La dérivée du cosinus se trouve par analogie avec la dérivée du sinus, la base de la preuve est la définition de la limite de la fonction. Vous pouvez utiliser une autre méthode, en utilisant les formules de réduction trigonométrique pour le cosinus et le sinus des angles. Exprimez une fonction en termes d'une autre - cosinus en termes de sinus, et différenciez le sinus avec un argument complexe.
Considérons le premier exemple de dérivation de la formule (Cos(x))'
Donnez un incrément négligeable Δx à l'argument x de la fonction y=Cos(x). Avec une nouvelle valeur de l'argument х+Δх, on obtient une nouvelle valeur de la fonction Cos(х+Δх). Alors l'incrément de fonction Δy sera égal à Cos(х+Δx)-Cos(x).
Le rapport de l'incrément de fonction à Δх sera: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх. Effectuons des transformations identiques dans le numérateur de la fraction résultante. Rappelez-vous la formule de la différence des cosinus des angles, le résultat sera le produit -2Sin (Δx / 2) fois Sin (x + Δx / 2). On trouve la limite du quotient lim de ce produit sur Δx lorsque Δx tend vers zéro. On sait que le premier(elle est dite merveilleuse) la limite lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) est égale à 1, et la limite -Sin(x+Δx/2) est égale à -Sin(x) comme Δx tend vers zéro. Notez le résultat: la dérivée de (Cos(x))' est égale à - Sin(x).
Certaines personnes préfèrent la deuxième façon de dériver la même formule
C'est connu du cours de trigonométrie: Cos(x) est égal à Sin(0, 5 ∏-x), de même Sin(x) est égal à Cos(0, 5 ∏-x). Ensuite, nous différencions une fonction complexe - le sinus de l'angle supplémentaire (au lieu du cosinus x).
Nous obtenons le produit Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)', car la dérivée du sinus x est égale au cosinus X. Nous nous tournons vers la deuxième formule Sin(x)=Cos(0.5 ∏-x) consistant à remplacer cosinus par sinus, en tenant compte que (0.5 ∏-x)'=-1. Maintenant, nous obtenons -Sin(x). Donc, la dérivée du cosinus est trouvée, y'=-Sin(x) pour la fonction y=Cos(x).
Dérivée du cosinus carré
Un exemple couramment utilisé où la dérivée du cosinus est utilisée. La fonction y=Cos2(x) est dure. On trouve d'abord la différentielle de la fonction puissance avec l'exposant 2, ce sera 2·Cos(x), puis on la multiplie par la dérivée (Cos(x))', qui est égale à -Sin(x). On obtient y'=-2 Cos(x) Sin(x). Lorsque nous appliquons la formule Sin(2x), le sinus d'un angle double, nous obtenons la réponse simplifiée finaley'=-Sin(2x)
Fonctions hyperboliques
Ils sont utilisés dans l'étude de nombreuses disciplines techniques: en mathématiques, par exemple, ils facilitent le calcul d'intégrales, la résolution d'équations différentielles. Ils sont exprimés en termes de fonctions trigonométriques avec imaginaireargument, donc le cosinus hyperbolique ch(x)=Cos(i x), où i est l'unité imaginaire, le sinus hyperbolique sh(x)=Sin(i x).
La dérivée du cosinus hyperbolique est calculée assez simplement.
Considérons la fonction y=(ex+e-x) /2, ceci et est le cosinus hyperbolique ch(x). Nous utilisons la règle pour trouver la dérivée de la somme de deux expressions, la règle pour retirer le facteur constant (Const) du signe de la dérivée. Le deuxième terme 0,5 e-x est une fonction complexe (sa dérivée est -0,5 e-x), 0,5 eх ― le premier terme. (ch(x)) '=((ex+e-x)/2)' peut être écrit autrement: (0, 5 ex+0, 5 e-x)'=0, 5 e x-0, 5 e-x, car la dérivée (e - x)' vaut -1 fois e-x. Le résultat est une différence, et c'est le sinus hyperbolique sh(x).Sortie: (ch(x))'=sh(x).
Regardons un exemple de comment calculer la dérivée de la fonction y=ch(x
3+1).Selon la règle de différenciation par cosinus hyperbolique avec argument complexe y'=sh(x
3+1) (x 3+1)', où (x3+1)'=3 x 2+0. Réponse: la dérivée de cette fonction est 3 x
2sh(x3+1).
Dérivées tabulaires des fonctions considérées y=ch(x) et y=Cos(x)
Lors de la résolution d'exemples, il n'est pas nécessaire de les différencier à chaque fois selon le schéma proposé, il suffit d'utiliser l'inférence.
Exemple. Différencier la fonction y=Cos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). Facile à calculer (utiliser des données tabulaires), y'=-Sin(x) +Sin(2 x)-5 Sh(5 x).
