Georg Kantor (photo donnée plus loin dans l'article) est un mathématicien allemand qui a créé la théorie des ensembles et introduit le concept de nombres transfinis, infiniment grands, mais différents les uns des autres. Il a également défini les nombres ordinaux et cardinaux et créé leur arithmétique.
Georg Kantor: courte biographie
Né à Saint-Pétersbourg le 1845-03-03. Son père était un Danois de confession protestante, Georg-Valdemar Kantor, qui faisait du commerce, notamment en bourse. Sa mère Maria Bem était catholique et venait d'une famille de musiciens éminents. Lorsque le père de Georg tomba malade en 1856, la famille déménagea d'abord à Wiesbaden puis à Francfort à la recherche d'un climat plus clément. Les talents mathématiques du garçon se sont manifestés avant même son 15e anniversaire alors qu'il étudiait dans des écoles privées et des gymnases à Darmstadt et à Wiesbaden. Finalement, Georg Cantor a convaincu son père de sa ferme intention de devenir mathématicien et non ingénieur.
Après une brève étude à l'Université de Zurich, en 1863, Kantor est transféré à l'Université de Berlin pour étudier la physique, la philosophie et les mathématiques. Là, luienseigné:
- Karl Theodor Weierstrass, dont la spécialisation en analyse a probablement eu la plus grande influence sur Georg;
- Ernst Eduard Kummer, qui a enseigné l'arithmétique supérieure;
- Leopold Kronecker, théoricien des nombres qui s'opposa plus tard à Cantor.
Après avoir passé un semestre à l'Université de Göttingen en 1866, Georg rédige l'année suivante sa thèse de doctorat intitulée "En mathématiques, l'art de poser des questions est plus précieux que de résoudre des problèmes", concernant un problème que Carl Friedrich Gauss avait laissé non résolu dans ses Disquisitiones Arithmeticae (1801). Après avoir brièvement enseigné à la Berlin School for Girls, Kantor a commencé à travailler à l'Université de Halle, où il est resté jusqu'à la fin de sa vie, d'abord en tant qu'enseignant, à partir de 1872 en tant que professeur assistant et à partir de 1879 en tant que professeur.
Recherche
Au début d'une série de 10 articles de 1869 à 1873, Georg Cantor s'est penché sur la théorie des nombres. L'œuvre reflète sa passion pour le sujet, ses études de Gauss et l'influence de Kronecker. À la suggestion de Heinrich Eduard Heine, collègue de Cantor à Halle, qui reconnaissait son talent mathématique, il se tourna vers la théorie des séries trigonométriques, dans laquelle il élargit le concept de nombres réels.
Sur la base des travaux sur la fonction d'une variable complexe du mathématicien allemand Bernhard Riemann en 1854, Kantor a montré en 1870 qu'une telle fonction ne peut être représentée que d'une seule manière - par des séries trigonométriques. Considération d'un ensemble de nombres (points) quine contredirait pas une telle vision, le conduisit, d'abord, en 1872, à la définition des nombres irrationnels en termes de suites convergentes de nombres rationnels (fractions d'entiers) et, par la suite, au début des travaux sur l'œuvre de sa vie, la théorie des ensembles et le concept de nombres transfinis.
Théorie des ensembles
Georg Cantor, dont la théorie des ensembles trouve son origine dans une correspondance avec le mathématicien de l'Institut technique de Braunschweig Richard Dedekind, était un ami de lui depuis l'enfance. Ils ont conclu que les ensembles, qu'ils soient finis ou infinis, sont des collections d'éléments (par exemple, des nombres, {0, ±1, ±2…}) qui ont une certaine propriété tout en conservant leur individualité. Mais lorsque Georg Cantor a utilisé une correspondance un à un (par exemple, {A, B, C} à {1, 2, 3}) pour étudier leurs caractéristiques, il s'est vite rendu compte qu'ils diffèrent par leur degré d'appartenance, même s'il s'agissait d'ensembles infinis, c'est-à-dire d'ensembles dont une partie ou un sous-ensemble comprend autant d'objets que lui-même. Sa méthode a rapidement donné des résultats étonnants.
En 1873, Georg Cantor (mathématicien) a montré que les nombres rationnels, bien qu'infinis, sont dénombrables car ils peuvent être mis en correspondance biunivoque avec les nombres naturels (c'est-à-dire 1, 2, 3, etc.). ré.). Il a montré que l'ensemble des nombres réels, composé de nombres irrationnels et rationnels, est infini et indénombrable. Plus paradoxalement, Cantor a prouvé que l'ensemble de tous les nombres algébriques contient autant d'éléments quecombien sont l'ensemble de tous les entiers, et que les nombres transcendantaux, qui ne sont pas algébriques, qui sont un sous-ensemble de nombres irrationnels, sont indénombrables et, par conséquent, leur nombre est supérieur aux entiers, et doit être considéré comme infini.
Opposants et partisans
Mais l'article de Kantor, dans lequel il a présenté ces résultats pour la première fois, n'a pas été publié dans Krell, car l'un des critiques, Kronecker, s'y est opposé avec véhémence. Mais après l'intervention de Dedekind, il fut publié en 1874 sous le titre "Sur les propriétés caractéristiques de tous les nombres algébriques réels".
Sciences et vie privée
La même année, alors qu'il était en lune de miel avec sa femme Wally Gutman à Interlaken, en Suisse, Kantor rencontra Dedekind, qui parla favorablement de sa nouvelle théorie. Le salaire de George était modeste, mais avec l'argent de son père, décédé en 1863, il construisit une maison pour sa femme et ses cinq enfants. Plusieurs de ses articles ont été publiés en Suède dans la nouvelle revue Acta Mathematica, éditée et fondée par Gesta Mittag-Leffler, qui a été parmi les premiers à reconnaître le talent du mathématicien allemand.
Connexion avec la métaphysique
La théorie de Cantor est devenue un tout nouveau sujet d'étude concernant les mathématiques de l'infini (par exemple les séries 1, 2, 3, etc., et des ensembles plus complexes), qui dépendait fortement de la correspondance biunivoque. Développement par Kantor de nouvelles méthodes de mise en scènequestions concernant la continuité et l'infini, ont donné à ses recherches un caractère ambigu.
Quand il a soutenu que les nombres infinis existent vraiment, il s'est tourné vers la philosophie antique et médiévale concernant l'infini réel et potentiel, ainsi que vers l'éducation religieuse précoce que ses parents lui ont donnée. En 1883, dans son livre Foundations of General Set Theory, Kantor a combiné son concept avec la métaphysique de Platon.
Kronecker, qui affirmait que seuls les nombres entiers "existent" ("Dieu a créé les nombres entiers, le reste est l'œuvre de l'homme"), a pendant de nombreuses années rejeté avec véhémence son raisonnement et a empêché sa nomination à l'Université de Berlin.
Nombres transfinis
En 1895-97. Georg Cantor a pleinement formé sa notion de continuité et d'infini, y compris les nombres ordinaux et cardinaux infinis, dans son ouvrage le plus célèbre, publié sous le titre Contributions à l'établissement de la théorie des nombres transfinis (1915). Cet essai contient son concept, auquel il a été conduit en démontrant qu'un ensemble infini peut être mis en correspondance biunivoque avec l'un de ses sous-ensembles.
Sous le plus petit nombre cardinal transfini, il voulait dire la cardinalité de tout ensemble qui peut être mis en correspondance biunivoque avec des nombres naturels. Cantor l'appelait aleph-null. Les grands ensembles transfinis sont notés aleph-un, aleph-deux, etc. Il a ensuite développé l'arithmétique des nombres transfinis, qui était analogue à l'arithmétique finie. donc ilenrichi le concept d'infini.
L'opposition à laquelle il a dû faire face et le temps qu'il a fallu pour que ses idées soient pleinement acceptées sont dues à la difficulté de réévaluer l'ancienne question de savoir ce qu'est un nombre. Cantor a montré que l'ensemble des points sur une ligne a une cardinalité supérieure à aleph-zéro. Cela a conduit au problème bien connu de l'hypothèse du continuum - il n'y a pas de nombres cardinaux entre aleph-zéro et la puissance des points sur la ligne. Ce problème dans la première et la seconde moitié du 20e siècle a suscité un grand intérêt et a été étudié par de nombreux mathématiciens, dont Kurt Gödel et Paul Cohen.
Dépression
La biographie de Georg Kantor depuis 1884 a été éclipsée par sa maladie mentale, mais il a continué à travailler activement. En 1897, il participe à la tenue du premier congrès international de mathématiques à Zurich. En partie parce qu'il était opposé par Kronecker, il a souvent sympathisé avec de jeunes mathématiciens en herbe et a cherché à trouver un moyen de les sauver du harcèlement des enseignants qui se sentaient menacés par de nouvelles idées.
Reconnaissance
Au tournant du siècle, ses travaux ont été pleinement reconnus comme la base de la théorie des fonctions, de l'analyse et de la topologie. De plus, les livres de Cantor Georg ont donné une impulsion au développement ultérieur des écoles intuitionnistes et formalistes des fondements logiques des mathématiques. Cela a considérablement modifié le système d'enseignement et est souvent associé aux "nouvelles mathématiques".
En 1911, Kantor faisait partie des invités àcélébration du 500e anniversaire de l'Université de St. Andrews en Écosse. Il s'y est rendu dans l'espoir de rencontrer Bertrand Russell, qui, dans son ouvrage récemment publié Principia Mathematica, a fait référence à plusieurs reprises au mathématicien allemand, mais cela ne s'est pas produit. L'université a décerné à Kantor un diplôme honorifique, mais en raison d'une maladie, il n'a pas pu accepter le prix en personne.
Kantor a pris sa retraite en 1913, a vécu dans la pauvreté et a été affamé pendant la Première Guerre mondiale. Les célébrations en l'honneur de son 70e anniversaire en 1915 ont été annulées en raison de la guerre, mais une petite cérémonie a eu lieu chez lui. Il mourut le 1918-06-01 à Halle, dans un hôpital psychiatrique, où il passa les dernières années de sa vie.
Georg Kantor: biographie. Famille
9 août 1874, un mathématicien allemand épouse Wally Gutmann. Le couple a eu 4 fils et 2 filles. Le dernier enfant est né en 1886 dans une nouvelle maison achetée par Kantor. L'héritage de son père l'a aidé à subvenir aux besoins de sa famille. La santé de Kantor a été grandement affectée par la mort de son plus jeune fils en 1899, et la dépression ne l'a pas quitté depuis.
