Prisme hexagonal et ses principales caractéristiques

2024 Auteur: Angel Austin | [email protected]. Dernière modifié: 2024-01-02 17:46

La géométrie spatiale est l'étude des prismes. Leurs caractéristiques importantes sont le volume qu'elles contiennent, la surface et le nombre d'éléments constitutifs. Dans l'article, nous considérerons toutes ces propriétés pour un prisme hexagonal.

De quel prisme parle-t-on ?

Un prisme hexagonal est une figure formée de deux polygones à six côtés et six angles, et de six parallélogrammes reliant les hexagones marqués en une seule formation géométrique.

La figure montre un exemple de ce prisme.

L'hexagone marqué en rouge est appelé la base de la figure. Évidemment, le nombre de ses bases est égal à deux, et les deux sont identiques. Les faces jaune-verdâtre d'un prisme sont appelées ses côtés. Dans la figure, ils sont représentés par des carrés, mais en général ce sont des parallélogrammes.

Le prisme hexagonal peut être incliné et droit. Dans le premier cas, les angles entre la base et les côtés ne sont pas droits, dans le second ils sont égaux à 90o. De plus, ce prisme peut être correct et incorrect. Hexagonal régulierle prisme doit être droit et avoir un hexagone régulier à la base. Le prisme ci-dessus sur la figure satisfait à ces exigences, il est donc appelé correct. Plus loin dans l'article, nous n'étudierons que ses propriétés, en tant que cas général.

Éléments

Pour tout prisme, ses principaux éléments sont les arêtes, les faces et les sommets. Le prisme hexagonal ne fait pas exception. La figure ci-dessus permet de compter le nombre de ces éléments. Ainsi, nous obtenons 8 faces ou côtés (deux bases et six parallélogrammes latéraux), le nombre de sommets est de 12 (6 sommets pour chaque base), le nombre d'arêtes d'un prisme hexagonal est de 18 (six latéraux et 12 pour les bases).

Dans les années 1750, Leonhard Euler (un mathématicien suisse) a établi pour tous les polyèdres, qui incluent un prisme, une relation mathématique entre les nombres des éléments indiqués. Cette relation ressemble à:

nombre d'arêtes=nombre de faces + nombre de sommets - 2.

Les chiffres ci-dessus satisfont cette formule.

Diagonales prismatiques

Toutes les diagonales d'un prisme hexagonal peuvent être divisées en deux types:

• ceux qui se trouvent dans les plans de ses faces;
• ceux qui appartiennent à tout le volume de la figure.

L'image ci-dessous montre toutes ces diagonales.

On peut voir que D₁ est la diagonale latérale, D₂ et D₃ sont les diagonales du prisme entier, D₄ et D_{5 - les diagonales de la base.}

Les longueurs des diagonales des côtés sont égales entre elles. Il est facile de les calculer en utilisant le célèbre théorème de Pythagore. Soit a la longueur du côté de l'hexagone, b la longueur du bord latéral. Alors la diagonale a une longueur:

D₁=√(a² + b^2).

Diagonal D₄ est également facile à déterminer. Si l'on se rappelle qu'un hexagone régulier rentre dans un cercle de rayon a, alors D_{4 est le diamètre de ce cercle, c'est-à-dire que l'on obtient la formule suivante:}

D_4=2a.

Diagonal D₅les bases sont un peu plus difficiles à trouver. Pour ce faire, considérons un triangle équilatéral ABC (voir Fig.). Pour lui AB=BC=a, l'angle ABC vaut 120^{o. Si nous abaissons la hauteur de cet angle (ce sera aussi la bissectrice et la médiane), alors la moitié de la base AC sera égale à:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

Le côté AC est la diagonale de D_{5, donc on obtient:}

D_5=AC=√3a.

Maintenant, il reste à trouver les diagonales D₂et D_{3d'un prisme hexagonal régulier. Pour ce faire, vous devez voir que ce sont les hypoténuses des triangles rectangles correspondants. En utilisant le théorème de Pythagore, nous obtenons:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Ainsi, la plus grande diagonale pour toutes les valeurs de a et b estD_2.

Superficie

Pour comprendre les enjeux, le plus simple est de s'interroger sur l'évolution de ce prisme. Il est montré dans l'image.

On peut voir que pour déterminer l'aire de tous les côtés de la figure considérée, il faut calculer l'aire du quadrilatère et l'aire de l'hexagone séparément, puis les multiplier par les nombres entiers correspondants égaux au nombre de chaque n-gone dans le prisme, et additionnez les résultats. Hexagones 2, rectangles 6.

Pour l'aire d'un rectangle on obtient:

S_1=ab.

Alors la surface latérale est:

S_2=6ab.

Pour déterminer l'aire d'un hexagone, le plus simple est d'utiliser la formule correspondante, qui ressemble à:

S=n/4a2ctg(pi/n).

En substituant le nombre n égal à 6 dans cette expression, nous obtenons l'aire d'un hexagone:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Cette expression doit être multipliée par deux pour obtenir l'aire des bases du prisme:

S_os=3√3a^2.

Il reste à additionner S_os et S_{2 pour obtenir la surface totale de la figure:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Volume du prisme

Après la formule poursurface d'une base hexagonale, calculer le volume contenu dans le prisme en question est aussi simple que d'égrener des poires. Pour ce faire, il vous suffit de multiplier l'aire de la base osseuse (hexagone) par la hauteur de la figure, dont la longueur est égale à la longueur du bord latéral. On obtient la formule:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Notez que le produit de la base et de la hauteur donne la valeur du volume d'absolument n'importe quel prisme, y compris l'oblique. Cependant, dans ce dernier cas, le calcul de la hauteur est compliqué, puisqu'elle ne sera plus égale à la longueur de la nervure latérale. Comme pour un prisme hexagonal régulier, la valeur de son volume est fonction de deux variables: les côtés a et b.