L'étude de la théorie des probabilités commence par la résolution de problèmes d'addition et de multiplication de probabilités. Il convient de mentionner tout de suite que lors de la maîtrise de ce domaine de connaissances, un étudiant peut rencontrer un problème: si les processus physiques ou chimiques peuvent être représentés visuellement et compris de manière empirique, alors le niveau d'abstraction mathématique est très élevé, et la compréhension ne vient ici qu'avec expérience.
Cependant, le jeu en vaut la chandelle, car les formules - à la fois considérées dans cet article et les plus complexes - sont utilisées partout aujourd'hui et pourraient bien être utiles au travail.
Origine
Curieusement, l'impulsion pour le développement de cette section des mathématiques était… le jeu. En effet, les dés, le tirage au sort, le poker, la roulette sont des exemples typiques qui utilisent l'addition et la multiplication des probabilités. Sur l'exemple des tâches dans n'importe quel manuel, cela se voit clairement. Les gens étaient intéressés à apprendre comment augmenter leurs chances de gagner, et je dois dire que certains y sont parvenus.
Par exemple, déjà au 21e siècle, une personne, dont nous ne divulguerons pas le nom,a utilisé ce savoir accumulé au fil des siècles pour littéralement « nettoyer » le casino, remportant plusieurs dizaines de millions de dollars à la roulette.
Cependant, malgré l'intérêt accru pour le sujet, ce n'est qu'au 20ème siècle qu'un cadre théorique a été développé qui a fait du "theorver" une composante à part entière des mathématiques. Aujourd'hui, dans presque toutes les sciences, vous pouvez trouver des calculs utilisant des méthodes probabilistes.
Applicabilité
Un point important lors de l'utilisation des formules d'addition et de multiplication des probabilités, la probabilité conditionnelle est la satisfaisabilité du théorème central limite. Sinon, même si l'étudiant ne s'en rend pas compte, tous les calculs, aussi plausibles soient-ils, seront incorrects.
Oui, l'apprenant très motivé est tenté d'utiliser de nouvelles connaissances à chaque occasion. Mais dans ce cas, il faut ralentir un peu et définir strictement le champ d'application.
La théorie des probabilités traite des événements aléatoires, qui en termes empiriques sont les résultats d'expériences: nous pouvons lancer un dé à six faces, tirer une carte d'un jeu, prédire le nombre de pièces défectueuses dans un lot. Cependant, dans certaines questions, il est catégoriquement impossible d'utiliser les formules de cette section des mathématiques. Nous discuterons des caractéristiques de la considération des probabilités d'un événement, des théorèmes d'addition et de multiplication des événements à la fin de l'article, mais pour l'instant, passons aux exemples.
Concepts de base
Un événement aléatoire signifie un processus ou un résultat qui peut ou non apparaîtreà la suite de l'expérience. Par exemple, nous jetons un sandwich - il peut tomber du beurre ou du beurre vers le bas. L'un ou l'autre des deux résultats sera aléatoire, et nous ne savons pas à l'avance lequel d'entre eux aura lieu.
Lorsque nous étudions l'addition et la multiplication des probabilités, nous avons besoin de deux concepts supplémentaires.
Les événements conjoints sont les événements dont la survenance de l'un n'exclut pas la survenance de l'autre. Disons que deux personnes tirent sur une cible en même temps. Si l'un d'eux tire avec succès, cela n'affectera pas la capacité de l'autre à toucher ou à rater.
Incohérents seront de tels événements, dont l'occurrence est simultanément impossible. Par exemple, en ne sortant qu'une seule boule de la boîte, vous ne pouvez pas obtenir à la fois la bleue et la rouge.
Désignation
Le concept de probabilité est désigné par la lettre majuscule latine P. Ensuite, entre parenthèses, se trouvent des arguments indiquant certains événements.
Dans les formules du théorème d'addition, probabilité conditionnelle, théorème de multiplication, vous verrez des expressions entre parenthèses, par exemple: A+B, AB ou A|B. Ils seront calculés de diverses manières, nous allons maintenant nous tourner vers eux.
Ajout
Considérons les cas où des formules d'addition et de multiplication sont utilisées.
Pour les événements incompatibles, la formule d'addition la plus simple est pertinente: la probabilité de l'un des résultats aléatoires sera égale à la somme des probabilités de chacun de ces résultats.
Supposons qu'il y ait une boîte avec 2 ballons bleus, 3 rouges et 5 jaunes. Il y a 10 articles au total dans la boîte. Quel est le pourcentage de vérité de l'énoncé selon lequel on va tirer une boule bleue ou rouge ? Il sera égal à 2/10 + 3/10, soit cinquante pour cent.
Dans le cas d'événements incompatibles, la formule se complique, puisqu'un terme supplémentaire est ajouté. Nous y reviendrons dans un paragraphe, après avoir considéré une autre formule.
Multiplication
L'addition et la multiplication des probabilités d'événements indépendants sont utilisées dans différents cas. Si, selon les conditions de l'expérience, nous sommes satisfaits de l'un ou l'autre des deux résultats possibles, nous calculerons la somme; si nous voulons obtenir deux résultats certains l'un après l'autre, nous aurons recours à une formule différente.
Revenant à l'exemple de la section précédente, nous voulons d'abord dessiner la boule bleue puis la rouge. Le premier nombre que nous connaissons est 2/10. Que se passe-t-il ensuite ? Il reste 9 balles, il y a toujours le même nombre de rouges - trois pièces. Selon les calculs, vous obtenez 3/9 ou 1/3. Mais que faire avec deux nombres maintenant ? La bonne réponse est de multiplier pour obtenir 2/30.
Événements conjoints
Maintenant, nous pouvons revoir la formule de somme pour les événements conjoints. Pourquoi s'éloigne-t-on du sujet ? Apprendre comment les probabilités sont multipliées. Maintenant, cette connaissance vous sera utile.
Nous savons déjà ce que seront les deux premiers termes (les mêmes que dans la formule d'addition considérée précédemment), maintenant nous devons soustrairele produit de probabilités que nous venons d'apprendre à calculer. Pour plus de clarté, nous écrivons la formule: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Il s'avère que l'addition et la multiplication des probabilités sont utilisées dans une seule expression.
Disons que nous devons résoudre l'un ou l'autre des deux problèmes pour obtenir un crédit. Nous pouvons résoudre le premier avec une probabilité de 0,3 et le second - 0,6. Solution: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72. Notez que la simple addition des nombres ici ne suffira pas.
Probabilité conditionnelle
Enfin, il y a le concept de probabilité conditionnelle, dont les arguments sont indiqués entre parenthèses et séparés par une barre verticale. L'entrée P(A|B) se lit comme suit: "probabilité de l'événement A compte tenu de l'événement B".
Prenons un exemple: un ami vous donne un appareil, que ce soit un téléphone. Il peut être cassé (20%) ou bon (80%). Vous êtes capable de réparer tout appareil qui tombe entre vos mains avec une probabilité de 0,4 ou vous n'êtes pas capable de le faire (0,6). Enfin, si l'appareil est en état de marche, vous pouvez joindre la bonne personne avec une probabilité de 0,7.
Il est facile de voir comment fonctionne la probabilité conditionnelle dans ce cas: vous ne pouvez pas joindre une personne si le téléphone est en panne, et s'il est en bon état, vous n'avez pas besoin de le réparer. Ainsi, pour obtenir des résultats au "deuxième niveau", vous devez savoir quel événement a été exécuté au premier.
Calculs
Considérons des exemples de résolution de problèmes d'addition et de multiplication de probabilités, en utilisant les données du paragraphe précédent.
Premièrement, trouvons la probabilité que vousréparer l'appareil qui vous a été remis. Pour ce faire, premièrement, il doit être défectueux, et deuxièmement, vous devez faire face à la réparation. C'est un problème de multiplication typique: on obtient 0,20,4=0,08.
Quelle est la probabilité que vous parliez immédiatement à la bonne personne ? Plus simple que simple: 0,8 0,7 = 0,56. Dans ce cas, vous avez constaté que le téléphone fonctionne et que vous avez réussi à passer un appel.
Enfin, considérez ce scénario: vous avez reçu un téléphone cassé, vous l'avez réparé, puis composé le numéro, et la personne à l'autre bout a répondu au téléphone. Ici, la multiplication de trois composantes est déjà requise: 0, 20, 40, 7=0, 056.
Et si vous avez deux téléphones qui ne fonctionnent pas en même temps ? Quelle est la probabilité que vous répariez au moins l'un d'entre eux ? Il s'agit d'un problème d'addition et de multiplication de probabilités, puisque des événements conjoints sont utilisés. Solution: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Utilisation prudente
Comme mentionné au début de l'article, l'utilisation de la théorie des probabilités doit être délibérée et consciente.
Plus la série d'expériences est grande, plus la valeur prédite théoriquement se rapproche de la valeur pratique. Par exemple, nous lançons une pièce de monnaie. Théoriquement, connaissant l'existence de formules d'addition et de multiplication de probabilités, nous pouvons prédire combien de fois pile et face tomberont si nous menons l'expérience 10 fois. Nous avons fait une expérience etPar coïncidence, le rapport des côtés tombés était de 3 à 7. Mais si vous effectuez une série de 100, 1000 tentatives ou plus, il s'avère que le graphique de distribution se rapproche de plus en plus du théorique: 44 à 56, 482 à 518 et ainsi de suite.
Imaginons maintenant que cette expérience ne soit pas réalisée avec une pièce de monnaie, mais avec la production d'une nouvelle substance chimique dont nous ne connaissons pas la probabilité. Nous ferions 10 expériences et, si nous n'obtenions pas un bon résultat, nous pourrions généraliser: "la substance ne peut pas être obtenue". Mais qui sait, si nous faisions la onzième tentative, aurions-nous atteint le but ou non ?
Donc, si vous allez dans l'inconnu, le domaine inexploré, la théorie des probabilités peut ne pas s'appliquer. Chaque tentative ultérieure dans ce cas peut être couronnée de succès et des généralisations comme "X n'existe pas" ou "X est impossible" seront prématurées.
Mot de clôture
Nous avons donc examiné deux types d'addition, de multiplication et de probabilités conditionnelles. Avec une étude plus approfondie de ce domaine, il est nécessaire d'apprendre à distinguer les situations dans lesquelles chaque formule spécifique est utilisée. De plus, vous devez comprendre si les méthodes probabilistes sont généralement applicables pour résoudre votre problème.
Si vous pratiquez, après un certain temps, vous commencerez à effectuer toutes les opérations requises exclusivement dans votre esprit. Pour ceux qui aiment les jeux de cartes, cette compétence peut être considéréeextrêmement précieux - vous augmenterez considérablement vos chances de gagner, simplement en calculant la probabilité qu'une carte ou une couleur particulière tombe. Cependant, les connaissances acquises peuvent facilement être appliquées dans d'autres domaines d'activité.
