Il est impossible de prétendre que vous connaissez les mathématiques si vous ne savez pas tracer des graphiques, tracer des inégalités sur une ligne de coordonnées et travailler avec des axes de coordonnées. La composante visuelle en science est vitale, car sans exemples visuels dans les formules et les calculs, vous pouvez parfois être très confus. Dans cet article, nous verrons comment travailler avec des axes de coordonnées et apprendre à construire des graphes de fonctions simples.
Demande
La ligne de coordonnées est la base des types de graphiques les plus simples qu'un élève rencontre dans son parcours scolaire. Il est utilisé dans presque tous les sujets mathématiques: lors du calcul de la vitesse et du temps, de la projection de la taille des objets et du calcul de leur surface, en trigonométrie lorsque l'on travaille avec des sinus et des cosinus.
La principale valeur d'une telle ligne directe est la visibilité. Parce que les mathématiques sont une science qui nécessite un haut niveau de pensée abstraite, les graphiques aident à représenter un objet dans le monde réel. Comment se comporte-t-il ? À quel endroit de l'espace lequelques secondes, minutes, heures ? Que peut-on en dire par rapport à d'autres objets ? Quelle est sa vitesse à un instant choisi au hasard ? Comment caractériser son mouvement ?
Et nous parlons de vitesse pour une raison - elle est souvent affichée par des graphiques de fonctions. Et ils peuvent également afficher les changements de température ou de pression à l'intérieur de l'objet, sa taille, son orientation par rapport à l'horizon. Ainsi, la construction d'une ligne de coordonnées est souvent requise en physique également.
Graphique unidimensionnel
Il existe un concept de multidimensionnalité. Dans un espace unidimensionnel, un seul nombre suffit pour déterminer l'emplacement d'un point. C'est exactement le cas avec l'utilisation de la ligne de coordonnées. Si l'espace est à deux dimensions, alors deux nombres sont nécessaires. Les graphiques de ce type sont utilisés beaucoup plus souvent, et nous les considérerons certainement un peu plus tard dans l'article.
Que peut-on voir à l'aide de points sur l'axe, s'il n'y a qu'un seul axe ? Vous pouvez voir la taille de l'objet, sa position dans l'espace par rapport à un "zéro", c'est-à-dire le point choisi comme point de référence.
Le changement de paramètres dans le temps ne sera pas visible, car toutes les lectures seront affichées pour un moment particulier. Cependant, il faut bien commencer quelque part ! Alors commençons.
Comment construire un axe de coordonnées
D'abord, vous devez tracer une ligne horizontale - ce sera notre axe. Sur le côté droit, « affûtez-le » pour qu'il ressemble à une flèche. Ainsi, nous indiquerons le sens dans lequel les nombres serontaugmenter. Dans le sens descendant, la flèche n'est généralement pas placée. Traditionnellement, l'axe pointe vers la droite, nous suivrons donc cette règle.
Définissons une marque zéro, qui affichera l'origine des coordonnées. C'est l'endroit même à partir duquel le compte à rebours est pris, que ce soit la taille, le poids, la vitesse ou toute autre chose. En plus de zéro, nous devons nécessairement désigner le prix dit de division, c'est-à-dire introduire une norme unitaire, conformément à laquelle nous tracerons certaines quantités sur l'axe. Cela doit être fait afin de pouvoir trouver la longueur du segment sur la ligne de coordonnées.
À une distance égale les uns des autres, placez des points ou "encoches" sur la ligne, et en dessous écrivez 1, 2, 3, respectivement, et ainsi de suite. Et maintenant, tout est prêt. Mais avec l'horaire qui en résulte, vous devez encore apprendre à travailler.
Types de points sur la ligne de coordonnées
Dès le premier regard sur les dessins proposés dans les manuels, cela devient clair: les points sur l'axe peuvent être remplis ou non remplis. Pensez-vous que c'est une coïncidence? Pas du tout! Un point "plein" est utilisé pour une inégalité non stricte - celle qui se lit comme "supérieur ou égal à". Si nous devons limiter strictement l'intervalle (par exemple, "x" peut prendre des valeurs de zéro à un, mais ne l'inclut pas), nous utiliserons un point "creux", c'est-à-dire en fait un petit cercle sur l'axe. Il convient de noter que les étudiants n'aiment pas vraiment les inégalités strictes, car elles sont plus difficiles à travailler.
Selon les points sur lesquels vousutiliser sur le graphique, les intervalles construits seront également appelés. Si l'inégalité des deux côtés n'est pas stricte, alors on obtient un segment. Si d'une part il s'avère être "ouvert", alors on l'appellera un demi-intervalle. Enfin, si une partie de droite est délimitée de part et d'autre par des points creux, on l'appellera un intervalle.
Avion
Lors de la construction de deux droites sur le plan de coordonnées, nous pouvons déjà considérer les graphes de fonctions. Disons que la ligne horizontale est l'axe du temps et la ligne verticale est la distance. Et maintenant, nous sommes en mesure de déterminer quelle distance l'objet parcourra en une minute ou une heure de voyage. Ainsi, travailler avec un plan permet de suivre l'évolution de l'état d'un objet. C'est bien plus intéressant que d'explorer un état statique.
Le graphe le plus simple sur un tel plan est une droite, elle reflète la fonction Y(X)=aX + b. La ligne se plie-t-elle ? Cela signifie que l'objet change ses caractéristiques au cours de l'étude.
Imaginez que vous êtes debout sur le toit d'un immeuble tenant une pierre dans votre main tendue. Lorsque vous le relâchez, il vole vers le bas, commençant son mouvement à partir d'une vitesse nulle. Mais en une seconde, il surmontera 36 kilomètres à l'heure. La pierre continuera à accélérer davantage, et afin de dessiner son mouvement sur le graphique, vous devrez mesurer sa vitesse à plusieurs moments dans le temps en définissant des points sur l'axe aux endroits appropriés.
Les marques sur la ligne de coordonnées horizontales par défaut sont nommées X1, X2, X3, et sur la verticale - Y1, Y2, Y3, respectivement. en saillieles au plan et en trouvant des intersections, nous trouvons des fragments du motif résultant. En les connectant avec une seule ligne, nous obtenons un graphique de la fonction. Dans le cas d'une pierre qui tombe, la fonction quadratique ressemblera à: Y(X)=aXX + bX + c.
Échelle
Bien sûr, il n'est pas nécessaire de mettre des valeurs entières à côté des divisions par une ligne droite. Si vous envisagez le mouvement d'un escargot qui rampe à une vitesse de 0,03 mètre par minute, définissez comme valeurs la fraction de coordonnées. Dans ce cas, réglez l'intervalle d'échelle sur 0,01 mètre.
Il est particulièrement pratique de réaliser de tels dessins dans un cahier dans une cage - ici, vous pouvez voir immédiatement s'il y a suffisamment d'espace sur la feuille pour votre graphique, si vous dépassez les marges. Il n'est pas difficile de calculer votre force, car la largeur de la cellule dans un tel cahier est de 0,5 centimètres. Il a fallu - réduit l'image. Les changements d'échelle du graphique ne lui feront pas perdre ou modifier ses propriétés.
Coordonnées des points et des segments
Lorsqu'un problème mathématique est donné dans une leçon, il peut contenir les paramètres de diverses formes géométriques, à la fois sous forme de longueurs de côté, de périmètre, d'aire et sous forme de coordonnées. Dans ce cas, vous devrez peut-être à la fois créer une forme et obtenir des données qui lui sont associées. La question se pose: comment trouver l'information recherchée sur la ligne de coordonnées ? Et comment construire une forme ?
Par exemple, nous parlons d'un point. Ensuite, une lettre majuscule apparaîtra dans l'état du problème, et plusieurs chiffres apparaîtront entre parenthèses, le plus souvent deux (cela signifie que nous compterons dans un espace à deux dimensions). S'il y a trois nombres entre parenthèses, séparés par un point-virgule ou une virgule, il s'agit d'un espace tridimensionnel. Chacune des valeurs est une coordonnée sur l'axe correspondant: d'abord le long de l'horizontale (X), puis le long de la verticale (Y).
Tu te souviens comment dessiner un segment ? Vous avez réussi la géométrie. S'il y a deux points, une ligne peut être tracée entre eux. Leurs coordonnées sont indiquées entre parenthèses si un segment apparaît dans le problème. Par exemple: A(15, 13) - B(1, 4). Pour construire une telle ligne, vous devez trouver et marquer des points sur le plan de coordonnées, puis les connecter. C'est tout !
Et tous les polygones, comme vous le savez, peuvent être dessinés à l'aide de segments. Problème résolu.
Calculs
Disons qu'il y a un objet dont la position le long de l'axe X est caractérisée par deux nombres: il commence au point de coordonnée (-3) et se termine à (+2). Si nous voulons connaître la longueur de cet objet, nous devons soustraire le plus petit nombre du plus grand nombre. Notez qu'un nombre négatif absorbe le signe de la soustraction, car "un moins fois un moins est égal à un plus". Donc on additionne (2+3) et on obtient 5. C'est le résultat recherché.
Un autre exemple: on nous donne le point final et la longueur de l'objet, mais pas le point de départ (et nous devons le trouver). Soit la position du point connu soit (6), et la taille de l'objet étudié soit (4). En soustrayant la longueur de la coordonnée finale, nous obtenons la réponse. Somme: (6 - 4)=2.
Nombres négatifs
Il est souvent nécessaire en pratique de travailler avec des valeurs négatives. Dans ce cas nous allonsdéplacer vers la gauche le long de l'axe des coordonnées. Par exemple, un objet de 3 centimètres de haut flotte dans l'eau. Un tiers est immergé dans le liquide, les deux tiers dans l'air. Ensuite, en choisissant la surface de l'eau comme axe, nous obtenons deux nombres en utilisant les calculs arithmétiques les plus simples: le point supérieur de l'objet a la coordonnée (+2) et celui du bas - (-1) centimètre.
Il est facile de voir que dans le cas d'un avion, nous avons les quatre quarts de la ligne de coordonnées. Chacun d'eux a son propre numéro. Dans la première partie (en haut à droite), il y aura des points ayant deux coordonnées positives, dans la seconde - en haut à gauche - les valeurs de l'axe X seront négatives et le long de l'axe Y - positives. Les troisième et quatrième sont comptés plus loin dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Propriété importante
Vous savez qu'une ligne peut être représentée par un nombre infini de points. Nous pouvons voir aussi attentivement que nous le souhaitons n'importe quel nombre de valeurs dans chaque direction de l'axe, mais nous n'en rencontrerons pas qui se répètent. Cela semble naïf et compréhensible, mais cette affirmation découle d'un fait important: chaque nombre correspond à un et un seul point sur la ligne de coordonnées.
Conclusion
N'oubliez pas que tous les axes, chiffres et, si possible, les graphiques doivent être construits sur une règle. Les unités de mesure n'ont pas été inventées par l'homme par hasard - si vous faites une erreur en dessinant, vous courez le risque de voir une image différente de celle qu'elle aurait dû être.
Soyez prudent et précis dans les tracés et les calculs. Comme toute science étudiée à l'école, les mathématiques aiment la précision. Faites un petit effort et bonles évaluations ne tarderont pas à venir.
