Le dictionnaire explicatif d'Ozhegov indique qu'un pentagone est une figure géométrique délimitée par cinq lignes droites qui se croisent formant cinq angles internes, ainsi que tout objet de forme similaire. Si un polygone donné a les mêmes côtés et angles, alors on l'appelle un régulier (pentagone).
Qu'y a-t-il d'intéressant dans un pentagone régulier ?
C'est sous cette forme que le bâtiment bien connu du Département de la Défense des États-Unis a été construit. Parmi les volumineux polyèdres réguliers, seul le dodécaèdre a des faces en forme de pentagone. Et dans la nature, les cristaux sont complètement absents, dont les faces ressembleraient à un pentagone régulier. De plus, cette figure est un polygone avec un nombre minimum de coins qui ne peut pas être utilisé pour carreler une zone. Seul un pentagone a le même nombre de diagonales que ses côtés. D'accord, c'est intéressant !
Propriétés et formules de base
Utilisation des formules pourpolygone régulier arbitraire, vous pouvez déterminer tous les paramètres nécessaires du pentagone.
- Angle au centre α=360 / n=360/5=72°.
- Angle interne β=180°(n-2)/n=180°3/5=108°. En conséquence, la somme des angles intérieurs est de 540°.
- Le rapport de la diagonale au côté est (1+√5) /2, c'est-à-dire la "section dorée" (environ 1 618).
- La longueur du côté d'un pentagone régulier peut être calculée à l'aide de l'une des trois formules, en fonction du paramètre déjà connu:
- si un cercle est circonscrit autour de lui et que son rayon R est connu, alors a=2Rsin (α/2)=2Rsin(72°/2) ≈1, 1756R;
- dans le cas où un cercle de rayon r est inscrit dans un pentagone régulier, a=2rtg(α/2)=2rtg(α/2) ≈ 1, 453r;
- il arrive qu'au lieu de rayons la valeur de la diagonale D soit connue, alors le côté est déterminé comme suit: a ≈ D/1, 618.
- L'aire d'un pentagone régulier est déterminée, encore une fois, en fonction du paramètre que nous connaissons:
- s'il y a un cercle inscrit ou circonscrit, alors l'une des deux formules est utilisée:
S=(nar)/2=2, 5ar ou S=(nR2sin α)/2 ≈ 2, 3776R2;
l'aire peut également être déterminée en ne connaissant que la longueur du côté a:
S=(5a2tg54°)/4 ≈ 1, 7205 a2.
Pentagone régulier: construction
Cette figure géométrique peut être construite de différentes manières. Par exemple, l'inscrire dans un cercle de rayon donné, ou le construire à partir d'un côté latéral donné. La séquence d'actions a été décrite dans les Éléments d'Euclide vers 300 av. Dans tous les cas, nous avons besoin d'une boussole et d'une règle. Considérez la méthode de construction utilisant un cercle donné.
1. Sélectionnez un rayon arbitraire et dessinez un cercle en marquant son centre par un O.
2. Sur la ligne circulaire, sélectionnez un point qui servira de l'un des sommets de notre pentagone. Soit le point A. Reliez les points O et A par une ligne droite.
3. Tracez une ligne passant par le point O perpendiculaire à la ligne OA. Désignez l'intersection de cette ligne avec la ligne du cercle comme point B.
4. Au milieu de la distance entre les points O et B, construisez le point C.
5. Dessinez maintenant un cercle dont le centre sera au point C et qui passera par le point A. Le point de son intersection avec la ligne OB (il sera à l'intérieur du tout premier cercle) sera le point D.
6. Construire un cercle passant par D et dont le centre sera en A. Les endroits de son intersection avec le cercle d'origine doivent être repérés par les points E et F.
7. Construisez maintenant un cercle dont le centre sera en E. Vous devez le faire de manière à ce qu'il passe par A. Son autre intersection avec le cercle d'origine doit être indiquée par le point G.
8. Enfin, tracez un cercle passant par A et centré au point F. Marquez une autre intersection du cercle d'origine avec le point H.
9. Maintenant à gaucheconnectez simplement les sommets A, E, G, H, F. Notre pentagone régulier sera prêt !
