Beaucoup, face au concept de "théorie des probabilités", ont peur, pensant que c'est quelque chose d'écrasant, de très complexe. Mais ce n'est vraiment pas si tragique. Aujourd'hui, nous allons examiner le concept de base de la théorie des probabilités, apprendre à résoudre des problèmes à l'aide d'exemples spécifiques.
Sciences
Qu'est-ce qu'une branche des mathématiques telle que la "théorie des probabilités" étudie ? Il note des modèles d'événements aléatoires et de quantités. Pour la première fois, les scientifiques se sont intéressés à cette question au XVIIIe siècle, lorsqu'ils ont étudié les jeux de hasard. Le concept de base de la théorie des probabilités est un événement. C'est tout fait établi par l'expérience ou l'observation. Mais qu'est-ce que l'expérience ? Un autre concept de base de la théorie des probabilités. Cela signifie que cette composition de circonstances n'a pas été créée par hasard, mais dans un but précis. Quant à l'observation, ici le chercheur lui-même ne participe pas à l'expérience, mais est simplement un témoin de ces événements, il n'influence en rien ce qui se passe.
Événements
Nous avons appris que le concept de base de la théorie des probabilités est un événement, mais nous n'avons pas considéré la classification. Tous sont divisés dans les catégories suivantes:
- Fiable.
- Impossible.
- Aléatoire.
Peu importequels types d'événements sont observés ou créés au cours de l'expérience, ils sont tous soumis à cette classification. Nous vous proposons de vous familiariser avec chacune des espèces séparément.
Certains événements
Il s'agit d'une circonstance devant laquelle l'ensemble de mesures nécessaires a été pris. Afin de mieux comprendre l'essence, il est préférable de donner quelques exemples. La physique, la chimie, l'économie et les mathématiques supérieures sont soumises à cette loi. La théorie des probabilités inclut un concept aussi important qu'un certain événement. Voici quelques exemples:
- Nous travaillons et recevons une rémunération sous forme de salaire.
- Nous avons bien réussi les examens, réussi le concours, pour cela nous recevons une récompense sous forme d'admission dans un établissement d'enseignement.
- Nous avons investi de l'argent à la banque, nous le récupérerons si nécessaire.
De tels événements sont fiables. Si nous avons rempli toutes les conditions nécessaires, nous obtiendrons certainement le résultat escompté.
Événements impossibles
Nous examinons maintenant des éléments de la théorie des probabilités. Nous proposons de passer à l'explication du type d'événement suivant, à savoir l'impossible. Tout d'abord, spécifions la règle la plus importante - la probabilité d'un événement impossible est nulle.
Vous ne pouvez pas vous écarter de cette formulation lors de la résolution de problèmes. Pour clarifier, voici des exemples de tels événements:
- L'eau a gelé à plus dix (c'est impossible).
- Le manque d'électricité n'affecte en rien la production (tout aussi impossible que dans l'exemple précédent).
Plus d'exemplesCela ne vaut pas la peine d'être cité, car ceux décrits ci-dessus reflètent très clairement l'essence de cette catégorie. L'événement impossible ne se produira jamais pendant l'expérience, quelles que soient les circonstances.
Événements aléatoires
En étudiant les éléments de la théorie des probabilités, une attention particulière doit être accordée à ce type particulier d'événement. C'est ce que la science étudie. À la suite de l'expérience, quelque chose peut arriver ou non. De plus, le test peut être répété un nombre illimité de fois. Des exemples frappants sont:
- Lancer une pièce est une expérience, ou un test, la tête est un événement.
- Tirer aveuglément une balle d'un sac est un test, une balle rouge est attrapée est un événement et ainsi de suite.
Il peut y avoir un nombre illimité d'exemples de ce type, mais, en général, l'essentiel doit être clair. Pour résumer et systématiser les connaissances acquises sur les événements, un tableau est donné. La théorie des probabilités n'étudie que le dernier type de tous ceux présentés.
| titre | définition | exemple |
| Fiable | Événements qui se produisent avec une garantie à 100 % sous certaines conditions. | Admission dans un établissement d'enseignement avec un bon examen d'entrée. |
| Impossible | Événements qui ne se produiront en aucune circonstance. | Il neige à une température de plus de trente degrés Celsius. |
| Aléatoire | Un événement qui peut ou non se produire pendant une expérience/un test. | Hit or miss en lançant un ballon de basket dans le panier. |
Lois
La théorie des probabilités est une science qui étudie la possibilité qu'un événement se produise. Comme les autres, il a quelques règles. Il existe les lois suivantes de la théorie des probabilités:
- Convergence de séquences de variables aléatoires.
- La loi des grands nombres.
Lors du calcul de la possibilité d'un complexe, vous pouvez utiliser un complexe d'événements simples pour obtenir le résultat plus facilement et plus rapidement. Notez que les lois de la théorie des probabilités sont facilement prouvées à l'aide de certains théorèmes. Commençons par la première loi.
Convergence de séquences de variables aléatoires
Notez qu'il existe plusieurs types de convergence:
- La séquence de variables aléatoires converge en probabilité.
- Presque impossible.
- Convergence RMS.
- Convergence dans la distribution.
Donc, à la volée, il est très difficile d'aller au fond des choses. Voici quelques définitions pour vous aider à comprendre ce sujet. Commençons par le premier regard. Une suite est dite convergente en probabilité si la condition suivante est remplie: n tend vers l'infini, le nombre vers lequel tend la suite est supérieur à zéro et proche de un.
Passer à la vue suivante, presque certainement. Ils disent çala suite converge presque sûrement vers une variable aléatoire avec n tendant vers l'infini et P tendant vers une valeur proche de un.
Le type suivant est la convergence quadratique moyenne. Lors de l'utilisation de la convergence SC, l'étude des processus aléatoires vectoriels est réduite à l'étude de leurs processus aléatoires coordonnés.
Le dernier type demeure, examinons-le brièvement afin de passer directement à la résolution des problèmes. La convergence de distribution a un autre nom - "faible", nous expliquerons pourquoi ci-dessous. La convergence faible est la convergence des fonctions de distribution à tous les points de continuité de la fonction de distribution limite.
Assurez-vous de tenir la promesse: la convergence faible diffère de tout ce qui précède en ce que la variable aléatoire n'est pas définie sur l'espace de probabilité. Ceci est possible car la condition est formée exclusivement à l'aide de fonctions de distribution.
Loi des grands nombres
D'excellents assistants pour prouver cette loi seront les théorèmes de la théorie des probabilités, tels que:
- Inégalité de Chebyshev.
- Théorème de Chebyshev.
- Théorème généralisé de Chebyshev.
- Théorème de Markov.
Si l'on considère tous ces théorèmes, alors cette question peut s'éterniser sur plusieurs dizaines de feuilles. Notre tâche principale est d'appliquer la théorie des probabilités dans la pratique. Nous vous invitons à le faire dès maintenant. Mais avant cela, considérons les axiomes de la théorie des probabilités, ils seront les principaux assistants dans la résolution de problèmes.
Axiomes
Nous avons déjà rencontré le premier lorsque nous avons parlé de l'événement impossible. Rappelons-nous: la probabilité d'un événement impossible est nulle. Nous avons donné un exemple très frappant et mémorable: il a neigé à une température de l'air de trente degrés Celsius.
Le second ressemble à ceci: un événement fiable se produit avec une probabilité égale à un. Montrons maintenant comment l'écrire en utilisant le langage mathématique: P(B)=1.
Third: Un événement aléatoire peut ou non se produire, mais la possibilité varie toujours de zéro à un. Plus la valeur est proche de un, plus grande est la chance; si la valeur tend vers zéro, la probabilité est très faible. Écrivons ceci en langage mathématique: 0<Р(С)<1.
Considérons le dernier, quatrième axiome, qui ressemble à ceci: la probabilité de la somme de deux événements est égale à la somme de leurs probabilités. Nous écrivons en langage mathématique: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Les axiomes de la théorie des probabilités sont les règles les plus simples et faciles à retenir. Essayons de résoudre quelques problèmes, sur la base des connaissances déjà acquises.
Billet de loterie
Premièrement, considérons l'exemple le plus simple - la loterie. Imaginez que vous avez acheté un billet de loterie pour vous porter chance. Quelle est la probabilité que vous gagniez au moins vingt roubles ? Au total, mille billets participent à la circulation, dont un a un prix de cinq cents roubles, dix de cent roubles, cinquante de vingt roubles et cent de cinq. Les problèmes de la théorie des probabilités sont basés sur la découverte de la possibilitéBonne chance. Maintenant, ensemble, nous allons analyser la solution de la tâche présentée ci-dessus.
Si nous désignons par la lettre A un gain de cinq cents roubles, alors la probabilité d'obtenir A sera de 0,001. Comment l'avons-nous obtenu ? Il suffit de diviser le nombre de tickets "chanceux" par leur nombre total (dans ce cas: 1/1000).
B est une victoire de cent roubles, la probabilité sera de 0,01. Maintenant, nous avons agi selon le même principe que dans l'action précédente (10/1000)
C - les gains sont égaux à vingt roubles. Trouvez la probabilité, elle est égale à 0,05.
Le reste des billets ne nous intéresse pas, car leur cagnotte est inférieure à celle spécifiée dans la condition. Appliquons le quatrième axiome: la probabilité de gagner au moins vingt roubles est P(A)+P(B)+P(C). La lettre P désigne la probabilité d'occurrence de cet événement, nous les avons déjà trouvés dans les étapes précédentes. Il ne reste plus qu'à ajouter les données nécessaires, dans la réponse nous obtenons 0, 061. Ce nombre sera la réponse à la question de l'affectation.
Jeu de cartes
Les problèmes de théorie des probabilités peuvent être plus complexes, par exemple, prenez la tâche suivante. Devant vous se trouve un jeu de trente-six cartes. Votre tâche est de tirer deux cartes d'affilée sans mélanger la pile, les première et deuxième cartes doivent être des as, la couleur n'a pas d'importance.
Premièrement, trouvons la probabilité que la première carte soit un as, pour cela nous divisons quatre par trente-six. Ils l'ont mis de côté. Nous sortons la deuxième carte, ce sera un as avec une probabilité de trois trente-cinquièmes. La probabilité du deuxième événement dépend de la carte que nous avons tirée en premier, qui nous intéresseétait-ce un as ou pas. Il s'ensuit que l'événement B dépend de l'événement A.
L'étape suivante consiste à trouver la probabilité de mise en œuvre simultanée, c'est-à-dire que nous multiplions A et B. Leur produit se trouve comme suit: la probabilité d'un événement est multipliée par la probabilité conditionnelle d'un autre, que nous calculons, en supposant que le premier événement s'est produit, c'est-à-dire qu'avec la première carte, nous avons tiré un as.
Afin de clarifier les choses, donnons une désignation à un élément tel que la probabilité conditionnelle d'un événement. Il est calculé en supposant que l'événement A s'est produit. Calculé comme suit: P(B/A).
Continuer à résoudre notre problème: P(AB)=P(A)P(B/A) ou P (AB)=P(B)P(A/B). La probabilité est (4/36)((3/35)/(4/36). Calculez en arrondissant au centième. Nous avons: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. La probabilité que nous tirions deux as d'affilée est de neuf centièmes. La valeur est très faible, il s'ensuit que la probabilité d'occurrence de l'événement est extrêmement faible.
Numéro oublié
Nous proposons d'analyser quelques options supplémentaires pour les tâches étudiées par la théorie des probabilités. Vous avez déjà vu des exemples de résolution de certains d'entre eux dans cet article, essayons de résoudre le problème suivant: le garçon a oublié le dernier chiffre du numéro de téléphone de son ami, mais comme l'appel était très important, il a commencé à tout composer à tour de rôle. Nous devons calculer la probabilité qu'il n'appelle pas plus de trois fois. La solution au problème est la plus simple si les règles, lois et axiomes de la théorie des probabilités sont connus.
Avant de regardersolution, essayez de la résoudre vous-même. Nous savons que le dernier chiffre peut aller de zéro à neuf, c'est-à-dire qu'il y a dix valeurs au total. La probabilité d'obtenir le bon est de 1/10.
Ensuite, nous devons considérer les options pour l'origine de l'événement, supposons que le garçon a deviné juste et a immédiatement marqué le bon, la probabilité d'un tel événement est de 1/10. La deuxième option: le premier appel est raté et le second est cadré. Nous calculons la probabilité d'un tel événement: multipliez 9/10 par 1/9, nous obtenons ainsi également 1/10. La troisième option: les premier et deuxième appels se sont avérés être à la mauvaise adresse, seulement à partir du troisième, le garçon est arrivé où il voulait. On calcule la probabilité d'un tel événement: on multiplie 9/10 par 8/9 et par 1/8, on obtient 1/10 comme résultat. Selon l'état du problème, nous ne sommes pas intéressés par d'autres options, il nous reste donc à additionner les résultats, en conséquence nous avons 3/10. Réponse: La probabilité que le garçon n'appelle pas plus de trois fois est de 0,3.
Cartes avec des chiffres
Il y a neuf cartes devant vous, sur chacune desquelles un nombre de un à neuf est écrit, les nombres ne se répètent pas. Ils ont été placés dans une boîte et soigneusement mélangés. Vous devez calculer la probabilité que
- un nombre pair apparaîtra;
- deux chiffres.
Avant de passer à la solution, spécifions que m est le nombre de cas réussis, et n est le nombre total d'options. Trouver la probabilité que le nombre soit pair. Il ne sera pas difficile de calculer qu'il y a quatre nombres pairs, ce sera notre m, il y a neuf options au total, c'est-à-dire m=9. Alors la probabilitéest égal à 0, 44 ou 4/9.
Considérons le deuxième cas: le nombre d'options est de neuf, et il ne peut y avoir aucun résultat positif, c'est-à-dire que m est égal à zéro. La probabilité que la carte tirée contienne un nombre à deux chiffres est également nulle.
