dérivée est un indicateur du taux de variation de toute fonction, même lorsque nous ne parlons pas de mouvement au sens littéral du terme. Pour le démontrer clairement, prenons quelques exemples concrets. Supposons que l'intensité du courant, en fonction du temps, change selon la loi suivante: I=0, 4t2. Il est nécessaire de trouver la valeur de la vitesse à laquelle ce paramètre change à la fin de la 8ème seconde du processus. Notez que la valeur souhaitée elle-même, comme on peut en juger par l'équation, augmente constamment.
Pour le résoudre, vous devez trouver la première dérivée, dont la signification physique a été considérée plus tôt. Ici dI / dt=0,8t. Ensuite, nous le trouvons à t \u003d 8, nous obtenons que la vitesse à laquelle l'intensité du courant change est de 6,4 A / c. Ici on considère quele courant est mesuré en ampères et le temps, respectivement, en secondes.
Tout change
Le monde environnant visible, composé de matière, subit constamment des changements, étant en mouvement de divers processus qui s'y déroulent. Divers paramètres peuvent être utilisés pour les décrire. S'ils sont unis par la dépendance, ils sont alors écrits mathématiquement sous la forme d'une fonction qui montre clairement leurs changements. Et là où il y a mouvement (sous quelque forme qu'il soit exprimé), il existe aussi une dérivée, dont nous considérons actuellement la signification physique.
À cette occasion, l'exemple suivant. Supposons que la température corporelle change selon la loi T=0, 2 t 2. Vous devriez trouver la vitesse de son échauffement au bout de la 10ème seconde. Le problème est résolu d'une manière similaire à celle décrite dans le cas précédent. Autrement dit, nous trouvons la dérivée et y substituons la valeur de t \u003d 10, nous obtenons T \u003d 0, 4 t \u003d 4. Cela signifie que la réponse finale est de 4 degrés par seconde, c'est-à-dire le processus de chauffage et le changement de température, mesuré en degrés, se produit précisément à une telle vitesse.
Résoudre des problèmes pratiques
Bien sûr, dans la vraie vie, tout est beaucoup plus compliqué que dans les problèmes théoriques. En pratique, la valeur des quantités est généralement déterminée au cours de l'expérience. Dans ce cas, des instruments sont utilisés qui donnent des lectures lors des mesures avec une certaine erreur. Par conséquent, dans les calculs, il faut faire face à des valeurs approximatives des paramètres et recourir à des nombres arrondis peu pratiques,ainsi que d'autres simplifications. Ayant pris cela en compte, nous passerons à nouveau aux problèmes sur la signification physique de la dérivée, étant donné qu'ils ne sont qu'une sorte de modèle mathématique des processus les plus complexes se produisant dans la nature.
Éruption volcanique
Imaginons qu'un volcan entre en éruption. À quel point peut-il être dangereux ? Pour répondre à cette question, de nombreux facteurs doivent être pris en compte. Nous essaierons d'accueillir l'un d'entre eux.
De la bouche du "monstre ardent", des pierres sont lancées verticalement vers le haut, ayant une vitesse initiale à partir du moment où elles sortent vers l'extérieur de 120 m/s. Il est nécessaire de calculer ce qu'ils peuvent atteindre la hauteur maximale.
Pour trouver la valeur souhaitée, nous allons composer une équation pour la dépendance de la hauteur H, mesurée en mètres, sur d'autres valeurs. Ceux-ci incluent la vitesse et le temps initiaux. La valeur d'accélération est considérée comme connue et approximativement égale à 10 m/s2.
Dérivée partielle
Considérons maintenant la signification physique de la dérivée d'une fonction sous un angle légèrement différent, car l'équation elle-même peut contenir non pas une, mais plusieurs variables. Par exemple, dans le problème précédent, la dépendance de la hauteur des pierres éjectées de l'évent du volcan était déterminée non seulement par le changement des caractéristiques temporelles, mais également par la valeur de la vitesse initiale. Cette dernière était considérée comme une valeur constante et fixe. Mais dans d'autres tâches avec des conditions complètement différentes, tout pourrait être différent. Si les quantités sur lesquelles le complexefonction, plusieurs, les calculs sont effectués selon les formules ci-dessous.
La signification physique de la dérivée fréquente doit être déterminée comme dans le cas habituel. Il s'agit de la vitesse à laquelle la fonction change à un moment donné à mesure que le paramètre de la variable augmente. Il est calculé de telle manière que tous les autres composants sont pris comme des constantes, un seul est considéré comme une variable. Ensuite, tout se passe selon les règles habituelles.
Conseiller indispensable sur de nombreuses questions
Comprendre la signification physique de la dérivée, il n'est pas difficile de donner des exemples de résolution de problèmes complexes et complexes, dans lesquels la réponse peut être trouvée avec une telle connaissance. Si nous avons une fonction qui décrit la consommation de carburant en fonction de la vitesse de la voiture, nous pouvons calculer à quels paramètres de cette dernière la consommation d'essence sera la plus faible.
En médecine, vous pouvez prédire comment le corps humain réagira à un médicament prescrit par un médecin. La prise du médicament affecte une variété de paramètres physiologiques. Ceux-ci incluent les changements de pression artérielle, de fréquence cardiaque, de température corporelle, etc. Tous dépendent de la dose du médicament pris. Ces calculs aident à prédire le déroulement du traitement, à la fois dans les manifestations favorables et dans les accidents indésirables pouvant entraîner des modifications fatales dans le corps du patient.
Sans aucun doute, il est important de comprendre la signification physique de la dérivée en techniqueproblématiques, en particulier dans les domaines de l'électrotechnique, de l'électronique, de la conception et de la construction.
Distance de freinage
Considérons le problème suivant. Se déplaçant à vitesse constante, la voiture, s'approchant du pont, a dû ralentir 10 secondes avant l'entrée, car le conducteur a remarqué un panneau routier interdisant de circuler à une vitesse supérieure à 36 km/h. Le conducteur a-t-il enfreint les règles si la distance de freinage peut être décrite par la formule S=26t - t2?
En calculant la dérivée première, on trouve la formule de la vitesse, on obtient v=28 – 2t. Ensuite, remplacez la valeur t=10 dans l'expression spécifiée.
Comme cette valeur était exprimée en secondes, la vitesse est de 8 m/s, soit 28,8 km/h. Cela permet de comprendre que le conducteur a commencé à ralentir dans le temps et n'a pas enfreint le code de la route, et donc la limite indiquée sur le panneau de vitesse.
Cela prouve l'importance de la signification physique de la dérivée. Un exemple de résolution de ce problème démontre l'étendue de l'utilisation de ce concept dans diverses sphères de la vie. Y compris dans les situations de tous les jours.
Dérivée en économie
Jusqu'au XIXe siècle, les économistes fonctionnaient principalement sur des moyennes, qu'il s'agisse de la productivité du travail ou du prix de la production. Mais à partir d'un certain moment, les valeurs limites sont devenues plus nécessaires pour faire des prévisions efficaces dans ce domaine. Il s'agit notamment de l'utilité marginale, du revenu ou du coût. Comprendre cela a donné une impulsion à la création d'un outil complètement nouveau dans la recherche économique,qui existe et se développe depuis plus de cent ans.
Pour faire de tels calculs, où des concepts tels que minimum et maximum prédominent, il est simplement nécessaire de comprendre la signification géométrique et physique de la dérivée. Parmi les créateurs de la base théorique de ces disciplines, on peut citer des économistes anglais et autrichiens éminents comme US Jevons, K. Menger et d'autres. Bien sûr, les valeurs limites dans les calculs économiques ne sont pas toujours pratiques à utiliser. Et, par exemple, les rapports trimestriels ne s'intègrent pas nécessairement dans le schéma existant, mais néanmoins, l'application d'une telle théorie dans de nombreux cas est utile et efficace.
