Un objet géométrique important qui est étudié dans un espace plat est une ligne droite. Dans l'espace tridimensionnel, en plus de la ligne droite, il y a aussi un plan. Les deux objets sont commodément définis à l'aide de vecteurs de direction. De quoi s'agit-il, comment ces vecteurs sont-ils utilisés pour déterminer les équations d'une droite et d'un plan ? Ces questions et d'autres sont couvertes dans l'article.
Ligne directe et comment la définir
Chaque élève a une bonne idée de l'objet géométrique dont il parle. Du point de vue des mathématiques, une ligne droite est un ensemble de points qui, dans le cas de leur connexion arbitraire par paires, conduisent à un ensemble de vecteurs parallèles. Cette définition d'une ligne est utilisée pour écrire une équation à la fois en deux et en trois dimensions.
Pour décrire l'objet unidimensionnel considéré, différents types d'équations sont utilisés, qui sont listés dans la liste ci-dessous:
- vue générale;
- paramétrique;
- vecteur;
- canonique ou symétrique;
- en segments.
Chacune de ces espèces a des avantages par rapport aux autres. Par exemple, une équation en segments est pratique à utiliser pour étudier le comportement d'une ligne droite par rapport aux axes de coordonnées, une équation générale est pratique pour trouver une direction perpendiculaire à une ligne droite donnée, ainsi que pour calculer l'angle de son intersection avec l'axe des x (pour un cas plat).
Étant donné que le sujet de cet article est lié au vecteur directeur d'une droite, nous ne considérerons plus loin que l'équation où ce vecteur est fondamental et est contenu explicitement, c'est-à-dire une expression vectorielle.
Spécifier une ligne droite passant par un vecteur
Supposons que nous ayons un vecteur v¯ avec des coordonnées connues (a; b; c). Puisqu'il y a trois coordonnées, le vecteur est donné dans l'espace. Comment le représenter dans un repère rectangulaire ? Cela se fait très simplement: sur chacun des trois axes, un segment est tracé dont la longueur est égale à la coordonnée correspondante du vecteur. Le point d'intersection des trois perpendiculaires restituées aux plans xy, yz et xz sera l'extrémité du vecteur. Son début est le point (0; 0; 0).
Néanmoins, la position donnée du vecteur n'est pas la seule. De même, on peut dessiner v¯ en plaçant son origine en un point arbitraire de l'espace. Ces arguments disent qu'il est impossible de définir une ligne spécifique à l'aide d'un vecteur. Il définit une famille d'un nombre infini de lignes parallèles.
Maintenantfixer un point P(x0; y0; z0) de l'espace. Et on pose la condition: une droite doit passer par P. Dans ce cas, le vecteur v¯ doit également contenir ce point. Le dernier fait signifie qu'une seule ligne peut être définie en utilisant P et v¯. Elle s'écrira sous la forme de l'équation suivante:
Q=P + λ × v¯
Ici Q est tout point appartenant à la droite. Ce point peut être obtenu en choisissant le paramètre λ approprié. L'équation écrite est appelée l'équation vectorielle et v¯ est appelé le vecteur directeur de la droite. En l'arrangeant pour qu'il passe par P et en changeant sa longueur avec le paramètre λ, nous obtenons chaque point de Q sous la forme d'une droite.
Sous forme de coordonnées, l'équation s'écrira comme suit:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
Et sous forme explicite (paramétrique), vous pouvez écrire:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Si nous excluons la troisième coordonnée dans les expressions ci-dessus, alors nous obtenons les équations vectorielles de la droite sur le plan.
Pour quelles tâches est-il utile de connaître le vecteur de direction ?
En règle générale, ce sont des tâches pour déterminer le parallélisme et la perpendicularité des lignes. De plus, le vecteur direct qui détermine la direction est utilisé lors du calcul de la distance entre des lignes droites et un point et une ligne droite, pour décrire le comportement d'une ligne droite par rapport à un plan.
Deuxles droites seront parallèles si leurs vecteurs directeurs le sont. En conséquence, la perpendicularité des lignes est prouvée en utilisant la perpendicularité de leurs vecteurs. Dans ces types de problèmes, il suffit de calculer le produit scalaire des vecteurs considérés pour obtenir la réponse.
Dans le cas des tâches de calcul des distances entre les lignes et les points, le vecteur de direction est explicitement inclus dans la formule correspondante. Écrivons-le:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Ici P1P2¯ - construit sur les points P1 et P 2 segment dirigé. Le point P2 est arbitraire, situé sur la ligne avec le vecteur v¯, tandis que le point P1 est celui auquel la distance doit être déterminé. Il peut être indépendant ou appartenir à une autre ligne ou à un autre plan.
Notez qu'il est logique de calculer la distance entre les lignes uniquement lorsqu'elles sont parallèles ou se croisent. S'ils se croisent, alors d vaut zéro.
La formule ci-dessus pour d est également valable pour calculer la distance entre un plan et une droite parallèle à celui-ci, seulement dans ce cas P1doit appartenir au plan.
Résolvons quelques problèmes pour mieux montrer comment utiliser le vecteur considéré.
Problème d'équation vectorielle
On sait qu'une ligne droite est décrite par l'équation suivante:
y=3 × x - 4
Vous devez écrire l'expression appropriée dansforme vectorielle.
C'est une équation typique d'une droite, connue de tous les écoliers, écrite sous une forme générale. Montrons comment le réécrire sous forme vectorielle.
L'expression peut être représentée comme:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
On peut voir que si vous l'ouvrez, vous obtenez l'égalité d'origine. Maintenant, nous divisons son côté droit en deux vecteurs afin qu'un seul d'entre eux contienne x, nous avons:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Il reste à retirer x des parenthèses, à le désigner par un symbole grec et à échanger les vecteurs du côté droit:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Nous avons obtenu la forme vectorielle de l'expression originale. Les coordonnées du vecteur de direction de la ligne droite sont (1; 3).
La tâche de déterminer la position relative des lignes
Deux lignes sont données dans l'espace:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Sont-ils parallèles, se croisant ou se coupant ?
Les vecteurs non nuls (-1; 3; 1) et (1; 2; 0) serviront de guides pour ces lignes. Exprimons ces équations sous forme paramétrique et substituons les coordonnées de la première dans la seconde. Nous obtenons:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ - 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Remplacez le paramètre trouvé λ dans les deux équations ci-dessus, nous obtenons:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3 / 2 × λ - 1=5
Le paramètre γ ne peut pas prendre deux valeurs différentes en même temps. Cela signifie que les lignes n'ont pas un seul point commun, c'est-à-dire qu'elles se croisent. Ils ne sont pas parallèles, car les vecteurs non nuls ne sont pas parallèles entre eux (pour leur parallélisme, il doit y avoir un nombre qui, en se multipliant par un vecteur, conduirait aux coordonnées du second).
Description mathématique de l'avion
Pour placer un plan dans l'espace, on donne une équation générale:
A × X + B × y + C × z + D=0
Ici, les majuscules latines représentent des nombres spécifiques. Les trois premiers d'entre eux définissent les coordonnées du vecteur normal du plan. S'il est noté n¯, alors:
n¯=(A; B; C)
Ce vecteur est perpendiculaire au plan, il s'appelle donc un guide. Sa connaissance, ainsi que les coordonnées connues de tout point appartenant au plan, déterminent de façon unique ce dernier.
Si le point P(x1; y1; z1) appartient à l'avion, alors l'intersection D est calculée comme suit:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Résolvons quelques problèmes en utilisant l'équation générale du plan.
Tâche pourtrouver le vecteur normal du plan
Le plan est défini comme suit:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Comment lui trouver un vecteur de direction ?
De la théorie ci-dessus, il s'ensuit que les coordonnées du vecteur normal n¯ sont les coefficients devant les variables. À cet égard, pour trouver n¯, l'équation doit être écrite sous une forme générale. Nous avons:
1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Alors le vecteur normal du plan est:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Le problème de l'élaboration de l'équation du plan
Les coordonnées de trois points sont données:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
A quoi ressemblera l'équation du plan contenant tous ces points.
À travers trois points qui n'appartiennent pas à la même ligne, un seul plan peut être tracé. Pour trouver son équation, on calcule d'abord le vecteur directeur du plan n¯. Pour ce faire, on procède comme suit: on trouve arbitrairement deux vecteurs appartenant au plan, et on calcule leur produit vectoriel. Cela donnera un vecteur qui sera perpendiculaire à ce plan, c'est-à-dire n¯. Nous avons:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Prenez le point M1dessinerexpressions planes. Nous obtenons:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Nous avons obtenu une expression de type générale pour un plan dans l'espace en définissant d'abord un vecteur de direction pour celui-ci.
La propriété du produit croisé doit être rappelée lors de la résolution de problèmes avec des plans, car elle vous permet de déterminer les coordonnées d'un vecteur normal de manière simple.
