L'une des branches des mathématiques avec lesquelles les écoliers rencontrent le plus de difficultés est la trigonométrie. Pas étonnant: pour maîtriser librement ce domaine de connaissances, vous avez besoin d'une pensée spatiale, de la capacité de trouver des sinus, des cosinus, des tangentes, des cotangentes à l'aide de formules, de simplifier des expressions et de pouvoir utiliser le nombre pi dans les calculs. De plus, vous devez être capable d'appliquer la trigonométrie lors de la démonstration de théorèmes, ce qui nécessite soit une mémoire mathématique développée, soit la capacité de déduire des chaînes logiques complexes.
Les origines de la trigonométrie
L'introduction à cette science devrait commencer par la définition du sinus, du cosinus et de la tangente d'un angle, mais vous devez d'abord comprendre ce que fait la trigonométrie en général.
Historiquement, les triangles rectangles ont été le principal objet de recherche dans cette section des sciences mathématiques. La présence d'un angle de 90 degrés permet d'effectuer diverses opérations permettant à deuxcôtés et un coin ou deux coins et un côté pour déterminer les valeurs de tous les paramètres de la figure en question. Dans le passé, les gens ont remarqué ce modèle et ont commencé à l'utiliser activement dans la construction de bâtiments, la navigation, l'astronomie et même l'art.
Inception
Au départ, les gens parlaient de la relation entre les angles et les côtés exclusivement sur l'exemple des triangles rectangles. Ensuite, des formules spéciales ont été découvertes, ce qui a permis d'élargir les limites d'utilisation dans la vie quotidienne de cette section des mathématiques.
L'étude de la trigonométrie à l'école commence aujourd'hui par les triangles rectangles, après quoi les connaissances acquises sont utilisées par les étudiants en physique et en résolvant des équations trigonométriques abstraites, travail avec lequel commence au lycée.
Trigonométrie sphérique
Plus tard, lorsque la science a atteint le prochain niveau de développement, les formules avec sinus, cosinus, tangente, cotangente ont commencé à être utilisées en géométrie sphérique, où d'autres règles s'appliquent, et la somme des angles dans un triangle est toujours plus plus de 180 degrés. Cette section n'est pas étudiée à l'école, mais il est nécessaire de connaître son existence, du moins parce que la surface de la Terre, et la surface de toute autre planète, est convexe, ce qui signifie que tout marquage de la surface sera "en forme d'arc " dans un espace tridimensionnel.
Prenez un globe et un fil. Attachez le fil à deux points quelconques du globe afin qu'il soit tendu. Faites attention - il a acquis la forme d'un arc. Il traite de telles formesgéométrie sphérique utilisée en géodésie, en astronomie et dans d'autres domaines théoriques et appliqués.
Triangle rectangle
Ayant appris un peu les manières d'utiliser la trigonométrie, revenons à la trigonométrie de base afin de mieux comprendre ce que sont les sinus, cosinus, tangente, quels calculs peuvent être effectués avec leur aide et quelles formules utiliser.
Tout d'abord, vous devez comprendre les concepts liés à un triangle rectangle. Premièrement, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle de 90 degrés. Elle est la plus longue. Rappelons que selon le théorème de Pythagore, sa valeur numérique est égale à la racine de la somme des carrés des deux autres côtés.
Par exemple, si deux côtés mesurent respectivement 3 et 4 centimètres, la longueur de l'hypoténuse sera de 5 centimètres. Soit dit en passant, les anciens Égyptiens le savaient il y a environ quatre mille cinq cents ans.
Les deux côtés restants qui forment un angle droit sont appelés jambes. De plus, nous devons nous rappeler que la somme des angles d'un triangle dans un système de coordonnées rectangulaire est de 180 degrés.
Définition
Enfin, ayant une solide compréhension de la base géométrique, nous pouvons nous tourner vers la définition du sinus, du cosinus et de la tangente d'un angle.
Le sinus d'un angle est le rapport entre la jambe opposée (c'est-à-dire le côté opposé à l'angle souhaité) et l'hypoténuse. Le cosinus d'un angle est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse.
N'oubliez pas que ni le sinus ni le cosinus ne peuvent être supérieurs à un ! Pourquoi?Parce que l'hypoténuse est par défaut le côté le plus long d'un triangle rectangle. Quelle que soit la longueur de la jambe, elle sera plus courte que l'hypoténuse, ce qui signifie que leur rapport sera toujours inférieur à un. Ainsi, si vous obtenez un sinus ou un cosinus avec une valeur supérieure à 1 dans la réponse au problème, recherchez une erreur de calcul ou de raisonnement. Cette réponse est clairement fausse.
Enfin, la tangente d'un angle est le rapport du côté opposé au côté adjacent. Le même résultat donnera la division du sinus par le cosinus. Regardez: selon la formule, nous divisons la longueur du côté par l'hypoténuse, après quoi nous divisons par la longueur du deuxième côté et multiplions par l'hypoténuse. Ainsi, nous obtenons le même rapport que dans la définition de la tangente.
Cotangente, respectivement, est le rapport du côté adjacent au coin au côté opposé. On obtient le même résultat en divisant l'unité par la tangente.
Donc, nous avons examiné les définitions de ce qui est sinus, cosinus, tangente et cotangente, et nous pouvons traiter des formules.
Formules simples
En trigonométrie, on ne peut pas se passer de formules - comment trouver le sinus, le cosinus, la tangente, la cotangente sans elles ? Mais c'est exactement ce qu'il faut pour résoudre des problèmes.
La première formule que vous devez connaître lorsque vous commencez à étudier la trigonométrie indique que la somme des carrés du sinus et du cosinus d'un angle est égale à un. Cette formule est une conséquence directe du théorème de Pythagore, mais elle fait gagner du temps si vous avez besoin de connaître la valeur de l'angle, pas le côté.
Beaucoup d'étudiants ne se souviennent pas de la deuxième formule, également trèspopulaire dans la résolution de problèmes scolaires: la somme de un et le carré de la tangente d'un angle est égal à un divisé par le carré du cosinus de l'angle. Regardez de plus près: après tout, c'est la même affirmation que dans la première formule, seuls les deux côtés de l'identité ont été divisés par le carré du cosinus. Il s'avère qu'une simple opération mathématique rend la formule trigonométrique complètement méconnaissable. N'oubliez pas: sachant ce qu'est un sinus, un cosinus, une tangente et une cotangente, les règles de conversion et quelques formules de base, vous pouvez à tout moment dériver indépendamment les formules plus complexes requises sur une feuille de papier.
Formules à double angle et ajout d'arguments
Deux autres formules à apprendre sont liées aux valeurs sinus et cosinus pour la somme et la différence des angles. Ils sont présentés dans la figure ci-dessous. Veuillez noter que dans le premier cas, le sinus et le cosinus sont multipliés les deux fois, et dans le second cas, le produit par paire du sinus et du cosinus est ajouté.
Il existe également des formules associées aux arguments à double angle. Ils sont complètement dérivés des précédents - en pratique, essayez de les obtenir vous-même, en prenant l'angle alpha égal à l'angle bêta.
Enfin, notez que les formules à double angle peuvent être converties pour réduire le degré de sinus, cosinus, tangente alpha.
Théorèmes
Les deux principaux théorèmes de la trigonométrie de base sont le théorème du sinus et le théorème du cosinus. À l'aide de ces théorèmes, vous pouvez facilement comprendre comment trouver le sinus, le cosinus et la tangente, et donc l'aire de la figure et la magnitudechaque côté, etc.
Le théorème des sinus stipule qu'en divisant la longueur de chacun des côtés d'un triangle par la valeur de l'angle opposé, nous obtenons le même nombre. De plus, ce nombre sera égal à deux rayons du cercle circonscrit, c'est-à-dire le cercle contenant tous les points du triangle donné.
Le théorème du cosinus généralise le théorème de Pythagore en le projetant sur n'importe quel triangle. Il s'avère que de la somme des carrés des deux côtés, soustrayez leur produit, multiplié par le double cosinus de l'angle qui leur est adjacent - la valeur résultante sera égale au carré du troisième côté. Ainsi, le théorème de Pythagore s'avère être un cas particulier du théorème du cosinus.
Erreurs dues à l'inattention
Même en sachant ce que sont le sinus, le cosinus et la tangente, il est facile de se tromper par distraction ou par erreur dans les calculs les plus simples. Pour éviter de telles erreurs, examinons les plus populaires.
Tout d'abord, ne convertissez pas les fractions communes en nombres décimaux avant d'obtenir le résultat final - vous pouvez laisser la réponse sous forme de fraction commune, sauf indication contraire dans la condition. Une telle transformation ne peut pas être qualifiée d'erreur, mais il convient de rappeler qu'à chaque étape de la tâche, de nouvelles racines peuvent apparaître, qui, selon l'idée de l'auteur, devraient être réduites. Dans ce cas, vous perdrez du temps en opérations mathématiques inutiles. Cela est particulièrement vrai pour des valeurs telles que la racine de trois ou deux, car elles apparaissent dans les tâches à chaque étape. Il en va de même pour les arrondis. Numéros "moches".
Ensuite, notez que le théorème du cosinus s'applique à n'importe quel triangle, mais pas le théorème de Pythagore ! Si vous oubliez par erreur de soustraire deux fois le produit des côtés multiplié par le cosinus de l'angle entre eux, vous obtiendrez non seulement un résultat complètement erroné, mais démontrerez également une incompréhension complète du sujet. C'est pire qu'une erreur d'inattention.
Troisièmement, ne confondez pas les valeurs des angles de 30 et 60 degrés pour les sinus, cosinus, tangentes, cotangentes. Rappelez-vous ces valeurs, car le sinus de 30 degrés est égal au cosinus de 60, et vice versa. Il est facile de les mélanger et vous obtiendrez inévitablement un résultat erroné.
Demande
De nombreux étudiants ne sont pas pressés de commencer à étudier la trigonométrie, car ils ne comprennent pas son sens appliqué. Qu'est-ce que le sinus, le cosinus, la tangente pour un ingénieur ou un astronome ? Ce sont des concepts grâce auxquels vous pouvez calculer la distance aux étoiles lointaines, prédire la chute d'une météorite, envoyer une sonde de recherche sur une autre planète. Sans eux, il est impossible de construire un bâtiment, de concevoir une voiture, de calculer la charge sur la surface ou la trajectoire d'un objet. Et ce ne sont là que les exemples les plus évidents ! Après tout, la trigonométrie sous une forme ou une autre est utilisée partout, de la musique à la médecine.
En conclusion
Donc, vous savez ce que sont le sinus, le cosinus et la tangente. Vous pouvez les utiliser dans des calculs et résoudre avec succès des problèmes scolaires.
Tout l'intérêtla trigonométrie se réduit au fait qu'en fonction des paramètres connus du triangle, il faut calculer les inconnues. Il y a six paramètres au total: les longueurs de trois côtés et les grandeurs de trois angles. Toute la différence entre les tâches réside dans le fait que différentes données d'entrée sont données.
Comment trouver le sinus, le cosinus, la tangente en fonction des longueurs connues des jambes ou de l'hypoténuse, vous savez maintenant. Étant donné que ces termes ne signifient rien de plus qu'un rapport et qu'un rapport est une fraction, l'objectif principal du problème trigonométrique est de trouver les racines d'une équation ordinaire ou d'un système d'équations. Et ici, les mathématiques scolaires habituelles vous aideront.
