Fluide idéal et équations décrivant son mouvement

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Dernière modifié: 2023-12-17 05:26

La section de la physique qui étudie les caractéristiques du mouvement des milieux liquides s'appelle l'hydrodynamique. L'une des principales expressions mathématiques de l'hydrodynamique est l'équation de Bernoulli pour un fluide idéal. L'article est consacré à ce sujet.

Qu'est-ce qu'un fluide idéal ?

Beaucoup de gens savent qu'une substance liquide est un tel état agrégé de matière qui conserve du volume dans des conditions extérieures constantes, mais change de forme au moindre impact sur elle. Un fluide idéal est une substance fluide qui n'a pas de viscosité et qui est incompressible. Ce sont les deux principales propriétés qui le distinguent des vrais fluides.

Notez que presque tous les vrais liquides peuvent être considérés comme incompressibles, car une petite variation de leur volume nécessite une énorme pression externe. Par exemple, si vous créez une pression de 5 atmosphères (500 kPa), l'eau n'augmentera sa densité que de 0,024 %. Quant à la question de la viscosité, pour un certain nombre de problèmes pratiques, lorsque l'eau est considérée comme un fluide de travail, elle peut être négligée. Par souci d'exhaustivité, notons quela viscosité dynamique de l'eau à 20 ^oC est de 0,001 Pas², ce qui est maigre comparé à cette valeur pour le miel (>2000).

Il est important de ne pas confondre les concepts de fluide parfait et de gaz parfait, car ce dernier est facilement compressible.

Équation de continuité

En hydrodynamique, le mouvement d'un fluide idéal commence à être considéré à partir de l'étude de l'équation de continuité de son écoulement. Pour comprendre l'essence du problème, il est nécessaire de considérer le mouvement du fluide à travers le tuyau. Imaginez qu'à l'entrée, le tuyau a une section A₁, et à la sortie A₂.

Supposons maintenant que le liquide s'écoule au début du tuyau avec la vitesse v₁, cela signifie qu'en temps t à travers la section A_{1volume de débit V}1_=A1_v1_{t. Comme le liquide est idéal, c'est-à-dire incompressible, exactement le même volume d'eau doit sortir du bout du tuyau au temps t, on obtient: V}2_=A2 _v2_{t. De l'égalité des volumes V}1 _{et V}2 _{, l'équation de la continuité de l'écoulement d'un fluide idéal suit:}

A₁v₁=A₂v₂.

De l'équation résultante, il s'ensuit que si A₁>A₂, alors v₁ doit être inférieur à v₂. Autrement dit, en diminuant la section de la conduite, on augmente ainsi la vitesse d'écoulement du fluide qui en sort. De toute évidence, cet effet a été observé par chaque personne dans sa vie qui a au moins une fois arrosé des parterres de fleurs avec un tuyau oujardin, couvrant ainsi le trou du tuyau avec votre doigt, vous pouvez voir comment le jet d'eau qui en jaillit devient plus fort.

Équation de continuité pour un tuyau ramifié

Il est intéressant de considérer le cas du mouvement d'un fluide idéal à travers un tuyau qui n'a pas une, mais deux sorties ou plus, c'est-à-dire qu'il est ramifié. Par exemple, la section transversale d'un tuyau à l'entrée est A₁, et vers la sortie, il se divise en deux tuyaux avec des sections A₂et La_{3. Déterminons les débits v}2 _{et v}3_{, si l'on sait que l'eau entre dans l'entrée à une vitesse v} 1.

En utilisant l'équation de continuité, on obtient l'expression: A₁v₁=A₂ v ₂ + A₃v₃. Pour résoudre cette équation pour des vitesses inconnues, vous devez comprendre qu'à la sortie, quel que soit le tuyau où se trouve le débit, il se déplace à la même vitesse, c'est-à-dire v₂=v3_{. Ce fait peut être compris intuitivement. Si le tuyau de sortie est divisé en deux parties par une cloison, le débit ne changera pas. Compte tenu de ce fait, nous obtenons la solution: v}2_=v3 _=A1_v1/(La₂ + La₃).

Équation de Bernoulli pour un fluide idéal

Daniil Bernoulli, physicien et mathématicien suisse d'origine néerlandaise, dans son ouvrage "Hydrodynamique" (1734) a présenté une équation pour un fluide idéal décrivant son mouvement. Il s'écrit sous la forme suivante:

P+ ρv²/2 + ρgh=const.

Cette expression reflète la loi de conservation de l'énergie dans le cas d'un écoulement de fluide. Ainsi, le premier terme (P) est la pression dirigée le long du vecteur de déplacement du fluide, qui décrit le travail de l'écoulement, le second terme (ρv²/2) est la cinétique énergie de la substance fluide, et le troisième le terme (ρgh) est son énergie potentielle.

Rappelons que cette équation est valable pour un fluide idéal. En réalité, il y a toujours frottement d'une substance fluide contre les parois du tuyau et à l'intérieur de son volume, par conséquent, un terme supplémentaire est introduit dans l'équation de Bernoulli ci-dessus qui décrit ces pertes d'énergie.

Utilisation de l'équation de Bernoulli

Il est intéressant de citer quelques inventions qui utilisent des déductions de l'équation de Bernoulli:

• Cheminée et hottes. Il résulte de l'équation que plus la vitesse de déplacement d'une substance fluide est grande, plus sa pression est faible. La vitesse de circulation de l'air au sommet de la cheminée est plus grande qu'à sa base, de sorte que le flux de fumée tend toujours vers le haut en raison de la différence de pression.
• Conduites d'eau. L'équation permet de comprendre comment la pression de l'eau dans le tuyau changera si le diamètre de ce dernier est modifié.
• Avions et Formule 1. L'angle des ailes d'un avion et d'une aile F1 fournit une différence de pression d'air au-dessus et au-dessous de l'aile, ce qui crée respectivement une force de portance et une force vers le bas.

Modes d'écoulement des fluides

L'équation de Bernoulli n'est pasprend en compte le mode de mouvement fluide, qui peut être de deux types: laminaire et turbulent. L'écoulement laminaire est caractérisé par un écoulement calme, dans lequel les couches de fluide se déplacent le long de trajectoires relativement lisses et ne se mélangent pas les unes aux autres. Le mode turbulent du mouvement des fluides est caractérisé par le mouvement chaotique de chaque molécule qui compose l'écoulement. Une caractéristique du régime turbulent est la présence de tourbillons.

La manière dont le liquide s'écoulera dépend d'un certain nombre de facteurs (caractéristiques du système, par exemple, la présence ou l'absence de rugosité sur la surface interne du tuyau, la viscosité de la substance et la vitesse de son mouvement). La transition entre les modes de mouvement considérés est décrite par les nombres de Reynolds.

Un exemple frappant de flux laminaire est le mouvement lent du sang dans les vaisseaux sanguins lisses. Un exemple d'écoulement turbulent est une forte pression d'eau provenant d'un robinet.