Le paradoxe de Bertrand est un problème dans l'interprétation classique de la théorie des probabilités. Joseph l'a introduit dans son ouvrage Calcul des probabilités (1889) comme un exemple que les probabilités ne peuvent pas être bien définies si un mécanisme ou une méthode produit une variable aléatoire.
Énoncé du problème
Le paradoxe de Bertrand est le suivant.
Premièrement, considérons un triangle équilatéral inscrit dans un cercle. Dans ce cas, le diamètre est choisi au hasard. Quelle est la probabilité qu'il soit plus long que le côté du triangle ?
Bertrand a avancé trois arguments, qui semblent tous corrects, mais donnent des résultats différents.
Méthode de point final aléatoire
Vous devez sélectionner deux endroits sur le cercle et dessiner un arc les reliant. Pour le calcul, le paradoxe de probabilité de Bertrand est considéré. Il faut imaginer que le triangle est tourné de manière à ce que son sommet coïncide avec l'une des extrémités de la corde. Ça vaut le coup de payernotez que si l'autre partie est sur un arc entre deux endroits, le cercle est plus long que le côté du triangle. La longueur de l'arc est un tiers du cercle, donc la probabilité qu'un accord aléatoire soit plus long est de 1/3.
Méthode de sélection
Il est nécessaire de sélectionner le rayon du cercle et un point dessus. Après cela, vous devez construire un accord à travers cet endroit, perpendiculaire au diamètre. Pour calculer le paradoxe considéré de Bertrand de la théorie des probabilités, il faut imaginer que le triangle est tourné de sorte que le côté soit perpendiculaire au rayon. La corde est plus longue que la jambe si le point sélectionné est plus proche du centre du cercle. Et dans ce cas, le côté du triangle coupe en deux le rayon. Par conséquent, la probabilité que la corde soit plus longue que le côté de la figure inscrite est de 1/2.
Accords aléatoires
Méthode du point médian. Il faut choisir une place sur le cercle et créer un accord avec un milieu donné. L'axe est plus long que le bord du triangle inscrit, si l'emplacement sélectionné se trouve dans un cercle concentrique de rayon 1/2. L'aire du plus petit cercle est un quart de la plus grande figure. Par conséquent, la probabilité d'un accord aléatoire est plus longue que le côté du triangle inscrit et égale 1/4.
Comme présenté ci-dessus, les méthodes de sélection diffèrent par le poids qu'elles donnent à certaines cordes, qui sont des diamètres. Dans la méthode 1, chaque corde peut être sélectionnée exactement d'une manière, qu'il s'agisse ou non d'un diamètre.
Dans la méthode 2, chaque ligne droite peut être sélectionnée de deux manières. Alors que tout autre accord sera choisiune seule des possibilités.
Dans la méthode 3, chaque sélection médiane a un seul paramètre. Sauf pour le centre du cercle, qui est le milieu de tous les diamètres. Ces problèmes peuvent être évités en "ordonnant" toutes les questions pour exclure les paramètres sans affecter les probabilités résultantes.
Les méthodes de sélection peuvent également être visualisées comme suit. Une corde qui n'est pas un diamètre est uniquement identifiée par son point médian. Chacune des trois méthodes de sélection présentées ci-dessus produit une répartition différente du milieu. Et les options 1 et 2 fournissent deux partitions non uniformes différentes, tandis que la méthode 3 donne une distribution uniforme.
Le paradoxe classique de la résolution du problème de Bertrand dépend de la méthode par laquelle l'accord est choisi "au hasard". Il s'avère que si une méthode de sélection aléatoire est spécifiée à l'avance, le problème a une solution bien définie. En effet, chaque méthode individuelle a sa propre distribution d'accords. Les trois jugements présentés par Bertrand correspondent à des modes de sélection différents et, en l'absence d'autres informations, il n'y a aucune raison de privilégier l'un par rapport à l'autre. En conséquence, le problème énoncé n'a pas de solution unique.
Un exemple de la façon de rendre une réponse générale unique consiste à spécifier que les extrémités de l'accord sont régulièrement espacées entre 0 et c, où c est la circonférence du cercle. Cette distribution est la même que dans le premier argument de Bertrand et la probabilité unique résultante sera de 1/3.
Ce paradoxe de Bertrand Russell et d'autres singularités de la musique classiqueles interprétations de la possibilité justifient des formulations plus rigoureuses. Y compris la fréquence de probabilité et la théorie bayésienne subjectiviste.
Ce qui sous-tend le paradoxe de Bertrand
Dans son article de 1973 "Le problème bien posé", Edwin Jaynes a proposé sa solution unique. Il a noté que le paradoxe de Bertrand est basé sur une prémisse basée sur le principe de "l'ignorance maximale". Cela signifie que vous ne devez pas utiliser d'informations qui ne sont pas fournies dans l'énoncé du problème. Jaynes a souligné que le problème de Bertrand ne détermine pas la position ou la taille du cercle. Et a fait valoir que, par conséquent, toute décision définitive et objective doit être "indifférente" à la taille et à la position.
À des fins d'illustration
En supposant que tous les accords sont placés au hasard sur un cercle de 2 cm, il faut maintenant lui lancer des pailles de loin.
Ensuite, vous devez prendre un autre cercle avec un diamètre plus petit (par exemple, 1 centimètre), qui s'intègre dans une figure plus grande. Ensuite, la répartition des accords sur ce petit cercle doit être la même que sur le maximum. Si le deuxième chiffre se déplace également à l'intérieur du premier, la probabilité, en principe, ne devrait pas changer. Il est très facile de voir que pour la méthode 3 le changement suivant se produira: la distribution des accords sur le petit cercle rouge sera qualitativement différente de la distribution sur le grand cercle.
La même chose se produit pour la méthode 1. Bien que ce soit plus difficile à voir dans la vue graphique.
Méthode 2 est la seulequi s'avère être à la fois un invariant d'échelle et un invariant de translation.
La méthode numéro 3 semble être simplement extensible.
Méthode 1 n'est ni l'un ni l'autre.
Cependant, Janes n'utilisait pas facilement les invariants pour accepter ou rejeter ces méthodes. Cela laisserait la possibilité qu'il existe une autre méthode non décrite qui correspondrait à ses aspects de sens raisonnable. Jaynes a appliqué des équations intégrales décrivant les invariances. Pour déterminer directement la distribution de probabilité. Dans son problème, les équations intégrales ont en effet une solution unique, et c'est exactement ce qu'on a appelé la deuxième méthode du rayon aléatoire ci-dessus.
Dans un article de 2015, Alon Drory soutient que le principe de Jaynes peut également donner deux autres solutions de Bertrand. L'auteur assure que l'implémentation mathématique des propriétés d'invariance ci-dessus n'est pas unique, mais dépend de la procédure de sélection aléatoire de base qu'une personne décide d'utiliser. Il montre que chacune des trois solutions de Bertrand peut être obtenue en utilisant l'invariance de rotation, d'échelle et de translation. Dans le même temps, concluant que le principe de Jaynes est tout aussi sujet à interprétation que le mode d'indifférence lui-même.
Expériences physiques
Méthode 2 est la seule solution qui satisfait les invariants de transformation présents dans des concepts physiologiques spécifiques tels que la mécanique statistique et la structure des gaz. Aussi dans la propositionL'expérience de Janes consistant à lancer des pailles depuis un petit cercle.
Cependant, d'autres expériences pratiques peuvent être conçues pour fournir des réponses selon d'autres méthodes. Par exemple, pour arriver à une solution à la première méthode de point final aléatoire, vous pouvez attacher un compteur au centre de la zone. Et laissez les résultats de deux rotations indépendantes mettre en évidence les dernières places de l'accord. Pour arriver à une solution à la troisième méthode, on peut recouvrir le cercle de mélasse, par exemple, et marquer le premier point sur lequel la mouche se pose comme corde médiane. Plusieurs contemplateurs ont créé des études pour tirer des conclusions différentes et ont confirmé les résultats de manière empirique.
Derniers événements
Dans son article de 2007 "Le paradoxe de Bertrand et le principe d'indifférence", Nicholas Shackel affirme que plus d'un siècle plus tard, le problème n'est toujours pas résolu. Elle réfute ensuite le principe d'indifférence. De plus, dans son article de 2013, "The Bertrand Russell Paradox Revisited: Why All Solutions Are Not Practical", Darrell R. Robottom montre que toutes les décisions proposées n'ont rien à voir avec sa propre question. Il s'est donc avéré que le paradoxe serait beaucoup plus difficile à résoudre qu'on ne le pensait auparavant.
Shackel souligne que jusqu'à présent, de nombreux scientifiques et personnes éloignées de la science ont tenté de résoudre le paradoxe de Bertrand. Il est toujours surmonté à l'aide de deux approches différentes.
Ceux dans lesquels la différence entre les problèmes non équivalents a été pris en compte et ceux dans lesquels le problème a toujours été considéré comme correct. Shackel cite Louis dans ses livresMarinoff (en tant que représentant typique de la stratégie de différenciation) et Edwin Jaynes (en tant qu'auteur d'une théorie bien pensée).
Cependant, dans leur récent ouvrage Solving a Complex Problem, Diederik Aerts et Massimiliano Sassoli de Bianchi estiment que pour résoudre le paradoxe de Bertrand, il faut chercher les prémisses dans une stratégie mixte. Selon ces auteurs, la première étape consiste à régler le problème en indiquant clairement la nature de l'entité randomisée. Et seulement après cela, tout problème peut être considéré comme correct. C'est ce que pense Janes.
Ainsi, le principe de l'ignorance maximale peut être utilisé pour le résoudre. Pour cela, et puisque le problème ne précise pas comment choisir un accord, le principe s'applique non pas au niveau des différentes possibilités, mais à un niveau bien plus profond.
Sélection de pièces
Cette partie du problème nécessite le calcul d'une méta-moyenne sur toutes les manières possibles, que les auteurs appellent la moyenne universelle. Pour y faire face, ils utilisent la méthode de discrétisation. Inspiré par ce qui est fait pour définir la loi de probabilité dans les processus de Wiener. Leur résultat est cohérent avec le corollaire numérique de Jaynes, bien que leur problème bien posé diffère de celui de l'auteur original.
En économie et en commerce, le paradoxe de Bertrand, du nom de son créateur Joseph Bertrand, décrit une situation dans laquelle deux acteurs (entreprises) atteignent un équilibre de Nash. Lorsque les deux entreprises fixent un prix égal au coût marginal(MS).
Le paradoxe de Bertrand repose sur une prémisse. Elle réside dans le fait que dans des modèles comme la concurrence de Cournot, une augmentation du nombre d'entreprises est associée à la convergence des prix avec les coûts marginaux. Dans ces modèles alternatifs, le paradoxe de Bertrand se trouve dans un oligopole d'un petit nombre d'entreprises qui réalisent des bénéfices positifs en facturant des prix supérieurs au coût.
Pour commencer, il convient de supposer que deux entreprises A et B vendent un produit homogène, chacune ayant le même coût de production et de distribution. Il s'ensuit que les acheteurs choisissent un produit uniquement sur la base du prix. Cela signifie que la demande est infiniment élastique au prix. Ni A ni B ne fixeront un prix plus élevé que les autres, car cela ferait s'effondrer tout le paradoxe de Bertrand. L'un des acteurs du marché cédera à son concurrent. Si elles fixent le même prix, les entreprises se partageront les bénéfices.
D'autre part, si une entreprise baisse même légèrement son prix, elle obtiendra l'ensemble du marché et un rendement nettement plus élevé. Puisque A et B le savent, ils essaieront chacun de saper le concurrent jusqu'à ce que le produit se vende sans profit économique.
Des travaux récents ont montré qu'il peut y avoir un équilibre supplémentaire dans le paradoxe de la stratégie mixte de Bertrand, avec des profits économiques positifs, à condition que la somme du monopole soit infinie. Pour le cas du profit final, il a été montré qu'une augmentation positive sous concurrence par les prix est impossible dans les équilibres mixtes et même dans le cas plus généralsystèmes corrélés.
En fait, le paradoxe de Bertrand en économie est rarement observé dans la pratique, car les produits réels sont presque toujours différenciés d'une manière autre que le prix (par exemple, payer trop cher pour une étiquette). Les entreprises ont des limites à leur capacité de produire et de distribuer. C'est pourquoi deux entreprises ont rarement les mêmes coûts.
Le résultat de Bertrand est paradoxal car si le nombre d'entreprises passe de une à deux, le prix passe de monopolistique à concurrentiel et reste au même niveau que le nombre d'entreprises qui augmentent par la suite. Ce n'est pas très réaliste, car en réalité, les marchés avec peu d'entreprises ayant un pouvoir de marché ont tendance à facturer des prix supérieurs au coût marginal. L'analyse empirique montre que la plupart des industries avec deux concurrents génèrent des bénéfices positifs.
Dans le monde moderne, les scientifiques tentent de trouver des solutions au paradoxe qui soient plus cohérentes avec le modèle de concurrence de Cournot. Lorsque deux entreprises sur un marché réalisent des bénéfices positifs qui se situent quelque part entre des niveaux parfaitement concurrentiels et monopolistiques.
Quelques raisons pour lesquelles le paradoxe de Bertrand n'est pas directement lié à l'économie:
- Limites de capacité. Parfois, les entreprises n'ont pas la capacité suffisante pour répondre à toutes les demandes. Ce point a été soulevé pour la première fois par Francis Edgeworth et a donné naissance au modèle Bertrand-Edgeworth.
- Prix entiers. Les prix supérieurs au MC sont exclus car une entreprise peut en sous-coter une autre au hasard.une petite quantité. Si les prix sont discrets (par exemple, ils doivent prendre des valeurs entières), alors une entreprise doit sous-coter l'autre d'au moins un rouble. Cela implique que la valeur de la petite monnaie est supérieure au MC. Si une autre firme en fixe le prix plus haut, une autre firme peut le baisser et capter tout le marché, le paradoxe de Bertrand consiste précisément en cela. Cela ne lui apportera aucun profit. Cette entreprise préférera partager les ventes à 50/50 avec une autre entreprise et recevoir un revenu purement positif.
- Différenciation des produits. Si les produits de différentes entreprises diffèrent les uns des autres, les consommateurs ne peuvent pas complètement passer à des produits moins chers.
- Compétition dynamique. Une interaction répétée ou une concurrence répétée sur les prix peuvent conduire à un équilibre de valeur.
- Plus d'articles pour un montant plus élevé. Cela découle d'interactions répétées. Si une entreprise fixe son prix un peu plus haut, elle obtiendra toujours à peu près le même nombre d'achats, mais plus de profit par article. Par conséquent, l'autre société augmentera son balisage, etc. (Seulement dans les replays, sinon la dynamique va dans l'autre sens).
Oligopole
Si deux entreprises peuvent s'entendre sur un prix, il est dans leur intérêt à long terme de respecter l'accord: les revenus de réduction de valeur sont inférieurs au double des revenus du respect de l'accord et ne durent que jusqu'à ce que l'autre entreprise réduise ses prix propres.
Théorieprobabilités (comme le reste des mathématiques) est en fait une invention récente. Et le développement n'a pas été sans heurts. Les premières tentatives de formalisation du calcul des probabilités ont été faites par le marquis de Laplace, qui a proposé de définir le concept comme le rapport du nombre d'événements conduisant à un résultat.
Ceci, bien sûr, n'a de sens que si le nombre de tous les événements possibles est fini. Et d'ailleurs, tous les événements sont également probables.
Ainsi, à l'époque, ces concepts semblaient n'avoir aucun fondement solide. Les tentatives d'étendre la définition au cas d'un nombre infini d'événements ont conduit à des difficultés encore plus grandes. Le paradoxe de Bertrand est l'une de ces découvertes qui a rendu les mathématiciens méfiants à l'égard de tout le concept de probabilité.
