Les fonctions trigonométriques inverses causent traditionnellement des difficultés aux écoliers. La capacité de calculer l'arc tangente d'un nombre peut être requise dans les tâches USE en planimétrie et en stéréométrie. Pour réussir à résoudre une équation et un problème avec un paramètre, vous devez comprendre les propriétés de la fonction arc tangente.
Définition
L'arc tangente d'un nombre x est un nombre y dont la tangente est x. C'est la définition mathématique.
La fonction arctangente s'écrit y=arctg x.
Plus généralement: y=Carctg (kx + a).
Calcul
Pour comprendre comment fonctionne la fonction trigonométrique inverse de l'arctangente, vous devez d'abord vous rappeler comment la valeur de la tangente d'un nombre est déterminée. Regardons de plus près.
La tangente de x est le rapport du sinus de x au cosinus de x. Si au moins une de ces deux quantités est connue, alors le module de la seconde peut être obtenu à partir de l'identité trigonométrique de base:
sin2 x + cos2 x=1.
Certes, une évaluation sera nécessaire pour débloquer le module.
Sile nombre lui-même est connu, et non ses caractéristiques trigonométriques, alors dans la plupart des cas il faut estimer approximativement la tangente du nombre en se référant à la table Bradis.
Les exceptions sont les valeurs dites standard.
Ils sont présentés dans le tableau suivant:
En plus de ce qui précède, toute valeur obtenue à partir des données en ajoutant un nombre de la forme ½πк (к - tout entier, π=3, 14) peut être considérée comme standard.
Exactement la même chose est vraie pour l'arc tangent: le plus souvent, la valeur approximative peut être vue à partir du tableau, mais seules quelques valeurs sont connues avec certitude:
En pratique, lors de la résolution de problèmes de mathématiques scolaires, il est d'usage de donner une réponse sous la forme d'une expression contenant l'arc tangente, et non son estimation approximative. Par exemple, arctg 6, arctg (-¼).
Tracer un graphique
Étant donné que la tangente peut prendre n'importe quelle valeur, le domaine de la fonction arctangente est la droite numérique entière. Expliquons plus en détail.
Une même tangente correspond à une infinité d'arguments. Par exemple, non seulement la tangente de zéro est égale à zéro, mais aussi la tangente de tout nombre de la forme π k, où k est un entier. Par conséquent, les mathématiciens ont convenu de choisir des valeurs pour l'arc tangente dans l'intervalle de -½ π à ½ π. Il faut l'entendre ainsi. La plage de la fonction arctangente est l'intervalle (-½ π; ½ π). Les extrémités de l'espace ne sont pas incluses, car les tangentes -½p et ½p n'existent pas.
Sur l'intervalle spécifié, la tangente est continuellementaugmente. Cela signifie que la fonction inverse de l'arc tangente augmente également de manière continue sur toute la droite numérique, mais délimitée par le haut et le bas. En conséquence, il a deux asymptotes horizontales: y=-½ π et y=½ π.
Dans ce cas, tg 0=0, d'autres points d'intersection avec l'axe des abscisses, à l'exception de (0;0), le graphique ne peut pas avoir raison d'augmenter.
Comme il ressort de la parité de la fonction tangente, l'arctangente a une propriété similaire.
Pour construire un graphique, prenez plusieurs points parmi les valeurs standards:
La dérivée de la fonction y=arctg x en tout point est calculée par la formule:
Notez que sa dérivée est partout positive. Ceci est cohérent avec la conclusion faite précédemment à propos de l'augmentation continue de la fonction.
La dérivée seconde de l'arctangente s'annule au point 0, est négative pour les valeurs positives de l'argument, et vice versa.
Cela signifie que le graphe de la fonction arc tangente a un point d'inflexion à zéro et est convexe vers le bas sur l'intervalle (-∞; 0] et convexe vers le haut sur l'intervalle [0; +∞).
